全等三角形模型十四——平行线中点模型

1、第四章.全等三角形模型（14）平行线中点模型【结论】如图，ABCD,点E、F分别在直线杷、CD上，点O为EF中点,则POEQOFpf力口f&【证明】1典例1如图，已知ABCD,BCCDCD=2AB=12,BC=8,E是AD的中点.（1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明；(2)求BE的长.【解析】(1)如图，延长BE与CD相交于点F,则EF=BE.证明：ABCD,NA=ND,NABE=NDFE.YE是AD的中点，AE=DE.在4AEB与4DEF中，ZA=ZD,.ZABE=ZDFE,Z.AAEBADEF(AAS),.BE二EF。-AE=DE,(2)AEB/DEF,DF=AB=6,

2、BE=EF=1BF,/.CF=CD-DF=62VBCXCD,/BF=：bc2CF2=10,/BE=1BF=5.ej2典例2如图所示，已知梯形ABCD,AD/BC,E为CD的中点，若用S/S2,可分别表示ADE,EBC,4ABE的面积，则S/S2,S3的关系是()A.S1+S2S3B.S1+S2=S3C.S/S2Vs3D.以上都不对【解析】如图交BC的延长线于点F.,延长AE，ADE/AFCE,E是AF的中点，.AE=EF.ABE与4BFE是等底同高的两个三角形，即它们的面积相等,SFE=S1+S2=S3.故选B.典例3矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF

3、,取AF的中点也连接6艮若BC=EF=2CD=CE=1，则GH=（）.A.1C.豆2【答案】C【解析】如图，延长GH交AD于点P.四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，.ZADC=ZADG=ZCGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,AD/GF,NGFH=NPAH,又TH是AF的中点，形成了平行线中点模型，根据模型结论可知：4APH/AFGH(ASA),AP=GF=1,GH=PH=1PG,PD=ADAP=1.TCG=2,CD=1,ADG=1,2GH=1PG=X1Jpd2DG2=.故选C.2221. ()如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G,F分别为AD,BC边上的点，若AG=1

4、,BF=2,ZGEF=B.290,贝GF的长为().A.12. ()如图，已知AB=12,ABLBC于点B,ABLAD于点A,AD=5,BC=10,E是CD的中点，则AE的长为()A.6B.13C.5D.3-41223. ()如图，在四边形ABDC中，ND=NB=90,O为BD的中点，且OALOC.(1)求证：CO平分NACD.(2)求证：AB+CD=AC.1.如图，在菱形ABCD中，AB=2,NB是锐角，AELBC于点E,M是AB的中点，连接MD,ME.若NEMD=90,则cosB的值为在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线。第四章.全等三角形模型

5、(14)平行线中点答案：小试牛刀1 .答案C解析延长GE交FB的延长线于点M，如图/E酒.M人/八8,且为人8边的中点，,形成了平行线中点模型.根据模型结论可知，4GEA/AMEB(ASA),.GE=ME.VZGEF=90，/MEF=180-ZGEF=90.ZGEF=ZMEF.在AGEF和AMEF中，-GE=ME,-ZGEF=ZMEF,EF=EF,Z.AGEFAMEF(SAS),二GF=MF=FB+BM=FB+AG=2+1=3.故选C.2 .答案B解析延长AE交BC于点F,如图.E是CD的中点，形成了平行线中点模型.根据平行线中点模型易知ADE/FCE(ASA),.AE=FE,AD=CF=5,

6、BF=BC-CF=5.在RtABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=132,.AF=13AE=1AF=13故选B.22,3 .解析(1)如图，延长AO交CD的延长线于点E.在4AOB和AEOD中，ZAOB=ZEOD,OB=OD,ZABO=ZEDO,/.AOBEOD(ASA),AO=OE.VOAOC,AZAOC=ZEOC=9Q在AOC和EOC中,AO=EO,-ZA0C=ZE0C,-CO=CO,AAOCAEOC(SAS),/ACO/DCO,BPCO平分NACD.(3)VAAOBAEOD,.AB=DE.VAAOCAEOC,.AC=CE.,.eCE=CD+DE,/.AC=CD+DE=CD+AB.直击中考1 .答案T2解析如图，延长DM交CB的延长线于点H,连接DE.四边形ABCD是菱形，.*.AB=BC=AD=2,AD/CH,又M是AB的中点，根据平行线中点模型可知AADM2BHM,AD=HB=2,DM=HM.;EMDH,EH=ED,设BE=