高等数学第三节 任意项级数ppt课件

1、, 1中中如果在任意项级数如果在任意项级数 nnu这样的恣意项级数就叫做交错级数这样的恣意项级数就叫做交错级数 .,)1(1321 nnuuuu. ), 3 , 2 , 1(0 nun其其中中它的一它的一般方式为般方式为正负号相间出正负号相间出现，现， 在级数在级数 中，总含有无穷多个正项和负项中，总含有无穷多个正项和负项叫恣意项级数叫恣意项级数. 1nnu 设交设交错级数错级数: )1(11满足满足nnnu 定理定理 1 (莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)审敛法审敛法) (1)nu ;, 3 , 2 , 11) )( ( nun,0lim(2) nnu , )1(11收收敛敛则则级级数数n

2、nnu S 且且其其和和.1u 这就是一个正项级数这就是一个正项级数的前的前 m 项部分和，项部分和，证证 我们根据项数我们根据项数 n n 是奇数或偶数分别是奇数或偶数分别考考.nS察察设设 n 为偶数，为偶数，于是于是 .2123212mmmnuuuuuSS 将其每两项括在一同将其每两项括在一同. )()()(21243212mmmuuuuuuS 由条件由条件 (1) 可知，可知，每个括号内的值都大于或等于零每个括号内的值都大于或等于零.假设把每个括号看成是一项，假设把每个括号看成是一项， 它显然随着它显然随着 m 的添加而单调增的添加而单调增加加.另一方面另一方面 ，假设把部分和假设把部

3、分和改写为改写为mS2.)()(212223212mmmmuuuuuuS 即部分和数列有界即部分和数列有界.根据本章第二节定理根据本章第二节定理 1 ，有有.lim2SSmn mS2 (1)可可知知由由条条件件,1u当当 n 为奇数时，为奇数时， 我们总可把部分和写为我们总可把部分和写为 12mnSS,122 mmuS再由条件再由条件 (2) 可得可得12limlim mnnnSS.)(lim122SuSmmn 这就阐明，不论这就阐明，不论 n 为奇数还是偶数为奇数还是偶数.都有都有.limSSnn 故交错级数故交错级数. )1(11收敛收敛nnnu ,lim 2SSmn 而而 定理定理 1

4、也称为也称为交错级数审敛法或莱布尼茨审敛法交错级数审敛法或莱布尼茨审敛法. , 由由于于最最后后mS2,1u可知，有可知，有S,1u例例 1 试断定交错级数试断定交错级数. 2)1(11的的收收敛敛性性nnnn 解解,2 nnnu 因为因为,2111 nnnu而而 1 nnuu.02limlim nnnnnu又因为又因为所以由交错级数审敛法可知，所以由交错级数审敛法可知，. 2)1( 11收敛收敛交错级数交错级数nnnn 1121212 nnnnnn, ),3,2,1(0 n. ),3,2,1( nnu 所以所以1 nu解解 在利用交错级数审敛法时，在利用交错级数审敛法时，.lim nnu 所

5、以我们先来求所以我们先来求.012limlim 2 nnunnn对于条件对于条件 (1)，有时可利用导数工具来判别有时可利用导数工具来判别 .,12)(2xxxf 设设函函数数由于由于.)1(2)(3xxxf 例例 2 试断定交错试断定交错的的级级数数21112)1( nnnn . 收收敛敛性性条件条件 (2)往往比较容易判别，往往比较容易判别，由此可以推得由此可以推得. 12)1( 211收收敛敛交交错错级级数数因因此此nnnn 212)(xxxf 即函数即函数. 单调减小单调减小 x所以当所以当, 1时时)(xf .0212nn ,),3,2,1()1(1)1(22 nnnnu 即即.),

6、3,2,1(1 nun例例 3 试利用交错级数试利用交错级数,101)1(1011011111011-2 nn, 1110 的近似值的近似值计算计算使其误差不超越使其误差不超越 0. 0001 .解解n nnn 101)1( 111的的前前如如果果利利用用级级数数 ,1110的的近近似似值值项项和和来来做做为为 nr那那么么余余项项的的绝绝对对值值. 就是误差值就是误差值 又由于该级数是满足莱布尼茨审敛又由于该级数是满足莱布尼茨审敛法的条件的交错级数，法的条件的交错级数，.0001. 0101 ,101)1( 45111 unnn因为其第五项因为其第五项观察级数观察级数, 1110 , 的值的

7、值只要前四项和来计算只要前四项和来计算所以所以即即,909. 01011011011111032 就可以保证近似值的误差不超越就可以保证近似值的误差不超越 0.0001 ., 也是交错级数也是交错级数所以余项所以余项nr且有且有nr .1 nu的各项取绝对值后的各项取绝对值后将级数将级数 1nnu, 1收收敛敛如如果果 nnu 1 nnu就就称称原原级级数数绝对收敛绝对收敛. .定理定理 2 2则则级级数数绝绝对对收收敛敛 若若级级数数 , 1 nnu.1必必收收敛敛 nnu,1 nnu级数级数得到正项得到正项例例 4 试断定级数试断定级数解解 调查级数调查级数 .22112122)1( nn

8、nnnnnn nnnn212423222122)1(423222. 的收敛性的收敛性因此由定理因此由定理 2 可知该级数收敛可知该级数收敛 ., 1发散发散级数级数如果如果 nnu, 1收敛收敛但级数但级数 nnu为为则则称称该该级级数数 1 nnu条件收敛条件收敛 . 绝绝对对收收敛敛 122)1(21nnnnn即即任任意意项项级级数数 122 nnn不不难难判判定定级级数数利用正项级数比值审敛法，利用正项级数比值审敛法，是收敛的，是收敛的，例例 5 试证明试证明21112)1( nnnn 交交错错级级数数 .条件收敛条件收敛证证 2 中中已已经经证证明明了了交交错错级级数数在在例例. 12)1(211收收敛敛nnnn 这里只需证明级数这里只需证明级数 . 12112发散就可以了发散就可以了 nnnn由于由于 ,12 1211212