专升本高数第一轮--第二章--一元函数微分学

1、 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学2.1. 导数与微分导数与微分我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念导数导数。的导数。在点则称此极限值为函数极限存在，时，如果当时，相应的函数有增量处有增量在点当自变量的某个邻域内有定义，在点设函数定义：00000)(0)()()(xxfyxyxxfxxfyxxxxxfy1. 1. 定义定义(一) 导数的概念xxfxxfxyxfxfyxxxx)()(limlim)()(0000000即或记作：等。，导数也可记作：00)(xxxxxfdxddxdy如果函数 f (x) 在点 x0 处的导数存在，那么称函数f (x) 在点 x0

2、 处可导，反之，称为不可导。000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx导数的一个等价定义：左导数左导数与右导数与右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.在讨论分段函数在分段点的可导时，在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。因此一般

3、应从定义出发讨论其左、右导数。例题例题. .设设( )fx存在，且存在，且000(2)()lim1xf xxf xx 则则0()fx等于等于 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析：分析：000(2)()limxf xxf xx 00020(2)()2 lim2()12xf xxf xfxx 0()0.5fx自变量增量自变量增量自变量增量)()(lim)(0000 xfxfxf导数定义的本质：导数定义的本质：2. 导数的几何意义导数的几何意义 曲线的切线的斜率即为函数的导数。000000( )(,)( )()()limtan()

4、2xxyf xM xyf xf xfxxx设曲线的方程为，则曲线在点处切线的斜率00000( )(,)()()yf xM x yyyfxxx曲线在点处的切线方程为法线方程为： 0001()()()yf xxxfx例例 求曲线求曲线3 3yx 2 21 12 22 23 31 12 2xxky |x | 2 21 11 11 11 12 2 k,k在点（在点（2，8）处得切线方程和法线）处得切线方程和法线方程。方程。解解 在点（在点（2，8）处的切线斜率为）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为81228122（）, ,yx所求法线斜率为所求法线斜率为于是所求法线方程为于是所求法

5、线方程为12160.xy18(2),12yx 12980.xy 定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。3. 可导与连续的关系可导与连续的关系由导数定义可知： 可导 必连续不连续 必不可导函数连续是函数可导的必要条件函数连续是函数可导的必要条件可导一定连续，但是连续不一定可导。可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。例题例题. . 讨论讨论211( )21xxf xxx在在1x 处的连续性与可导性处的连续性与可导性. . 解：解

6、： 1(1)22xfx211lim( )lim(1)2xxf xx11lim( )lim(2 )2xxf xx所以所以( )f x在在1x 处连续处连续 211( )(1)1 2(1)limlim11xxf xfxfxx 2111limlim(1)21xxxxx111( )(1)22(1)limlimlim 2211xxxf xfxfxx所以所以(1)(1)(1)2fff因此因此( )f x在在1x 处可导。处可导。211( )21xxf xxx题目的函数为：题目的函数为：4.求导公式求导公式函数在任意点 x 处的导数xxfxxfxfx)()(lim)(0仍是 x 的函数，称为 f (x)的导

7、函数。1. 基本导数表10()cxx，()ln()xxxxaaaee，11(log)(ln )lnaxxxax，(sin )cos(cos )sinxxxx ，22(tan )sec(cot )cscxxxx ，(sec )sectan(csc )csccotxxxxxx ，2211(arcsin )(arccos )11xxxx ，2211(arctan )(arccot )11xxxx ，2. 函数和、差、积、商的导数)()() )()( )()(.xvxuxvxuxxvxu处可导，则在点和设函数定理1)()()()() )()( )()(.xvxuxvxuxvxuxxvxu处可导，则在点

8、和设函数定理223.( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ()( )( )u xv xxu xu x v xu x v xv xvx 定理设函数和在点 处可导，则3. 复合函数和反函数的导数dxdududydxdyxufxfxxfyuufyxxu或且处可导，在点处可导，则复合函数对应点在可导，又函数在点设函数定理)()()()()()(.45.( )( )( )11( )( )yf xxyydyfxdxydxdy定理设是单调连续函数的反函数，又设存在，且不为零，则有或例例求下列函数的导数求下列函数的导数 4.隐函数的导数，举例说明。求导，即可解出，两边对导数，由于的所确定的隐函数现在

9、讨论由方程)(0)(,()(0),(xyxxyxFxyyyxF22213.( )xyryy x例求由方程所确定的隐函数的导数。222222)2(1211xrxxxryxry所以，：由方程可以解出解2() 220 xyxxxy yyy 解 ：方程两边对 求导 把 看成 的函数 ：，利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。2 3223(1)3216.1 (21)xxyyxx例设，求) 12ln(32) 1ln(21)23ln(31) 1ln(2ln2xxxxy：两边先取对数解：122321221233311212xxxxxyy5.对数求导法6.高阶导数 高阶导数概念处的二阶导数。在为函数存在，

10、那么称此极限值如果的函数，仍然是的导数在任意点设函数xxfxxfxxfxxfxxfyx)()()(lim)()(02222)(),(,dxxfddxydxfy或记作： 阶导数。处的在点极限值为存在，那么称此阶导数存在，如果的设函数nxxfxxfxxfnxfnnx)()()(lim) 1()()1()1(0阶导数的定义：nnnnnnndxxfddxydxfy)(),(,)()(或记作：为了形式上统一的一阶导数。称为把，或定义)()()()(,)0()0(xfxfxfxfyy例例 设设y=sin 2x 则则y=_ 解：y=cos2x(2x)=2 cos2x y=2(-sin2x)(2x) = -

