(完整版)平面向量典型题型大全

1、平面向量题型1.基本概念判断正误:例2(1)化简：ABBCCD;ABAD(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa,BC(3)若O是ABC所在平面内一点，且满足OBDC;(与CD)(ACBD)b,ACC,则|Zbc|=Oc-.ObOc2Oa,则abc的形状为_9.与向量a=(12,5)平行的单位向量为125A,1313段包或生包1313”9或女工,1313131310 .如图，DE、F分别是中点，则下列等式中成立的有ABC边ARBCCA上的FDDAAF0FDDEEF0DEDABE0ADBEAF011 .设P是ABC所在平面内的一点,BCBA2BP,则(A.PAPB0B.

2、PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC014.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若图2A.AOODB. AO2ODC. AO3ODD. 2AOOD12 .已知点A(J3,1),B(0,0),C(J3,0).设BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BCCE,其中等于()A.2B.1C.-3D.-12313 .设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A.(2,6)B.(2,6)C.(2,6)D.(-2,-6)ADxAByAC,则xOC0,那么()15、已知O是4ABC所在平面

3、内一点，口为BC边中点且20AOB题型3平面向量基本定理平面向量的基本定理：如果ei和&是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、 2,使a=iei+2e2。性质：向量PA、丽、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得FA而PC且1.例3(1)若a(i,i)b(i,i),c(1,2),则c(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是、.i3A.e(0,0),e2(i,2)B.e(i,2)e(5,7)C.e(3,5),e2(6,i0)D.3(2,3)©(-,-)24(3)已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线，且ADa,BEb,

4、则BC可用向量£,6表示为(4)已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB,CDrABsAC,则rs的值是一(5)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,i),B(i,3)，若点C满足OCiOA2OB,其中i,2且i2i,则点C的轨迹是练习i.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e(0,0),62(i,2)B.ei(i,2),62(5,7)C.e(3,5),e2(6,i0)D.ei(2,3),e22.(20ii全国一5)在zXABC中,ABc,ACb.若点D满足BD2DC，则AD=()A.2bicb.5c2b3333C.2bicD.ib2c33333.如图所示，D是

5、ABC的边AB上的中点，则向量CDiA.BCBA2一i一C.BCiBA2题型4向量的坐标运算例4(i)已知点A(2,3),B(5,4),上i-B.BC-BA2iD.BCBA2C(7,i0),若APABAC(R),则当=时，点P在第一、三象限的角平分线1 (2)已知A(2,3),B(i,4)，且一AB(sinx,cosy),x,y(一,一),则xy2 _22_(3)已知作用在点A(i,i)的三个力Fi(3,4),F2(2,5),f3(3,i),则合力FFi目目的终点坐标是i(4)设A(2,3),B(i,5),且ACAB,AD3AB,则C、D的坐标分别是3练习i.已知AB(4,5),A(2,3),

6、则点B的坐标是2.设平面向量a3,5,b2,i，贝Ua2b()(A)7,3(B)7,7(C)i,7(D)i,33 .若向量AB(i,2),BC(3,4),则ACA.(4,6)B.(4,6)C.(2,2)D.(2,2)T1ab的最大值为一,2的值(6)下列命题中：a(bc)(bc)(ab)c；(ab)2_22|a|b|b|:若ab|a|2-2若abcb,则a(ab)2练习-2a-2一一2一2b;(ab)a*-22abb。其中正确的是1.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60求(1)ab,(2)a(ab),题型5.求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为，我们把数量|a

7、|b|cos叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：a?b,即6?6=a|b,cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。平面向量数量积坐标表示：a?bx1x2y1y2a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为，则：aba?b0；TT+Til-2一一12-J2T+I-当a,b同向时，a?b=ab,特别地，aa?aa,aYa；当a与b反向时，a?b=ab；当为锐角时，a?b>0,且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a?b0,且看、b不反向，ab0是为钝角

