[理学]第六章 几个典型方程的定解问题ppt课件

1、第二篇 数学物理方程Tips：1. 请做好课前准备工作请做好课前准备工作, 制作制作“学案学案”.2. 请做好课后复习请做好课后复习, 根据自己的学习状况，根据自己的学习状况， 做学习笔记、做例题做学习笔记、做例题 或者或者 做习题做习题.徐师大徐师大 蔡俊蔡俊数学物理方程 绪论 常微分方程常微分方程: 一个自变量一个自变量的函数满足的方程的函数满足的方程.( )dyf xdx 若函数的自变量为若函数的自变量为2个或更多个或更多, 函数随其中一个函数随其中一个 自变量的变化为其自变量的变化为其偏微分偏微分. 例如函数例如函数 u (x, t)xtduu dxu dt例如方程例如方程 全微分：全

2、微分：偏微分：偏微分：xuux 数学物理方程数学物理方程: 多个变量的函数满足的多个变量的函数满足的偏微分方程偏微分方程。2( , )ttxxua uf x t例如一维波动方程：例如一维波动方程：例如：例如： , 其解其解不可叠加不可叠加. 线性方程线性方程: 函数及其各阶导数均为函数及其各阶导数均为 1 次次, 可作叠加可作叠加. 可叠加性可叠加性 + 齐次性齐次性例如：例如：线性算子线性算子 ：11221122()()()L c uc uc L uc L uL常见的线性算子，例如：常见的线性算子，例如： 等。等。22,dddxxx本篇主要考虑二阶线性偏微分方程本篇主要考虑二阶线性偏微分方程

3、. 什么是什么是线性线性？ 非线性方程非线性方程0txxxxuuuu 量与量之间成直线关系量与量之间成直线关系.2( , )ttxxua uf x t徐师大徐师大 蔡俊蔡俊齐次线性方程齐次线性方程 的通解为：的通解为：其中其中 ui (i = 1,2, ,n) 为方程所有线性无关的解。为方程所有线性无关的解。0Lu 1niiiuc u 相应的相应的非齐次非齐次线性方程线性方程 的通解为：的通解为：其中，其中，v 为满足非齐次方程的一个为满足非齐次方程的一个特解特解。Luf 1niiiuc uv 知识回顾：知识回顾：线性方程解的结构线性方程解的结构注：倒三角注：倒三角是哈密尔顿引入的一个算符，叫

4、是哈密尔顿引入的一个算符，叫Nabla。Nabla本意是一种竖琴。本意是一种竖琴。“del” 这种读法是较流行的，最直接的读法。这种读法是较流行的，最直接的读法。1. 矢量的矢量的散度散度: , 其结果为其结果为标量标量F VSSF dVF dSF ndS 知识回顾：知识回顾：Hamilton 算子算子 (读作读作Nabla)相关的运算：相关的运算：定义：定义：0limSVF dSFV 意义意义：散度表示：散度表示矢量场的发散矢量场的发散程度程度. .例如，静电场高斯定理例如，静电场高斯定理01SVE dSdV 0E 用散度表示，即为用散度表示，即为由散度的定义，得由散度的定义，得散度定理散度

5、定理(Gauss定理定理) ：为为S包围的体积包围的体积.V2. 矢量的矢量的旋度旋度: , 其结果仍为其结果仍为矢量矢量 F ()()SSLFdSFn dSF dl 定义：定义：0limLSF dlFS 意义意义：旋度表示：旋度表示矢量场环流矢量场环流的强弱的强弱. .为回路为回路 L 包围面积包围面积.S由旋度的定义，得由旋度的定义，得旋度定理旋度定理(Stocks定理定理) ：例如，稳恒磁场安培环路定理例如，稳恒磁场安培环路定理00LSB dlIj dS 0Bj 用散度表示，即为用散度表示，即为徐师大徐师大 蔡俊蔡俊3. 标量的标量的梯度梯度: , 其结果为其结果为矢量矢量.f 意义：意

