二次函数压轴题最短路径问题

1、最短路径问题一一和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小(将军饮马问题).如图所示，在直线l上找一点P使得PA+PB最小.当点P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.【方法归纳】如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小.过点A作AB，l,垂足为B,则线段AB即为所求.如图所示，在直线l上找一点P使彳tPA+PB最小.过点B作关于直线l的对称点B,BB'与直线l交于点P,此时PA+PB最小，则点P即为所求.如图所示，在/AOB的边AO,BO上分别找一点C,D使得PC+CD+PD最小.过点P分别作关于AO,BO的对称点E

2、,F,连接EF,并与AO,BO分别交于点C,D,止匕时PC+CD+PD最小，则点C,D即为所求.如图所示，在/AOB的边AO,BO上分别找一点E,F使得DE+EF+CF最小.分别过点C,D作关于AO,BO的对称点DC,连接D'C',并与AO,BO分别交于点E,F,止匕时DE+EF+CF最小，则点E,F即为所求.如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC+BD最小的CD的位置.分别过点A,D作AA/CD,DA'/AC,AA与DA'交于点A,再作点B关于直线l的对称点B,连接A'B与直线l交于点D',此时点D'即为所求

3、.如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y=；x2)上的一点，点A(0,1)在y轴正半轴.点P在什么彳4置时PA+PB最小？过点B作直线l:y=1的垂线段BH,BH'与抛物线交于点P,止匕时PA+PB最小，则点P即为所求.【典型例题】1.(13广东)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)由二次函数

4、的图象经过坐标原点O(0,0),直接代入求出m的值即可；(2)把m=2代入求出二次函数解析式，令x=0,求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；(3)根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC+PD最短，求出CD的直线解析式，令y=0,求出x的值,即可得出P点的坐标.【解题过程】解：(1);二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),二代入二次函数y=x2-2mx+m2-1,得出：m21=0,解得：m=±1,;二次函数的解析式为：y=x22x或y=x2+2x;(2) m=2,二次函数y=x22mx+m21得：y=x2-4x+3=(x2)21,:

5、抛物线的顶点为：D(2,1),当x=0时，y=3,：C点坐标为：(0,3),：C(0,3)、D(2,1);(3)当P、C、D共线时PC+PD最短，【方法一】C(0,3)、D(2,1),设直线CD的解析式为y=kx+3,代入得：2k+3=1,：k=2,：y=-2x+3,当y=0时，2x+3=0,解得x=3，：PC+PD最短时，P点的坐标为：P(2,0).【方法二】过点D作DEy轴于点E,1. POCOPO3川/口-3po/de,.正=ce,-2-=4,解得：po=2，3.PC+PD最短时，P点的坐标为：P(2,0).2. (11荷泽)如图，抛物线y=gx2+bx-2与x轴交于A,B两点，与y轴交

6、于C点，且A(-1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)判断4ABC的形状，证明你的结论；(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.【思路点拨】(1)把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；(2)观察发现4ABC是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明.由抛物线的解析式，分别求出点B,C的坐标，再得出AB,AC,BC的长度，易得AC2+BC2=AB：得出4ABC是直角三角形；(3)作出点C关于x轴的对称点C,连接C'D交x轴于点M,根据“两点之间，线段最短”可知MC+MD的值最小.求出直线C&#

7、39;D的解析式，即可得出点M的坐标，进而求出m的值.【解题过程】解：(1)丁点A(1,0)在抛物线y=gx2+bx-2上，(-1)2+bx(-1)2=0,解得b=一:抛物线的解析式为y=1x23x-2=1(x-3)2-.顶点D的坐标为(3,-25).2222o2o(2)当x=0时y=2,：C(0,2),OC=2.当y=0时，；x23x-2=0,x1=-1,x2=4,-B(4,0),.OA=1,OB=4,AB=5.AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,.AC2+BC2=AB2.ABC是直角三角形.(3)作出点C关于x轴的对称点C,则C'(0,2),OC

