高考导数问题的题型方法大盘点

1、高考导数问题的题型方法大盘点新教材引入导数的内容后，拓展了高中数学学习和研究的领域，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，也为高中数学解题增添了新的视角，新的方法。此外，由于导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数等知识的紧密相联，在这些知识交汇点处设计层次不同，难度可控的试题，拓宽了高考的命题空间。近几年的高考，逐年加大了对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，以考查学生对知识的整体把握和综合能力已成为新高考中的一道靓丽的风景线。下面笔者谈谈导数问题的常见类型及其解法，以供参考。1对导数定义和求导法则的考查例1设函数fx二cos、W

2、H0：“；,若x是奇函数，则解：f'x-sin.3x亠门J.3x亠门3sin.3x'?hxi=fxf'x=2cos§cos3xJ；sin§sin.3x=2cosW3xl'要使hx为奇函数，需且仅需-=k：k三Z，即：=k：k三Z。32丿6又0”富，所以k只能取0，从而：=L。6点评：本题考查了三角函数求导公式及函数的奇偶性，属于低起点题，但命题形式生动活泼只要能够对三角函数顺利求导，就能快速做出答案2对导数的几何意义的考查12例2曲线y和y二x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积x是.12解：曲线y和y=x在它们的交点坐标是（1，

3、1），利用求导的方法求切线的斜率得，x3两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x1，它们与x轴所围成的三角形的面积是3。4点评：本题涉及到函数曲线的切线问题，由于无法用传统的二次方程根的判别式来求解，导数的几何意义无疑为这类问题的解决提供了新方法、新途径。实际上，涉及到曲线的切线尤其是三次或三次以上的曲线与对数曲线、指数曲线等曲线的切线和公切线问题，常常考虑利用导数来求解，可谓事半功倍。3对利用导数求函数的极值或最值的考查利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间a,b上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际问题是高中函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化、程序化，因

4、而已逐渐成为新高考的一大热点。例3已知函数f(x)=4x3-3x2cos'，其中xR，二为参数，且0<<n,(I)322当cost-0时，判断函数f(x)是否有极值；(n)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数二的取值范围;31解：(I)当cost-0时f(x)=4x-一,则f(x)在(：，：)内是增函数，故无极值。2cos&(II)f'(x)=12x2-6xcos&令f'(x)二0,得人=0,X2:由0级誇及(山只需考虑cos°的情况。x(皿,0)0cos6(0，2)cos日2cos日(2严)f'(x)+00+f(x)极大

5、值4极小值当x变化时，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:因此，函数f(x)在x二处取得极小值cos811要使f()0,必有cos30,可得2432评注：本小题主要考查运用导数研究函数的极值、析和解决问题的能力。类问题的重要工具。COSrcosf(-),且f(=)=221 兀0cos：,所以一：:亍2 3解不等式等基础知识，-1co.432这类问题用传统数学教材中的在识与方法往往难以解决，ji。2考查学生的综合分导数成为破解此4运用导数解决与函数单调性有关的问题的考查运用导数的符号判断函数单调性的知识，或者已知函数的单调性，反过来确定函数式中特定字母的值或范围。并且在知识考核的

6、过程中包含着对分类讨论及转化与化归等的数学思想的全面考查，是近年来高考的必考之点。例4设x=3是函数f(x)=(x2ax巾疋气乂，R)的一个极值点，求f(x)的单调区间。解：由题意得：f/(x)=-x2+(a-2)x+bae3_x,由f，(3)=0,得32+(a2)3+bae33=0，即得b=32a,则：f(x)=x?+(a2)x32aaex=x?+(a2)x33aex=(x3)(x+a+1)ex,令f/(x)=0,得xi=3或X2=a-1，由于x=3是极值点，所以x+a+1丰0,那么a4.(1) 当a<4时，X2>3=xi，则在区间(一a,3)上,f/(x)<0,f(x)为

7、减函数；在区间(3，一a1)上,f/(x)>0,f(x)为增函数；在区间(一a1，+)上,f/(x)<0,f(x)为减函数；(2) 当a>4时，X2<3=X1,则在区间(一a,a1)上,f'(x)<0,f(x)为减函数；在区间(一a-1,3)上,f/(x)>0,f(x)为增函数；在区间(3,+a)上,f'(x)<0,f(x)为减函数。例5设a为实数，函数f(x)=x3ax2+(a2-1)x在(旳,0)和(1,亦)都是增函数，求a的取值范围。解：f(x)=3x22ax+(a21)，其判别式=4a212a2+12=128a2,+a)为增(i

8、)若厶=128a2=0,即a=±f，当x(a,|)或x(|,+a)时，f(x)>0,f(x)在(一a,函数，所以a=6；223(ii)若厶=128a<0，恒有f(x)>0,f(x)在(a，+a)为增函数，所以a>",即a(a66y)u(丁,+a),26人，、"f/口a冷32aa+Z32a(iii)若厶128a2>0，即一q<a<芬，令f(x)=0，解得X1=3,x2=3。当x(a,X1)或X(X2,+a)时，f(x)>0,f(x)为增函数；当x(X1,X2)时，f(X)<0,f(X)为减函数依题意X1>0