6、义：梯度方向为梯度方向为 f 变化最快变化最快的方向的方向ff nn 方向导数方向导数 为为 f 在在 方向的变化率方向的变化率.n 4. 直角坐标系中，散度、旋度和梯度的计算直角坐标系中，散度、旋度和梯度的计算.梯度为标量梯度为标量 f 各方向导数的最大值各方向导数的最大值() ()xyzyzxFijkF iF jF kxyzFFFxyz 散度：散度：徐师大徐师大 蔡俊蔡俊()()fff ()FF ()F 旋度：旋度：() ()xyzxyzFijkF iF jF kxyzijkxyzFFF 梯度：梯度：()fijkfifjfkxyzxyz例：例：徐师大徐师大 蔡俊蔡俊第六章第六章 几个典型方

7、程的定解问题几个典型方程的定解问题6.1 几个典型方程的导出一一. .弦振动方程弦振动方程 张紧张紧轻弦轻弦的微小的微小横横振动振动1. 建立模型：建立模型：什么是什么是弦弦？什么是？什么是横横振动？振动？横波/纵波: 弦长方向为纵.2. 采取近似：采取近似：弦的弦的微小微小振动振动cos1, sintanux 222()()1()sxuuxxx 即即, 振动中弦的伸长不变振动中弦的伸长不变.弦: 细、轻、均匀.徐师大徐师大 蔡俊蔡俊将将 代入，代入， 由由 ，得，得 F2 =F1由胡克定理由胡克定理, 弦上张力弦上张力不随时间不随时间改变，改变，即即:( , )( )F x tF x 在水平

8、方向在水平方向(纵向纵向) ：2211coscosFF 12cos1, cos13. 振动方程：振动方程：考察竖直方向考察竖直方向(横向横向)，弦的受力，弦的受力.2212( , )sinsin( , )u x tFFx txxt sintanux 弦上张力也弦上张力也不随位置不随位置改变，即：改变，即：( , )F x tF 徐师大徐师大 蔡俊蔡俊0022( , )( , )xxxuuu x tFx txxxxt 两边同除以两边同除以x，并取，并取x 0，则：，则：2222( , )( , )( , )u x tu x tFx txt即即22222( , )( , )( , )u x tu

9、x taf x ttx其中，其中，2/,aF 单位长度、单位质量单位长度、单位质量的弦所受外力的弦所受外力( , )( , )x tf x t f = 0, 弦不受外力弦不受外力, 作作自由振动自由振动；否则为；否则为受迫振动受迫振动。:一维波动方程一维波动方程徐师大徐师大 蔡俊蔡俊考察薄膜振动，则为二维波动方程：考察薄膜振动，则为二维波动方程： 2( , , )ttxxyyuauuf x y t考察电磁波的波动，则为三维波动方程：考察电磁波的波动，则为三维波动方程： 22( , , , )ttxxyyzzttuauuuuauf x y z t Nabla算子算子ijkxyz Laplace算

10、子算子2222222xyz dAlembert算子算子22221ct Nabla算子既有算子既有矢量矢量的特性，又有的特性，又有算符算符的特性的特性徐师大徐师大 蔡俊蔡俊二二. .热传导方程热传导方程 温度温度u (x, y, z, t)满足的方程满足的方程1.热传导中的热传导中的几个物理量几个物理量. 热流强度热流强度 q : 单位时间垂直通过单位面积的热量单位时间垂直通过单位面积的热量傅里叶实验定律：傅里叶实验定律：( , , , )uq x y z tkk u nn . 比热比热 c：单位时间、：单位时间、 单位质量物体温度升高单位质量物体温度升高1度所需的热量度所需的热量. 热源强度热