8、=2,连接CD交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC十MD的值最小.【方法一】41一41.y=-石x+2.12n=2设直线C'D的解析式为y=kx+n,则%25,解得：,2k+n=-:当y=。时，-强十2=0,x=.言.【方法二】设抛物线的对称轴交x轴于点E.ED/y轴，./OC'M=/EDM,/COM=/DEM,ACOMADEM.OMOCm224前=ED"，3=适m=4T,2-m至3. (11福州)已知，如图，二次函数y=ax2+2ax3a(a，。图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧)，点H、B关于直线l:y=坐x十钝对称.3(1)求A

9、、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK/AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK,求HN+NM十MK和的最小值.【思路点拨】(1)二次函数y=ax2+2ax3a(a，。中只有一个未知参数a,令y=0,解出方程ax2+2ax3a=0(a，。，即可得到点A,B的坐标.把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；(2)根据点H、B关于过A点的直线l:y=坐x+能对称，得出AH=AB=4,过顶点H作HCLAB交AB于C点，得AC=AB32=2,利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式

10、，求出a,即可得到二次函数解析式；(3)直线BK/AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标.因为点H,B关于直线AK对称，所以HN=BN,所以根据“两点之间，线段最短”得出HN+MN的最小值是MB.作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,所以QM=KM,易得BM+MK的最小值为BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，求出QB的长即可.【解题过程】解：(1)依题意，得ax2+2ax3a=0(a，。，解得xi=3,x2=1,.B点在A点右侧，：A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),直线l:y=%+®当x=3时，y=W3X3)十。3=

11、0,点A在直线l上.(2);.点H、B关于过A点的直线l:y=g+木对称，AH=AB=4,31一过顶点H作HCLAB交AB于C点，贝UAC=2AB=2,HC=2j3,:顶点H(-1,24,代入二次函数解析式，解得a=乎，:二次函数解析式为y=-乎x2#x+嘤(3)直线AH的解析式为y=3x+343,直线BK的解析式为y=73x+3gcx=3一,解得,即K(3,23),则BK=4,y=2木.点H、B关于直线AK对称，.HN+MN的最小值是MB,KD=KE=2“，过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,贝UQM=MK,QE=EK=2/3,AEXQK,BM+MK的最小值是BQ,即BQ的

12、长是HN+NM+MK的最小值，.BK/AH,：/BKQ=/HEQ=90°,由勾股定理得QB=8,HN+NM+MK的最小值为8.4. (14海南)如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A(1,0),C(0,5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)若4PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由.2.2,设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+k,再把点A,B的代入即可求出(1)

13、由对称轴为直线x=2,可以得出顶点横坐标为抛物线的解析式；(2)求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积.直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P作PN，y轴于点N,由S四边形MEFP=S梯形OFPNS/PMNS/OME即可得出；(3)四边形PMEF的四条边中，线段PM,EF长度固定，当ME+PF取最小值时,四边形PMEF的周长取得最小值.将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得到点Mi(1,1),作点Mi关于x轴的对称点M2(1,1),连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.【解题过程】解：(1);对称轴为直线x=2,：设抛物线解析式为y=a(x-2

14、)2+k.将A(1,0),C(0,5)代入得:9a+k=04a+k=5a=1,解得k=9：y=(x2)+9=x+4x+5.2(2)当a=1时，E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.设P(x,-x+4x+5),如答图2,过点P作PNy轴于点N,则PN=x,ON=-x2+4x+5,2MN=ONOM=x+4x+4.111S四边形mefp=S梯形ofpnS"mnShme=_(PN+OF)?ON一_PN?MN一_OM?OE2221,，2.12.1,2(x+2)(x+4x+5)2x?(x+4x+4)-2X1X1,92(x4)十15316,9.一，1539153:当x=4时，四边形MEF

