(完整版)高中数学平面向量讲义

1、专题六平面向量一.基本知识【1】向量的基本概念与基本运算(1)向量的基本概念：向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量(2)向量的加法：设云Ba,BCb,则a+6=XBBC=AC.0aa0a；向量加法满足交换律与结合律；ABBCCDPQQR而，但这时必须“首尾相连”.(3)向量的减法：相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，作图

2、法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点).(4)实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：(I)aa；(n)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a0,方向是任意的(5)两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a(6)平面向量的基本定理：如果e,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2使：a232,其中不共线的向量e,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可

3、表示成axiyj,记作a=(x,y)。(2) 平面向量的坐标运算：若axi,yi,bX2,y2,则abxx2,yy2若AXi,yi,BX2,y2,则aBX2xi,y?Vi若a=(x,y)，则a=(x,y)r-I-若a%,%,bx2,y2，则ab%y2x2yl0-1-若a%,y,bx2,y2,则ab%x2y1y2若ab,则xx2yiy20【3】平面向量的数量积(i)两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为，则ab=a数量积(或内积)bIcos叫做a与b的规定0a0(2)向量的投影：IbIcos=-a-bCR,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称|a|为射影(3)数量积的几何意义

4、:a-b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.向量的模与平方的关系:-2aaiai2(5)乘法公式成立:a2b；,2_2a2abb2ab(6)平面向量数量积的运算律:交换律成立：abba对实数的结合律成立:分配律成立：abcac特别注意：(1)结合律不成立：abcabC；(2)消去律不成立abac不能彳#到bc(3)ab=0不能彳#到口=0或6=0.(7)两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量a(,yi),b伪逸)，则ab=XiX2ym(8)向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a,而=5,则/人08=_n一.一.一、.0180)叫做向量a与b的夹角cos=cosa,ba?b_x1x

5、2y1y2同？bvxi2yi2v,x22y22当且仅当两个非零向量a与b同方向时，。=0,当且仅当a与b反方向时。=180,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题(9)垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作aXb,(10)两个非零向量垂直的充要条件：a_Lba,b=0x1x2y1y20.平面向量数量积的性质二.例题分析【模块一】向量的基本运算【例1给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若a.ibi,则ab在平行四边形ABCM一定有ABDC;,I,IIIIII若mn,np,则mp；若a/b,b/c,则ac任一向量与它的相反下列不相等.已知向量a0,且ab0

6、,则6oab的充要条件是ab且ab；若a与b方向相同，且a由，则ab；由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是【例2】已知向量3,6夹角为45，且1,2a4J10；求E的值.【变式1】若百2,同3,a63求ab的值.【变式2设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值【例3】已知向量ab的夹角为60,|a|3,|b|2,若(3a5b)(mab),求m的值.【例4】若向量a1,2,b1,1求2ab与ab的夹角.设x,yR,向量ax,1,b1,y,c2,4，且ac,b/c,则B.10C.2.5D.10【例5】已知两个非零向量a,b满足a

7、bab,则下列结论一定正确的是Aa/bB【变式1】设a,b是两个非零向量.A.若|a+b|=|a|-|b|,则abB.若a,b,则|a+b|=|a|-|b|C若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数入，使得a=入bD.若存在实数入,使得a=入b,贝U|a+b|=|a|-|b|【变式2若平面向量a,b满足：2ab3；则a6的最小值是【例6】设0,一，acos,sin，b21v32,2(1)证明abab；(2)当2ab.a2b时求角的值.b一成立的充分条件是（|b|【例7】设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使二|a|I-A. abB. a/bC. a2bD.a/b且|a|b|【模块二】向量与平

8、面几何【例1】在ABC中,A90AB1,AC2,设P、Q满足APAQ1AC,RBQCP2,则=ABAC【变式1】已知ABE等边三角形，AB2设P、Q满足aPAB,AQ1c=3RBQCP,则=()212C1一而D3立222例2在ABC中,AB=2,AC=3,AB-BC=1则BCA.3B.7C,2,2D.23【变式1】若向量BA2,3,CA4,7，则bCA.2,4B.2,4C.6,10D,6,10【例3】若等边ABC的边长为243,平面内一点1-2满足CMCB63MA?MB【例4】ABC中，AB边上的高为CD,若函a,CAb,ab0,|a|1,|b|2,则AD1-12-2-AabB.ab33333

9、_3-4-4_C.ab匚ab5555【例5】在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8),将向量OP按逆时针旋转后，得向量4OQ,则点Q的坐标是()A.(72,2)B.(72,2)C.(46,2)D.(46,2)【例6】在ABC,吊是BC的中点，A附3,BG10,则ABAC=【例8】如图,在矩形ABCD中，AB正，BC2,点E为BC的中点，点F在边CD【例7】在平行四边形ABCD3,/A=,边ABAD的长分别为2、1.若MN分别是边BCCD上的点，且满足LBMJICN,则AM+AN的取值范围是|BC|CD|上，若ABAFJ2,则AEBF的值是例9已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB的值为;DEDC的最大值为.【例10】已知直角梯形ABCD中，AD/BC,ADC900,AD2,BC1,P是腰DC上的动点，则PA3PBl的最小值为【例11如图，在aABC中，ADAB,BCV3bD,ADi1,则诟AD.、3.【例12(15)在四边形AB