11、源强度 ：单位时间、：单位时间、 单位体积的热源产生的热量单位体积的热源产生的热量其他相近概念其他相近概念: 能量密度能量密度 (单位体积中存储的能量单位体积中存储的能量)其他相近概念：其他相近概念：能流密度、电流密度能流密度、电流密度徐师大徐师大 蔡俊蔡俊2. 热传导中的热传导中的能量守恒能量守恒a. 考察空间中体积为考察空间中体积为V 的物体，的物体，t1 t2时间内，时间内， 温度由温度由 u1变为变为 u2 ，所需热量为：，所需热量为：2211()()tt tt tVVtuQcuudVcdt dVt 21ttVucdVdtt b. 通过通过V 的表面向外传递热量的表面向外传递热量221

12、11()ttttVk u n dSdtk u dVdtQ 212( , , , )ttVx y z t dVdtQ c. 内部热源产生热量内部热源产生热量由由 Q = Q2 Q1 得得:222111( , , , )()ttttVtVtVucdVdtx y z t dVdtk u dVdtt t1, t2, V 均为任意均为任意, 故故tcuk u 热传导方程热传导方程： (输运方程输运方程)2 -( , , , )tuauf x y z t其中，其中， ， f 与热源有关与热源有关. 2,kafcc 一维：一维：2( , )txxua uf x t二维：二维：2()( , , )txxyyu

13、auuf x y t徐师大徐师大 蔡俊蔡俊三三. .位势方程位势方程稳定场方程稳定场方程若热传导达到平衡状态若热传导达到平衡状态, 温度不随时间变化温度不随时间变化即：即： ，则得稳定场方程：，则得稳定场方程：0tu 21 ( , , , )uf x y z ta此即此即泊松泊松(Poisson)方程方程。若无热源，则变为若无热源，则变为Laplace方程方程：0u例如：静电场中电势满足的方程：例如：静电场中电势满足的方程：0u 徐师大徐师大 蔡俊蔡俊柱坐标系柱坐标系下的下的Laplace算符：算符：222222211uuuuuz 球坐标系球坐标系下的下的Laplace算符：算符：222222

14、2111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 其他方程，其他方程， 例：薛定谔方程例：薛定谔方程22iVt 非线性方程，例如孤子方程非线性方程，例如孤子方程0txxxxuuuu 徐师大徐师大 蔡俊蔡俊令令 ，则：，则： 双曲型双曲型 抛物型抛物型 椭圆型椭圆型四四. .两个自变量二阶线性偏微分方程的分类两个自变量二阶线性偏微分方程的分类221112221220a xa xya yb xb yc2121122aa a 0 0 0 1112221220 xxxyyyxya ua ua ub ub uc对偏微分方程对偏微分方程也可以作类似分类也可以作类似分类 .对二次方程对二次方程可以证明

15、，可以证明，作作变量代换变量代换后后, 方程分类性质不变。方程分类性质不变。1112221220 xxxyyyxya ua ua ub ub uc( , ),( , )x yx yxxuuuuuxxx22()()xxuuuuxxxx()()xxxxxxuuuuxx()()()()xxxxxxuuuuuuxxxx22()2()xxxxxxxxuuuuu 对方程作变换：对方程作变换：则有：则有：证明：证明：本节以下本节以下内容仅作内容仅作补充知识补充知识徐师大徐师大 蔡俊蔡俊变量代换后，二阶求导项为：变量代换后，二阶求导项为：1112222A uA uA u其中：其中：22111122122xyx

16、yAaaa 22221122122xyxyAaaa 12112212()xxyyxyyxAaaa 2221211221211222()()()xyyxxyyxAA Aaa a 即即, 变量代换后变量代换后, 两个自变量的二阶线性偏微分方程的两个自变量的二阶线性偏微分方程的性质不变。性质不变。徐师大徐师大 蔡俊蔡俊211122220 xxa fafa(4)若令若令 ，代入方程，代入方程(3): 221111221220 xyxyAaaa 222211221220 xyxyAaaa 此时此时, 即令即令 为以下方程的解：为以下方程的解：( , ),( , )x yx y2211122220 xxy