9、且X2<1，由X1>0得a>32a2，解得1<av6；由X2<1得32a2w3a,解得一_26<a26，从而a1,严综上a的取值范围为(一a,于川于户aU1,_26，即a(a,一中川1,a。点评：可导函数f(x)在(a,b)上是单增(或单减)函数的充要条件是：对于任意(a,b),都有f(x)-0(或f(x)乞0)，且f(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零。在高中阶段主要出现的是有一个或多个(有限个)使f(x)二0的点x的情况。上述两题主要考查了学生应用导数研究函数单调性的方法以及分类讨论及转化与化归的数学思想。这种命题方式是今后高考命题的一种趋向，体现

10、了高考"能力立意”的思想，复习中应引起高度重视。5对利用导数处理含参数的恒成立问题的考查恒成立问题中的参数取值范围，其解决方式较多，如果我们在短时间内难以很快寻得正确的解题思路时，可以考虑试试从导数知识入手，解题或许将锋回路转，柳暗花明，这就再一次说明导数在教材中的引入，拓宽了高考的命题空间，受到命题教师的青睐。1+xax例6已知函数fxe-x，若对任意xOO,1恒有fx1，求a的取值范围。1X2”ax+2a解：f(x)的定义域为(_s,1)U(1,+s)，对f(x)求导数得f'(x)=re_ax(1x)当0<a_2时,f'(x)>0,f(x)在(_s,1

11、)和(1,+s)为增函数，对任意x(0,1)恒有f(x)>f(0)=1;当a>2时,利用导数易得：f(x)在(s,a_2a_2a),'a,1),(1,+s)为增函数，f(x)在(a2a21a2')为减函数，取xo=2(0,1)，则由(I)知f(Xo)<f(0)=l；当a<0时,对任意x(0,1)，恒有芒X>1且e_aX>1，得f(x)=芒e_ax>兰>1.；综上当且仅当a(_s,2)时，对任意x(0,1)恒有f(x)>1。点评：含参数的恒成立不等式问题，常规解法涉及到分类讨论和建立较复杂的不等式组，对学生的要求比较高.导数的

12、引入，给传统的参数取值范围注入了生机与活力，为恒成立不等式中的参数取值范围的研究提供了新的视角、新的方法，本题就是运用求导法研究恒成立问题的一个很好的例证。6与导数有关的创新试题的考查类比思想是根据两个对象之间存在的某种关系，从一个对象具有的属性类比到另一个对象也具有类似属性的创新思维方式，即数学问题解决中从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，从而达到解题目标，当然，无论是题目本身还是题目的求解过程，其创新成分都比较高，很好地考查了学生的创新思维能力。.2_例7半径为r的圆的面积S(r)=二r,周长C(r)=2二r，若将r看作(0,+s)上的变量，则(二r2)'=2

13、-r,®式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0,+s)上的变量，请你写出类似于O1的式子：(?)式可以用语言叙述为：。解:v球=4二R，又(4二R)=4R故？式可填(4R)=4二R，用语言叙述为"球333的体积函数的导数等于球的表面积函数。”点评：本题是一道类比创新试题，它启示广大数学教师在平时的教学中要根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法，从而拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的实践能力和创新精神。7利用导数处理实际生产生

14、活中的优化问题的考查对于实际生产生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或他们的复合函数，均可以考虑利用导数法求其最值.由此可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例8请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)c试问当帐篷的顶点0到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设00为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为.32(x-1)2h.“82x-x2(单位：m于是底面正六边形的面积为(单位：帘)32(x一1)2=6甘<,8-2xx2

15、)2二乎卩2xx2)帐篷的体积为V(xA晋(8”。扣一1)1冷(1612x-x3)求导数，得V(x)二(12-3x2)，令V(x)=0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1<x<2时，V(X)0,V(x)为增函数；当2<x<4时，V(X):0,V(x)为减函数。所以当00=x=2时,V(x)最大。点评：这是一道实际生活中的有关立体几何的优化问题，建立的目函数模型是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有简洁方法，即使能求出，也要涉及到较高的运算技能和技巧。而运用导数知识，则非常容易解决该问题。8导数与其它知识的融合例9设函数f(x)=-X33x2分别在为、X2处取得

16、极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为(儿(人)、(X2,f(X2)，该平面上动点P满足PA?PB=4,点Q是点P关于直线y=2(X-4)的对称点.求：(I)求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.解：(I)令f(x)=(-x33x2-3x2*3=0，解得x=1或x=-1,当X:：-1时,f(x)<0，当一1:：X:：1时,f(x)0,当X1时,f(x):0,所以，函数在X-1处取得极小值，在X=1取得极大值，故X1二-1,X2=1,f(T)=0,f(1)=4，所以，点A、B的坐标为A(-1,0),B(1,4)。22(n)设p(m,n),Q(x,y),PAPB=-1一m,n*1-m,4n=m1n4n=4kpQ一1，所以g一1，又PQ的