龙贝格积分实验报告

1、1、Romberg积分法1.变步长Romberg积分法的原理复化求积方法对于提高精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要事先估计出部长。若步长过大，则精度难于保证；若步长过小，则计算量又不会太大。而用复化公式的截断误差来估计步长，其结果是步长往往过小，而且f"（X）和f（X）在区间a,b上的上界M的估计是较为困难的。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半（也就是把步长二等分），直到达到某种精度为止，这种方法就是Romberg积分法的思想。在步长的逐步分半过程中，要解决两个问题：1. 在计算出Tn后，如何计算T2N,即导出T2N和Tn之间的递推公式；2. 在计算

2、出Tn后，如何估计其误差，即算法的终止的准则是什么。首先推导梯形值的递推公式，在计算Tn时，需要计算N1个点处的函数值在计算出Tn后，在计算T2N时，需将每个子区间再做二等分，共新增N个节点。为了避免重复计算，计算T2N时，将已计算的N1个点的数值保留下来，只计算新增N个节点处的值。为此，把T2N表示成两部分之和，即1T2N-h2Nf(a)f(b)1?h2Nf(a)丄虹f(a)22f(b)f(b)N2kN22N12k11f(a11f(af(akh2N)kh2N)如）h2Nf(a(2k1)h2N)Nf(a(2k1)h2N)k1由此得到梯形值递推公式NT2NTNh2N2f(a(2k1)h2N)LL

3、LLLLLL1因此hiba"f(a)f(b),211h2hi,T2Tih2f(ah2)22由复化梯形公式的截断误差有ITn臂hNf"(i),aib121T2N_h2Nf(2),a2bi2r,HHH若f(x)变化不大时，即f(i)f(2)，则有I理TnT2N(T2NTn)LLLLLLLL24i3i式(2)表明，用T2N作为定积分I的近似值，其误差大致为-(T2NTn),3因此其终止条件为T2NTN其中是预先给定的精度。积分公式将上述方法不断推广下去，可以得到一个求积分的序列，而且这个序列很快收敛到所求的定积分。记tN°)Tn，将区间N等分的梯形值。Tf)Sn，将区间

4、N等分的SimpsontN2)Cn，将区间N等分的Cotes。tN3)Rn，将区间N等分的Romberg由其可构造一个序列T(k)，次序列称为Romberg序列，并满足如下递推关系：Ti(0)宁f(a)f(b),谓期k八f(ak1(2k),4kT(k1)T(k1)k2NN_N4k1'1,2,L以上递推公式就是Romberg积分递推公式积分程序1.置N1,精度要求,h|ba；2.计算*宁伽f（b）；3.置h2NhN2,并计算T2（N）baNk1f(a4.N,N2N,K1;5.计算tMk(k1)(k1)412M1M；4k16.7.若T(k)M,kk2,则停止计算（输出T1（k）,否则转（3

5、）。1,则转（7）;否则置M1转(5);(k1)积分法的应用functionT,n=romb(f,a,b,eps)doubleRifnarginv4,eps=1e-8;endh=b-a;R(1,1)=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b);n=1;J=0;err=1;while(err>eps)J=J+1;h=h/2;S=0;fori=1:nx=a+h*(2*i-1);S=S+feval(f,x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;fork=1:JR(J+1,k+1)=(4Ak*R(J+1,k)-R(J,k)/(4Ak-1);enderr=abs(R(J

6、+1,J+1)-R(J+1,J);n=2*n;endR；T=R(J+1,J+1)End其中输入项：f为被积函数，ab为积分区间的端点值，ep为积分精度；输出项：T是逐次积分表值，n是迭代次数，R是最后积分值。程序调用可以将被积分函数编成函数文件，也可以直接使用内联函数来表示被积分函数，示例如下：>>f=inline('1/(1+x.A2)','x');>>T,n,R=romb(f,2,9,1e-9)运行后得出其迭代次数，最终积分结果以及龙贝格积分矩阵如表2-1所示，迭代次数N=64,最终的积分值R=.表2-1龙贝格积分矩阵3.课本例题求解11+xdx，(2)ln(1dx,(3)x1当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=32迭代结果R=表2-2式1对应的龙贝格积分矩阵2当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=32迭代结果R=.表2-3式2对应的龙贝格积分矩阵x0本题中近似取下限为1*10-9来进行计算。当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=16,迭代结果R=.表2-4式3对应的龙贝格积分矩阵4.对于积分