17、yaaa ( )yf x 211122220 xxa fafa(1)(2)(3)即得即得特征方程特征方程：(5)若若A11和和A22均为均为0，则方程二阶求导项得到简化。，则方程二阶求导项得到简化。解之解之, 得得 f (x) 。( )( )xyf x 即为所求变换。即为所求变换。徐师大徐师大 蔡俊蔡俊6.2 6.2 定解条件和定解问题定解条件和定解问题从微分方程出发从微分方程出发, 可以给出问题的通解可以给出问题的通解.定解问题定解问题 = 微分方程（泛定方程）微分方程（泛定方程）+ 定解条件定解条件例如：例如：两端固定两端固定的均匀弦的的均匀弦的自由振动自由振动的定解问题的定解问题2000

18、0(0,0)0,0(0)( ),( )(0)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl 通解中含有通解中含有待定常数待定常数, 需要由需要由已知条件已知条件确定确定.徐师大徐师大 蔡俊蔡俊一一. .初始条件初始条件初始条件初始条件：函数在：函数在初始时刻初始时刻的取值的取值.例：例：泛定方程中，若只含对时间的泛定方程中，若只含对时间的一阶一阶导数，导数，则只需则只需 1个个 初始条件：初始条件：0( , )( )tu x tx 若泛定方程含对时间的若泛定方程含对时间的二阶二阶导数导数, 则需则需 2个个 初始条件：初始条件：01( , )( )( )t tt tu x txux

19、，y y或者或者,00( , )( )( )tttu x txux ，y y徐师大徐师大 蔡俊蔡俊二二. .边界条件边界条件1. 第一类边界条件第一类边界条件(狄利克莱狄利克莱条件条件)( )uf t 2. 第二类边界条件第二类边界条件(诺依曼诺依曼条件条件)3. 第三类边界条件第三类边界条件(罗宾罗宾条件条件)( )uf tn ( )uaubf tn 若若 f 0, 为为齐次齐次边界条件边界条件; 否则为否则为非齐次非齐次边界条件边界条件.函数在边界上函数在边界上的方向导数的方向导数.函数在边界上的取值函数在边界上的取值.混合边界条件混合边界条件徐师大徐师大 蔡俊蔡俊二二. .定解问题定解问

20、题1. 初值问题初值问题(柯西问题柯西问题)泛定方程泛定方程 + 初值条件初值条件2. 边值问题边值问题泛定方程泛定方程 + 边值条件边值条件3. 初边值问题初边值问题 (混合问题混合问题)泛定方程泛定方程 + 初值条件初值条件 + 边值条件边值条件此时，定解问题为不含时问题。此时，定解问题为不含时问题。根据边界条件，称为根据边界条件，称为狄利克莱狄利克莱、诺依曼诺依曼或或罗宾罗宾问题。问题。此时，所求解问题可此时，所求解问题可近似近似为为无界区域无界区域.徐师大徐师大 蔡俊蔡俊三三. . 解的适定性解的适定性 实际问题实际问题 定解问题定解问题( (数学模型数学模型) )解是否解是否存在存在

21、、唯一唯一、稳定稳定？No定解问题定解问题适当适当、确定确定Yes徐师大徐师大 蔡俊蔡俊补充知识补充知识：正交曲线坐标系：正交曲线坐标系对一般曲线坐标系中对一般曲线坐标系中,其三个坐标为其三个坐标为 u1, u2, u3123, e ee111222333dd, dd, ddlh ulhulh uh1，h2，h3 称为称为尺度因子尺度因子沿这三个方向的单位矢量为沿这三个方向的单位矢量为设三个方向的线元设三个方向的线元:则，体积元则，体积元 123123123dd d dd ddVlllh h hu uu徐师大徐师大 蔡俊蔡俊球坐标系球坐标系( , ,)r 例例: 柱坐标系柱坐标系( , ) z

