非稳态导热习题

1、第三章非稳态导热习题例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h,且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为tf。电热器假定为均质的固体，密度为P,比热为C,体积为V表面积为A,表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为to。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。解根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。电热器以辐射换热方式散失的热量为：rA(T4Tf4)(1)以对流换热方式的热量为:chA(TTf)(2)电热器断电后无内热源,只考虑电热

2、器的热力学能根据能量守恒定律,散失的热量应等于电热器能量的减少。若(3)cvdTd因此，相应的微分方程式为:A(T4Tf4)hA(TTf)cvd!d(4)初始条件为：(5)T=0,t=to上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。例电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为tf的周围空气之间的平均对流换热系数为h,且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。解根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：chA仃Tf)

3、(1)保险丝的内热源为：Q=IR2(2)式中：I保险丝通过的电流，(A);R保险丝的电阻，Q。根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能(3)Q0cV匹d因此，相应的微分方程式为:hA(TTf)i2r哼(4)初始条件为：T=0,t=tf(5)上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。令ttfI2rhA，则上述微分方程改写为cVd(6)hAd该微分方程的解为hA0eXP(cV)0eXP(BiFO)(7)以温度t表示该解ttfi2R(tthA(t0tfI2r)(hA)exp(X)(8)由初始条件T=0,to=tf，该式可与为ttfI

4、2r1exp(hAhA)cV(9)上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度变化的作用。例一块厚10mm的纯铝板置于温度为10C的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h=10W/(m2K)，且为常数。求该铝板从100C降到20C所需时间及当时的热流密度。解求解瞬态导热问题，数法。查取铝的物性参数，密度W/(m-K)。应先计算比渥准则p=2702kg/mBi的数值，确定是否能采用简单的集总参3，比热容c=903J/kg，导热系数入=237BihVA100.01237A'2A'2.11104(1)(2)(3)Bi<,可用集总参数法计算。0

5、exp(hACV2010(10010)exp(102A'27029030.01A'(4)Bihr。50r。210(1)因半径r0未知，比渥准则Bi的数值无法计算。但可假定Bi<，先用集总参数法计算,t=2680s铝板从100C降到20C时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数h均为已知，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。2q=h(t-tf)=10x(20-10)=100W/m(5)例用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。现要求一个初温为to的球形热电偶与温度为tf的被测流体接触后，在1s内所指示的过余温度比95%。现有一铜-

6、康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h=50W/(m2K)，且为常数。试求该球形热电偶接点的最大允许半径°。解求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi。查取铜的物性参数，密度p=8954kg/m3,比热容c=384J/kg,导热系数入=398W/(mK);查取康铜的物性参数，密度p=89223kg/m，比热容c=410J/kg，导热系数入=22W/(mK)。球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度p=8938kg/m,比热容c=397J/kg,导热系数入=210W/(m-K)。然后进行较核。0.95exp(°exp(504r02893839

7、7hAeV(2)34r。1)exp(主翌r。空)(3)-4r0=x10mhr°50r°210=校核r0,Bi0.1(5)因为比渥准则Bi<<，上述分析计算合理。讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi,一旦Bi<,就可以用简单的集总参数法计算，但是Bi数值的确定需要先知道定型尺寸的数值。本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定Bi，能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核集总参数法的应用条件Bi是满足的。例某种电路中所用的保险丝的直径为0.5mm,长20mm导热系数入=20W/(m-K)，热扩散率a=5X10-5nVs,电阻为Q,熔

8、点为900C。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为20C的周围空气之间的平均对流换热系数为10W/(m2K)，且为常数。试确定该保险丝通过2A的电流后多少时间会熔断。180C的烘箱中烤熟。假定生入=W/(m-K)，仅考虑由于对流30W/(nfK)，且为常数。试解该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。BihVA10d2l/40.1(1)20dl根据解析题，I2R“hAttf1exp()(2)hAcV代入具体数值220.810dl900201exp(-)10dl20d2l/45105880=