8、的必要非充分条件；例5(1) ABC中，|AB|3,|AC|4,|BC|5,则aBBC1.1(2)已知a(1,),b(0,),cakb,dab,c与d的夹角为一，则k等于224(3)已知同2,.b,5,ab3,则，ab等于;(4)已知a,b是两个非零向量，且a.b.ab-则a与ab的夹角为(5)a、c的夹角；(2)已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(1,0)。(1)若*=一,求向量34 一3右xe，一函数f(x)84(3)(ab)2,(4)(2ab)(a3b)。2 .已知a(2,6),b(8,10),求(1)叵|,6|,ab,3 .已知向量a=(1,1),b=

9、(2,x).若ab=1,则x=(A)-1(B)-1(C)1(D)1224已知向量a与b的夹角为120,，且ab4,那么a?b的值为5. ABC中，AB|2,BC3,B60,则AB?bC6、设5、b、c是单位向量，且3b=0,则ac?bc的最小值为()(A)2(B)板2(Q1(D)1我7、设ABC的三个内角A,B,C,向量m(J3sinA,sinB),n(cosB,JScosA),若m.n1cos(AB),则C=()A.B.题型6求向量的夹角非零向量a,b夹角的计算公式:例6C.cosa?bD.L6|a?b|a|b|(1)已知a(,2),b(3,2),如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是1.3

10、(2)已知OFQ的面积为S,且OFFQ1,若一S，则OF,FQ夹角的取值范围是22(3)已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式kabJ31akb,其中k0,用k表示ab;求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小练习1 .已知|9|8,|b|3,ab12,求5与b的夹角。2 .已知a(J3,1),b(2j3,2),求a与6的夹角。5.已知a(m,3),b(2,1),(1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围;(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6.若a,b是非零向量且满足(a2b)a,(b2a)b，则a与b的夹角是(A.B.C.-D.6336题型7.求向量的

11、模向量的模：|a|JX21,a?|a|2x2y2。两点间的距离：若Ax1,y1,BX2,y2,则|AB|例7、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60"那么|a3b|=1.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60",求(1)|ab|,(2)12a3b|。2 .设xR,向量a(x,1),b(1,2),且ab,则|ab|(A)4(B)炳(Q275(D)103 .若向量a,b满足a,1b,2且a与b的夹角为一，则3.*一.一，一一支汽11.(全国II)已知向重a=(sin0,1),b=(1,cos0),<8区.(I)若a±b,求0；(n)求Ia+bI的最大值.

12、题型8投影问题b在a上的投影为|b|cos,它是一个实数，但不一定大于0。例：已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为24,a与b的夹角,则向量b在向量a上的投影为33.关于a.ba.c且a0,有下列几种说法:a(bc);bc；a.(bc)0b在a方向上的投影等于c在a方向上的投影；b其中正确的个数是(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个5.若a=(2,3),b=(4,7),则a在b上的投影为。题型9.向量的平行与垂直向量平行(共线)的充要条件：a/bab(ab)2(|a|b|)2x1y2y1x2=0。向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20练习1

13、 .已知a(6,2),b(3,m),当m为何值时，(1)a/b?(2)ab?-rll2 .已知平面向量a(1,2),b(2,m),且ab,则2a3b=()题型10平面向量与三角形四心四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成（2）垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心一一角平分线的交点（内切圆的圆心）（4）外心一一中垂线的交点（外接圆的圆心）2:1;:角平分线上的任意点到角两边的距离相等;:外心到三角形各顶点的距离相等。结论iPAPBPC0P为ABC的重心；若Ax,yi,BX2,y2,C,则其重心的坐标为GXlX2X3,y1y2y333结论2PAPBPBPC,PCPAP为ABC的垂心；结论3设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心aOAbOBcOC0O为ABC的内心.向量（及也雪）（0）所在直线过ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）;|AB|AC|结论40AlOBOCO为ABC的外心。例10.若/ABC的三边的中点分别为（2,1）、（-3,4）、（-1,-1）,则ABC的重心的坐标为例11：O是平面上一定点，A、B、C