0702数量积与向量积-2ppt课件

1、|FOQM sin|FOP 引例引例LFPQO 二、向量积二、向量积第二节第二节 数量积与向量积数量积与向量积-2-2 MFOP :)1(模模定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba,baba 的向量积记作的向量积记作与与,是一个向量是一个向量规定规定ba 且且,sin| baba )(的夹角的夹角与与为为ba :)2(方方向向,baba及及垂直于垂直于 .符合右手系符合右手系、且且baba 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1 1反交换律：反交换律：.abba （

2、2分配律：分配律：.)(cbcacba ).()()(bababa )(, 0 ba;,0|结结论论显显然然成成立立时时当当 ba, 0sin 必必有有,0 或或 )(, 0sin , 0sin| baba证证ba/或或0 ba)2(/. 0 ba（3结合律：结合律：,0|时时当当 ba./ba. 0 ba),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 利用坐标计算向量积利用坐标计算向量积: : ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ij设设,k . jki , ijk ba向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式kbabajbaba

3、ibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的助记符向量积的助记符-行列式表示行列式表示: :ibbaazyzy jbbaazxzx kbbaayxyx zbbaaybbaaxbbaabbbaaazyxyxyxzxzxzyzyzyxzyx ba 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ba iijjkk? ?.zyxzyxbbbaaakji向量积的助记法向量积的助记法-行列式表示行列式表示: :ibbaazyzy jbbaazxzx kbbaayxyx zbbaaybbaaxbbaabbbaaazyxyxyxzxzxzy

4、zyzyxzyx ba 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ba iijjkk? ?.zyxzyxbbbaaakji例如例如),2, 0 , 1( a若若)4 , 1 , 2( b ba 则则kji 2 0 1 4 1 2 i2j8 k ).1 , 8, 2( 补充说明补充说明:abbac :|表表示示ba 为为邻邻边边的的以以ba,平平行行四四边边形形的的面面积积向量积的应用：向量积的应用：（2方向方向.（1模模;例例1.)1 , 2 , 0()2 , 1, 1(均均垂垂直直的的向向量量和和求求一一个个与与 ba解解,均均垂

5、垂直直的的向向量量和和就就是是一一个个与与baba ba 120211kjii5 .2倍倍三角形的面积三角形的面积j k2 ).2 , 1, 5( 解解bac 令令211423 kjikj510 , 55510|22 c:所求向量为所求向量为 ce例例2.)2, 1 , 1()4 , 2, 3(均均垂垂直直的的单单位位向向量量和和求求与与 ba kj5152)5 ,10, 0( 51,52, 0解解例例35,307 . ),7 , 4 , 2(),5 , 4 , 3(),3 , 2 , 1(LPABCCBAABC的的面面积积求求的的顶顶点点分分别别为为已已知知 kji 2 2 24 2 1),

6、2 , 6, 4( .14 ABCS|21ACABSABC ),2 , 2 , 2( AB又又),4 , 2 , 1( AC ACAB,142| ACABACBDABCD练习练习1.,)1, 3 , 1()2 , 6, 5()2 , 1, 1(BDACCBA边上的高边上的高求求三角形中三角形中的的和和、在顶点为在顶点为 625161215222 解解),3, 4 , 0( AC),0 , 5, 4( AB三角形三角形ABC的面积为的面积为:|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |,|521225BD . 5| BD),16,12,15( ABAC|,|

7、21BDACS 又又解解练习练习2.)(, 3| , 2| , 4|,pnmpnmpnm 计算计算且且符合右手规则符合右手规则两两垂直两两垂直设向量设向量mnp 的的夹夹角角与与pnm, 0 pnm)( cos|pnm , 13| nm),sin(|nmnmnm 124 ,2),( nm , 8 pnm)(138 .24 * *三、向量的混合积三、向量的混合积1. 定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,底面积底面积高高h故平行六面体体积为故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba

8、,以则其则其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3. 性质性质(1) 三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是0 (2) 轮换对称性轮换对称性 :(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出) cbacba,a b cab ca bcabc例例4. 已知一四面体的顶点已知一

9、四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的,61故故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA例例5. 证明四点证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面共面 .解解: 因因0)17,15,10(DABCD34512291416故故 A , B , C , D 四点共面四点

10、共面 .ADACAB向量的向量积的定义，运算律，行列式助记法，向量的向量积的定义，运算律，行列式助记法， 模及方向的意义及应用模及方向的意义及应用. .四、小结与教学基本要求四、小结与教学基本要求: :理解和掌握理解和掌握:向量的数量积的定义，运算律，坐标表示式，向量的数量积的定义，运算律，坐标表示式， 投影，夹角等计算方法投影，夹角等计算方法. .内容小结内容小结设1. 向量运算向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2. 向量关系向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba习题习题 7-2