11、4sin2x(二) 微分1. 微分的定义00)(0yxxxf时，点处连续：当在Axyxxxf时，点处可导：当在0)(0定义：设函数 y = f (x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果 存在一个与 x 无关的量 A 及一个 x 的高阶无穷小o(x) ，使得函数增量 y 可表示为 y=Ax+o(x) ，则称函数 f (x) 在点 x0 处微分存在 , Ax 称为函数在 x0 处的微分，xAdyxx0记作：2 . 微分与导数的关系0001.(1)( )( ) ()yf xxf xxfxA定理如果函数在点处可微分，那么在点处可导，且)( )()()2(000 xfAxxfxxfy处可微分，且在点处可

12、导，那么在点如果函数000( )()x xf xxdyfxx因此，当在点可微分时，其微分为：为了形式上统一，记 dx= x ，则 dy = f (x)dx故导数又称为微商。或,)(dxdyxf任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x)即 dy = f (x) x 3. 基本微分表和微分运算法则dxxdxdc1,0dxedeadxadaxxxx,lndxxxddxaxxda1ln,ln1logxdxxdxdxxdsincos,cossinxdxxdxdxxd22csccot,sectanxdxxxdxdxxxdcotcsccsc,tansecsecdxxxddxxxd221

13、1arccos,11arcsindxxxddxxxd11cotarc,11arctan22微分运算法则)()()()(xdvxduxvxud)()()()()()(xdvxuxduxvxvxud)()()()()()()(2xvxdvxuxduxvxvxud4. 微分形式不变性duufdxxufdyxfyxuufy)()()()()(, )(的微分为：，则复合函数设函数这一性质又称微分形式不变性。（一）洛必达法则（一）洛必达法则”型的定值法不定型“00. 1)()(lim)()(lim)()(lim)(,)(),()(lim,)(lim)()(.xgxfxgxfxgxfxgxgxfxxgxfx

14、xxgxfxxxxxxxxxx000003020011000则存在（或为无穷大）且存在的某个邻域内在点内有定义，如果可除外）的某个邻域（在点和设定理2.2.2.2.导数的应用导数的应用001)0 xxx 注意：型，将改成，定理同样成立.00( )2)lim( )( )lim( )xxxxfxg xf xg x当不存在且不为无穷大时，并不能说明不存在.( )3)( )fxg x当仍是不定型时，可再用洛必达法则.值法及其它一些不定型的定不定型. 20 xxx 当或时，对于不定型也有相应的洛必达法则.000 0010除了不定型、外，还有下列几种不定型：，0 0这些不定型均可化为不定型、然后由洛必达法

15、则计算其极限。3.其它一些不定型的定值法(二二) 导数的应用导数的应用1. 1. 函数单调性的判别法函数单调性的判别法如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。上严格单调减少。在时，函数当上严格单调增加；在时，函数则当内可导，在设函数定理,)()(,)()(,)(.baxfxfbaxfxfbaxfy001) 15() 1)(1()(2xxxxf解：1,51, 10)(xxxxf得列表讨论 一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。“ ”表示单调增加“ ”表示单调减少。)(xf51)51, 1() 1 ,51(), 1 ( ) 1,(x11)(xf

16、000的单调区间。确定函数例32) 1() 1()(. 1xxxf2. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。0( )f xx定义：设函数在点的某个邻域内有定义0000(1)0( )()()xxf xf xf xx如果当时，则称为函数的极小值，为极小值点。0000(2)0( )()()xxf xf xf xx如果当时，则称为函数的极大值，为极大值点。对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。什么条件下驻点必为极值点呢？。即处的导数为零，在点处取得极值，那么点处可导，且在在点设函数必要条件定理

17、0)()()()( . 20000 xfxxfxxxf的驻点。的点，称为函数)(0)(xfxf3. ()定理第一充分条件00( )()0f xxfx设函数在点的某个邻域内可导，且000(1)( ) ()xxfxf xx如当 从左至右经过时，由正变负，则为极大值，为极大值点。000(2)( ) ()xxfxf xx如当 从左至右经过时，由负变正，则为极小值，为极小值点。00(3)( ) ()xxfxf x如当 从左至右经过时，不变号，则不是极值。4.()定理第二充分条件00( )()0f xxfx设函数在点的某个邻域内具有二阶导数，且00(1)()0( )fxf xx当时， 函数在处取得极大值；

18、00(2)()0( )fxf xx当时， 函数在处取得极小值；00(3)()0()fxf x当时， 不能确定是否为极值。6. 最大值、最小值问题最大值、最小值问题由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。12121212( ) , (1), , ,( )() ()22( )f xa bx xa bxxxxf xf xff x定义：设函数在上有定义如果当时，有则称的图象是凹的。x1x2y0 xy0 x1x2x12121212(2), , ,( )()()22( )x xa bxxxxf xf xff x如果当时，有则称的图象是凸的。3. 3. 曲线的凹曲线的凹凸性凸性用定义来判定函数 f (x)的图形是凹还是凸是非常困难的，下面给出充分条件。6.( ) , (1)( )0( ) , (2)( )0( ) , f xa bfxf xa bfxf xa b定理设函数在内具有二阶导数当时，函数的图象在上是凹的。当时，函数的图象在上是凸的。4. 曲线的拐点曲线的拐点我们把曲线凹凸性发生转变的转折点称为拐点。0