9、x4101-expT)(4)T=S(5)例将直径为30mm初温为20C的生红肠放入温度为红肠的密度p=960kg/m3，比热容c=5000J/kg，导热系数换热的加热量，红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为求生红肠放入烘箱中10min时红肠的中心温度。解红肠可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。hV300.032/4l(1)Bi0.1A0.90.03l因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。BihR300.0150.90.5匚c0.96000.5cR296050000.0152查计算线图(海斯勒图)得tm180m0.56(4)020180解得生红

10、肠放入烘箱中10min时的中心温度tn=90.4C例直径为400mm、初温为20C的钢棒放入温度为600C的炉中加热。钢棒的密度P=7833kg/m，比热容c=465J/kg，导热系数入=54W/(mK)，仅考虑由于对流换热的加热量，钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为130W/(m2K)，且为常数。试求钢棒中心温度达到400C时所需的时间，并确定此时钢棒的表面温度。解钢棒可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。BihV130""A54°42/40.10.4l因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。BihR130

11、6;20.481454钢棒中心温度达到400C时,400竺0.344860020查计算线图(海斯勒图)得Fo准则的数值为Fo1.354cR278334650.223.706104解得钢棒中心温度达到400C时所需的时间t=3508sRtR4006000.79600解得此时钢棒的表面温度tR=442C例截面为1mx1m的耐火砖方形长柱体，初温为20C,与600C的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气之间的平均对流换热系数为20W/(m2K)，且为常数。耐火砖的密度p=2000kg/m，比热容c=960J/kg，导热系数入=W/(mK),试求耐火砖柱体与烟气接触120小时时方柱体的

12、中心温度。解瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。0.1(1)°hV2011lBiA1.0741l的方法。方形长柱体因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的导热是二维导热问题，可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。Bih200.59.346(2)1.07Fo1.074320000.963c220009600.52再查计算线图(海斯勒图)得0.18因此，方形长柱体中心的过余温度比tmtfJ600tf206000.180.18最后解得120小时时方形长柱体的中心温度tn=581.2°CO例一块厚300mm的无限大钢板密度p=7753kg/m3,比热容c

13、=486J/kg，导热系数入=36W/(mK)初温为900C,突然置于20C的空气气流中，空气和钢板间的对流换热系数为400W/(mbK)。求钢板表面温度达到200C时所需时间。解瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。BihV400°3A'0.1A362A'(1)因此不能用集总参数法，只能用查计算线图由于中心温度未知，不能用含有傅立叶数图确定中心温度。(海斯勒图)的方法。Fo的第一张图直接查时间,只能先用第二张Bi4000.15361.667晋0.54解得中心温度tn=353.3C接下来用第一张图，Bi-1=,中心处的过余温度比353.320900200.3788,查

14、得傅立叶数FoF°P3677534860.152最后解得钢板表面温度达到200C时所需时间t=2255s例一钢锭加热到400C,浸在100C的水中冷却。钢锭的密度p=7753kg/m3，比热容c=486J/kg，导热系数入=36W/(m-K)。试求3min后深度为5cm处的温度。解水沸腾时对流换热系数很大，若忽略钢锭表面的对流换热热阻，本题可视为半无限大物体在恒温边界条件下的温度分布问题。相应的温度表达式为t(x,)t。tw-6(1)热扩散率a=x/pc=36/(7753X486)=X10。0.05erf(0.6029)=0.6061t(X，)100erf(°.°

15、5)4001002、9.554106180最后解得3min后深度为5cm处的温度t=281.8°C.例若将一以余弦函数形式的周期性温度变化加在一块很大的钢筋混凝土表面，使其温度由35C变化到90C的一个完整循环需要15min。钢筋混凝土的密度p=2400kg/m3,比热容c=840J/kg，导热系数入=W/(mK)试求温度波动2小时后，距表面5cm处的温度。解本题可视为半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布问题。根据已知条件，温度波动幅度A=(90-35)/2=27.5C温度波动周期T=60X15=900s(x,)Aexp(0.053.141.5490024008403.379(1)50.243.37946.81=相应的温度表达式为(1)温度波动2小时后，距表面5cm处的温度(0.05