15、P的面积有最大值为七，此时点P坐标为(4，彳6).(3) M(0,1),C(0,5),APCM是以点P为顶点的等腰三角形，：点P的纵坐标为3.令丫=-x2+4x+5=3,解得x=2+V6.二.点P在第一象限，：P(2+V6,3).四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1,1);作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,1);M2(1,1)代入得：46-4476+4y=5-x5连接PM2,与x轴交于F点，止匕时ME+PF=PM2最小.设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(

16、2+乖,3),416+45-2+46)m+n=346-4”,解得：m=z-,nm+n=15当y=0时，解得x6+5乖+5.F(-4,0).76+5a+1=；-4乖+1-4.6+1a=-4-时，四边形PMEF周长最小.122.(14福州)如图，抛物线y=2(x-3)与*轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D了.(1)求点A,B,D的坐标；(2)连接CD,过原点O作OELCD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD.求证：/AEO=/ADC;(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作。E的切线，切点为Q,当PQ的长

17、最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.(1)由顶点式直接得出点D的坐标，再令y=0,得；(x-3)2f=0解出方程，即可得出点A,B的坐标；(2)设HD与AE相交于点F,可以发现4HEF与AADF组成一个“8字型”.对顶角/HFE=/AFD,只要/FHE=/FAD即可.因为/EHF=90°,只需证明/EAD=90°即可.由勾股定理的逆定理即可得出ADE为直角三角形，得/FHE=ZFAD=90即可得出结论；(3)先画出图形.因为PQ为。E的切线，所以4PEQ为直角三角形，半径EQ长度不变，当斜边PE最小时，PQ的长度最小.设出点P的坐标，然后表示出PE,求出PE的最小值

18、，得到点P的坐标，再求出点Q的坐标即可.【解题过程】解：(1)顶点D的坐标为(3,).令y=0,得1(x-3)27=0,解得xi=3+2,X2=3v/2.点A在点B的左侧，：A点坐标(3v&，0),B点坐标(3班，0).(2)过D作DGy轴，垂足为G.则G(0,)，GD=3.令x=0,则y=彳，：C点坐标为(0,7).GC=2-(T)=9.设对称轴交x轴于点M.OEXCD,.ZGCD+ZCOH=90°./MOE+/COH=90:./MOE=/GCD,又./CGD=/OMN=90?.DCGEOM.9:即2=3.EM=2,即点E坐标为(3,2),ED=3.OMEM3EM由勾股定理

19、，得AE2=6,AD2=3,.AE2+AD2=6+3=9=ED2.：AED是直角三角形，即/DAE=90°设AE交CD于点F./ADC+/AFD=90°又./AEO+ZHFE=90°,./afd=/hfe,：/aeo=/adc.(3)由。E的半径为1,根据勾股定理，得PQ2=EP21.要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.设P坐标为(x,y),由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.y=2(x-3)2-1,.(x-3)2=2y+2.EP2=2y+2+y2-4y+4=(y-i)2+5.21212当y=1时，EP取小值为5.把y=1代入y=?(x

20、3)1,得(x3)=1,解得x1=1,应=5.又.点P在对称轴右侧的抛物线上，：沟=1舍去.：点P坐标为(5,1).止匕时Q点坐标为(3,1)或佛，13).6.(14遂宁)已知：直线l:y=2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点(0,-1),(2,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q,求证：PO=PQ.(3)请你参考(2)中结论解决下列问题：(i)如图，过原点作任意直线AB,交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N,连结ON、OM,求证：ONXOM.(ii)已知：如图

21、，点D(1,1),试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)因为抛物线的对称轴是y轴，所以b=0,再代入点(0,-1),(2,0)即可求出抛物线的解析式;(2)由(1)设出P的坐标，分别表示出PE,PQ的长度，即可得出结论；BO=BN,AO=AM,可得出/BON=/BNO,/AOM(3)(i)因为BN/AM,所以/ABN+/BAM=180°.由(2)的结论可得=/AMO,易得/BON+ZAOM=90°再得到/MON=90°即可；(ii)如图，作FH±l于H,DFl于G,交抛物