22、 11,zhhh1,sinrhhrhrddddVz 2dsind ddVrr 球面元：球面元：2dddsinddSVrr2ddsinddSr立体角元立体角元: :体积元：体积元：体积元：体积元：徐师大徐师大 蔡俊蔡俊在正交曲线坐标系中在正交曲线坐标系中, 对标量对标量 f , 和矢量和矢量 , 有一般公式：有一般公式：123112233111feeefhuhuhu1 1223 3Ff ef ef e2313 121231231231()()()Fh h fh h fhh fhh huuu3322123231133231312211312121()()1()()1()() Fh fh feh h

23、uuh fh feh huuh fh feh huu123233112123112233111eeeh hh hh huuuh fh fh f 梯度：梯度：散度：散度：旋度：旋度：2233 1121231112223331()()()h hh hhhffffhh huhuuhuuhu例如，在例如，在柱坐标系柱坐标系中：中： 22222211()ffffz22222222111()(sin)sinsinffffrrrrrr 11(,)zhhh1(,sin)rhhrhr在在球坐标系球坐标系中：中：徐师大徐师大 蔡俊蔡俊l以下为草稿徐师大徐师大 蔡俊蔡俊推导柱坐标系下的拉普拉斯算子222222uux

24、yz 徐师大徐师大 蔡俊蔡俊推导球坐标系下的拉普拉斯算子222222uuxyz 以下来自周明儒先生的习题答案以下来自周明儒先生的习题答案徐师大徐师大 蔡俊蔡俊推导球坐标系下的拉普拉斯算子 （下面是个笨方法）222222uuxyz sincossinsincosxryrzr222222arctan()arctan( )rxyzxyzyx法一，以直角坐标为中间变量。法二，以球坐标为中间变量。直接计算出下面以法二为例。u222222,uuuuuurr和1. 计算出2. 从第1步的表达式中，计算出222222,uuuxyz和徐师大徐师大 蔡俊蔡俊r xxxuu ruux22222()()()() r

25、xxxr xxxrxr xxxxxxxxrrxrxxrxxr xxxxxrxxxxxrxxxuu ruuxxu ruuxxxu ru ruuuuxxxurururu ruuuruuuru 2222()xxxrrxxxrxxxxrxxr xxxxxxuuruuuruuru ruu 2222222222222()()()2()()()()()()()(rrxyyxyzxyzrxxyyzzxxyyzzrxxyyzzrxxyyzzxxyyzzxxyyzzrrxyyxyuurrruuurrruurrru rrruuurrru 2222)()2()()()()()()xyzrxxyyxxyyrxxyyzz

26、rxxyyzzxxyyzzxxyyuurruurrru rrruu 徐师大徐师大 蔡俊蔡俊22222222223sincos ,112,xxyyxxxxyyzzrxyzxrrrrrx xyzrrrrrrrrr2222222222222222222arctan( )012(),()1 ( )112,()1 ( )11,0,0sinzxxxyyyxyxxyyxxyyycxyyxyyxxyxyxxxyyxxyxyxrrxyr徐师大徐师大 蔡俊蔡俊22222222222222222222222222222222222222222arctan()1coscos,()1cos sin,()1sin,1()

27、()xyzxxyyxyczxxzxyrz xyxyzxyzyzrxyzxyxyxyxyzxyzrzxzyyzxxyxxyzxyxyzxy 222222222222222222222222220()()0coscoscossinsin1xxyyzzxyzyxyxxzyyzzrrrrrr xyzxyzxyxyzxyrr徐师大徐师大 蔡俊蔡俊222222222222222222432422222222224324222222222222222222222()2()() ()2() ()2() ()22 ()()()xxyyzzxz xyzxyxzx xyxyzxyxyzxyzyz yx zzx yxyzxyxyzxz xy zzx yxyzxyxyz xyz xyxyzxyz222222322442222222222322222222222222222222 ()()()2() ()()()() ()()cossinxxyyzzxyz xyzxyz xyzx yxyzxyxyzxyz xyzxyzxyxyxyzxyr徐师大徐师大 蔡俊蔡俊1 sin1coscossinsin