111任意角 (2)

1、1.1 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1.1.1 1.1.1 任意角任意角第一章第一章 三角函数三角函数 高中新课程数学必修高中新课程数学必修知识回顾知识回顾1.1.想一想，初中时我们是怎么定义角想一想，初中时我们是怎么定义角 的？的？角的取值范围如何？角的取值范围如何？ 定义：角是由平面内一点引出的两条定义：角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形。射线所组成的图形。范围：范围：0o180o范围：范围：0o360o 过去我们学习了过去我们学习了0 0o o360360o o范范围的角，但在实际问题中还会遇到围的角，但在实际问题中还会遇到其他角其他角 再如钟表的指针、拧动螺丝再如钟表

2、的指针、拧动螺丝的扳手等，它们按照不同方向旋的扳手等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是转所成的角，不全是0 0o o360360o o范围内的角范围内的角. .因此，我们必须将角因此，我们必须将角的概念进行推广的概念进行推广. . 知识探究（一）：角的概念的推广知识探究（一）：角的概念的推广 思考思考1 1：怎样升级角的定义，让它更科学怎样升级角的定义，让它更科学更合理？更合理？ 由平面内一条射线绕其端点从由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成一个位置旋转到另一个位置所组成的图形的图形.oAB思考思考2 2：如图，一条射线的端点是如图，一条射线的端点是O O，它，它从起始

3、位置从起始位置OAOA旋转旋转到终止位置到终止位置OBOB，形成，形成了一个角了一个角，其中点，其中点O O，射线，射线OAOA、OBOB分别分别叫什么名称？叫什么名称？A AOB B始边始边终终边边顶点顶点思考思考3 3：为了区分形成角的两种不同的旋为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？吗？ 规定：规定：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角，按按顺时针顺时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角如果一条射线如果一条射线没有作任

4、何旋转没有作任何旋转，则称它，则称它形成了一个形成了一个零角零角. .思考思考4 4：如何确定一个角呢？如何确定一个角呢？ 方向：顺时针、逆时针方向：顺时针、逆时针 圈数圈数2 2、有结果、有结果 1、有过程、有过程终点位置终点位置说明：说明：1 1、角的正负的规定纯属习惯；角的正负的规定纯属习惯；任何新概念，新知识的产生，都有它的现实任何新概念，新知识的产生，都有它的现实意义，生活需要。意义，生活需要。2 2、 零角无正负，始边与终边重合零角无正负，始边与终边重合考虑：始边与终边重合的角是零角，对考虑：始边与终边重合的角是零角，对否？否？ 画图表示一个大小一定的角，画图表示一个大小一定的角，

5、先画一条射线作为角的始边，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线终边，并用带箭头的螺旋线加以标注加以标注. . B B2 2A AB B1 1O O思考思考5 5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小范围就扩展到了任意大小. . 对于对于210210，150150，660660，你能用图形表，你能用图形表示这些角吗？

6、你能总结一下作图的要点吗？示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 知识探究（二）：知识探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶角的顶点与原点重合点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合轴重合，那么对一个任意角，角的终边，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy思考思考2 2：如果角的终边在第几象限，我们如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是就说这个角是第几象限的角第几象限的角；如果角的；如果角的终边在坐标轴上，就认

7、为这个角不属于终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为任何象限，或称这个角为轴线角轴线角. .那么下那么下列各角：列各角：-50-50，405405，210210, , -200-200，450450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的第二象限的角一定比第一象限的角大吗？角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小能反映角的大小. 思考思考5 5：若若 180180360360，那么，那么 一定在第三象限或第四象限吗？一

8、定在第三象限或第四象限吗？思考思考3 3：锐角是第几象限角？锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？第一象限角一定是锐角吗？思考思考6 6：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的终角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定边在什么位置？终边在该位置的角一定是是135135吗？吗？xyo知识探究（三）：知识探究（三）：终边相同的角终边相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第几是第几象限的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o328328328= = 3232 +360 +360392392= = 3232 -360 -3

9、60思考思考2：与与32角终边相同的角有多少角终边相同的角有多少个？个？ 这些角与这些角与32角在数量上相差多角在数量上相差多少？少？ 思考思考3：所有与所有与32角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同32角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S吗？吗？ S=|=S=|=3232k k360360，kZkZk360k360（kZkZ）S=|=S=|=k k360360，kZkZ，即任一与即任一与终边相同的角，都可以表示终边相同的角，都可以表示成角成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同

10、的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示？样表示？ 注：注： kZ； 角相等，终边一定相同；但角相等，终边一定相同；但终边相同，角不一定相等，这样的终边相同，角不一定相等，这样的角有无穷多个，它们相差角有无穷多个，它们相差360的的整数倍；整数倍； 是任意角是任意角(正角，负角，零正角，负角，零角角)，但一般人们通常选用，但一般人们通常选用0到到360之间的角，以便观察它是第之间的角，以便观察它是第几象限角几象限角锐角：锐角： 090：小于小于90的角：的角： 第一象限角：第一象限角： 区分几个容易混淆的角区分几个容易混淆的角| 0 90| 09

11、0|90| k360k360+90，kZ13010801110360oooo 21217972048540-360oooo 例例l、在、在0360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：相同的角，并判定它们是第几象限角： 1110 -1234 665 -54048 1110=30+3360 -54048 =17912+(-2)360解：解： 1110=30+3360与与30的角终边相同，是第一象限角的角终边相同，是第一象限角 -1234=206+(-4)360与与206的角终边相同，是第三象限角的角终边相同，是第三象限角 665=305+360与与

12、305的角终边相同，是第四象限角的角终边相同，是第四象限角 -54048 =17912+(-2)360与与17912的角终边相同，是第二象限角的角终边相同，是第二象限角理论迁移理论迁移 思考思考6 6：终边在终边在x x轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴，y y轴轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：轴正半轴：= k360，kZ ；x轴负半轴：轴负半轴：= 180k360，kZ ；y轴正半轴：轴正半轴：= 90k360，kZ ；y轴负半轴：轴负半轴：= 270k360，kZ .思考思考7 7：终边在终边在x x轴、轴、y y轴上的角的集合分轴上的角

13、的集合分别如何表示？别如何表示？ 终边在终边在x轴上：轴上：S=|=k180，kZ；终边在终边在y轴上：轴上： S=|=90k180，kZ. 思考思考5 5：终边在第一、二、三、四象限的终边在第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？角的集合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：S= | k36090k360 ，kZ；第二象限：第二象限：S= | 90k360 180k360，kZ；第三象限：第三象限：S= | 180k360 270k360，kZ；第四象限：第四象限：S= | 90k360k360，kZ.例例2 2 写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并，

14、并把把S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720720的元的元素写出来素写出来. . aS=|=45n180，nZ. S = |=45k360, kZ |=180+45k360,kZ.315，-135，45，225，405，585. B45OAxy令令-36045+n180720，得，得 -2.25n3.75 练习练习 1 1、如果、如果，终边相同，则终边相同，则-的终的终 边落在（边落在（ ） A. X轴的正半轴上轴的正半轴上 B. X轴的负半轴上轴的负半轴上 C. y轴的正半轴上轴的正半轴上 D. y轴的负半轴上轴的负半轴上A2 2、与、与-1778的终边相同且绝对值最小的终边相同且绝对值最小 的角是的角是_ 。22A.锐角B.小于90的角C.第一象限的角D.以上说法都不对3 3、A=小于小于90的角的角，B=第一象限的角第一象限的角 则则AB等于等于 （ ）D小小 结结1.1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值角的概念推广后，角的大小可以任意取值. . 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个把角放在直角坐标