22、线与F,作F'EDG于E,由(2)的结论根据矩形的性质可以得出结论.【解题过程】解：(1)由题意,-T-=0/日2a行1-1=c0=4a+2b+c1a=4,.,Jc，:抛物线的解析式为:b=0c=1T2-1；1)、-，_1O_1O(2)如图，设P(a,4a21),就有OE=a,PE=；a21,-PQ±l,EQ=2,z.QP=4a2+1.在RtPOE中，由勾股定理，得PO=Ja2+(1a2-1)2=；a2+1,：PO=PQ;(3) (i)如图，-BN±l,AM±l,BN=BO,AM=AO,BN/AM,：/BNO=/BON,/AOM=/AMO,ZABN+ZBA

23、M=180°.:/BNO+ZBON+ZNBO=180°,/AOM+ZAMO+ZOAM=180°,BNO+ZBON+ZNBO+ZAOM+ZAMO+ZOAM=360°,;2/BON+2/AOM=180°,ZBON+ZAOM=90°,：/MON=90°,：ON，OM;(ii)如图，作F'Hl于H,DFl于G,交抛物线与F,作FEDG于E,EGH=/GHF'=/F'EG=90°,FO=FG,F'H=FO,:四边形GHFE是矩形，FO+FD=FG+FD=DG,FO+FD=FH+FD,：EG=F

24、'H,：DE<DF',DE+GE<HFz+DF',：DG<FO+DF：FO+FD<FO+DF：F是所求作的点.5.D(1,1),F的横坐标为1,F(1,4).【举一反三】1. (12滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.2. (13成都)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-1x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐

25、标为(4,3),直角顶点B在第四象限.(1)如图，若该抛物线过A,B两点，求该抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.(i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究PQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.NP+BQ3. (11眉山)如图，在直角坐标系中，已知点A(0,1),B(-4,4),将点B绕点A顺时针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的抛物线经过点B.(1)

26、求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1+1;(3)在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时，APAC的周长有最小值，并求出APAC的周长的最小值.【参考答案】1 .解：(1)把A(-2,-4),0(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得Za2b+c=4112J4a+2b+c=0,斛得a=,b=1,c=0,：斛析式为y=2x2+x.、c=0(2)由y=2x2+x=2(x1)2+g,可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段0B，:0M=BM,.-0M+AM=BM+AM,连接AB交直线

27、x=1于M点，则此时0M+AM最小，过点A作ANx轴于点N,在RtAABN中，AB=AN2+BN2=.42+42=4/2,.0M+AM最小值为42.2 .解：(1)二等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,1),C的坐标为(4,3),:点B的坐标为(4,1).:抛物线过A(0,1),B(4,1)两点，c=1J1,解得：b=2,c=-1,2x16+4b+c=112如答图1,过点B作直线11/AC,交抛物线y=2X+2x1于点M,则M为符合条件的点.;可设直线11的解析式为：y=x+b1,B(4,-1),-1=4+b1,解得b=-5,y=X由(1)得AC=5,.PAC的周长=PC+PA+5=PC

28、+PH+6,要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，;此时P点的横坐标为3,把x=3代入y=4x2,得到y=4,、，,9即P点坐标为(3,%),止匕时PC+PH=5,：APAC的周长的最小值=5+6=11.X1=4X2=-2:直线l1的解析式为：y=x5.解方程组12，得：”,iy=2X+2x1y1=1y2=7.M1(4,1),M2(2,7).当PQ为斜边时：MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为2.如答图2,取AB的中点F,则点F的坐标为(2,1).由A(0,1),F(2,1),P0(2,1)可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为2.过点F作直线I2/AC,交抛物线y=-2x2+2x-1于点M,则M为符合条件的点.;可设直线I2的解析式为：y=x+b2,F(2,-1),-1=2+b2,解得b2=3,：直线I2的解析式为：y=x-3.x-3解方程组112，得:y=-2x+2x-1X1=1+/5X1=1-5,y1=2+J5'y1=25M3(1+5,2十书)，M4(1-®-2-乖).综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1(4,1),M2(2,7),M3(1+5,-