第6章 弯曲应力

1、国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材 1第第6章章 弯曲应力弯曲应力教学提示教学提示在在梁的梁的内力分析是梁的强度和刚度计算内力分析是梁的强度和刚度计算的的基础上基础上进进一步一步学习学习横截面上各点的应力横截面上各点的应力。 掌握掌握纯弯曲时的正应力公式纯弯曲时的正应力公式、弯矩和挠度曲线曲率、弯矩和挠度曲线曲率半径的关系。掌握抗弯截面系数、抗弯刚度、等强半径的关系。掌握抗弯截面系数、抗弯刚度、等强度梁的概念。理解弯曲切应力。重点掌握度梁的概念。理解弯曲切应力。重点掌握弯曲正应弯曲正应力的强度计算力的强度计算。主主要要内内容容 2 6.1 概概 述述6.3 横力弯曲时梁的强度条件横力弯曲

2、时梁的强度条件第第6章章 弯曲应力弯曲应力 6.2 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力6.46.5梁弯曲时的切应力（自学）梁弯曲时的切应力（自学）提高梁抗弯强度的措施提高梁抗弯强度的措施6.6 斜弯曲（自学）斜弯曲（自学）6.7 组合变形（自学）组合变形（自学）6.1 概概 述述3n当所有荷载都作用在纵向对称面内时，梁弯曲变当所有荷载都作用在纵向对称面内时，梁弯曲变形后其轴线位于梁的纵向对称面内，此类弯曲称为形后其轴线位于梁的纵向对称面内，此类弯曲称为“平面弯曲平面弯曲”；n梁弯曲前的横截面在变形后仍保持平面，并垂直梁弯曲前的横截面在变形后仍保持平面，并垂直于梁的轴线，只是各自绕截面上某一轴转过

3、一个角于梁的轴线，只是各自绕截面上某一轴转过一个角度。这一假设称为度。这一假设称为“平面假设平面假设” 。中性层中性层中性轴中性轴6.2弯曲正应力弯曲正应力4n若梁横截面上只有弯矩而无剪切力的弯曲变形称为纯纯弯曲弯曲；n梁横截面上既有弯矩又有剪切力的变形称为横力弯曲横力弯曲。5一、纯弯曲与横力弯曲一、纯弯曲与横力弯曲横力弯曲横力弯曲：ACAC、DBDB段，段， 0 0，FQ 0。纯弯曲纯弯曲：CDCD段，段， 0 0，FQ = =0。6.2弯曲正应力弯曲正应力画图示火车轮轴简图的剪力、画图示火车轮轴简图的剪力、弯矩图。弯矩图。FQxMx-FFCaFABalDFFAFB-Fa-Fa6二、纯弯曲正

4、应力公式二、纯弯曲正应力公式 (1)横向线仍为直线并相对横向线仍为直线并相对转动了一个微小角度。转动了一个微小角度。(2)(2)纵向线弯成了曲线，且纵向线弯成了曲线，且a- -a线缩短而线缩短而b-bb-b线伸长。线伸长。 2.平面假设平面假设 假设横截面在变形过假设横截面在变形过程中始终保持为平面。程中始终保持为平面。 1.实验观察实验观察 6.2弯曲正应力弯曲正应力73. 中性层与中性轴中性层与中性轴 梁弯曲时，凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维梁弯曲时，凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，有纵向纤维既不伸长又不缩短的中性层。中性层与横缩短，有纵向纤维既不伸长又不缩短的中性层。中性层与横截面的

5、交线为中性轴，中性轴过截面的形心。梁弯曲时，各截面的交线为中性轴，中性轴过截面的形心。梁弯曲时，各横截面绕其中性轴转动了不同的角度。横截面绕其中性轴转动了不同的角度。6.2弯曲正应力弯曲正应力由实验观察和平面由实验观察和平面假设推知：假设推知：由截面的几何性质可由截面的几何性质可知，中性轴知，中性轴z必然通必然通过横截面的形心。过横截面的形心。86.2 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力6.2.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力1变形几何关系变形几何关系(1) 纵向直线变形后成为相纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的互平行的曲线，靠近凹面的缩短，靠近凸面的伸长。缩短

6、，靠近凸面的伸长。(2) 横向直线变形后仍然为横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个直线，只是相对地转动一个角度。角度。(3) 纵向直线与横向直线变纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。形后仍然保持正交关系。91变形几何关系变形几何关系微段纯弯曲微段纯弯曲变形的情况，变形的情况，如右图所示。如右图所示。取一微段取一微段dx，如，如左图所示。左图所示。101变形几何关系变形几何关系右图是该微右图是该微段纯弯曲变段纯弯曲变形的情况。形的情况。取一微段取一微段dx，如，如左图所示。左图所示。表明：梁横截面上任表明：梁横截面上任一点处的纵向线应变一点处的纵向线应变与该点到中性轴的距与该点到中

7、性轴的距离成正比。离成正比。(a)112物理关系物理关系3. 静力平衡关系静力平衡关系弯曲正应力公式的推导弯曲正应力公式的推导6.2弯曲正应力弯曲正应力124. 弯曲正应力公式弯曲正应力公式yxzMda)xyymaxMmaxc)xyzyy中性轴b)结论：结论：弯曲正应力与截面弯矩弯曲正应力与截面弯矩M成正比，与该点到中性轴成正比，与该点到中性轴的距离的距离y坐标成正比，而与截面对中性轴坐标成正比，而与截面对中性轴z的惯性矩的惯性矩Iz成反比，成反比，最大正应力发生在截面上、下边缘的点上最大正应力发生在截面上、下边缘的点上。正应力的线性分布规律正应力的线性分布规律6.2弯曲正应力弯曲正应力136

8、.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力146.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力例题例题6.1求图中所示之矩形截面梁求图中所示之矩形截面梁A右侧截面上右侧截面上a、b、c、d四点处的正应力。四点处的正应力。解解:(1) 求求A右侧截面上的弯矩。右侧截面上的弯矩。梁的弯矩图如图所示。梁的弯矩图如图所示。由图可知，由图可知，A右侧截面上的弯矩为右侧截面上的弯矩为(2) 计算各点处的正应力。计算各点处的正应力。矩形截面对中性轴的惯性矩和抗弯矩形截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面系数分别是梁的弯矩图如图所示。截面系数

9、分别是梁的弯矩图如图所示。由图可知，由图可知，A右侧截面上的弯矩为右侧截面上的弯矩为156.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力则截面上各点处的正应力分别是则截面上各点处的正应力分别是166.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力例题例题6.2 求如图所示矩形截面梁求如图所示矩形截面梁 右侧截面上和右侧截面上和 截面上截面上 三三点处的正应力。点处的正应力。解解:(1) 求得求得 图如图所示。图如图所示。 (2)截面几何参数截面几何参数4333375012301512cmbhIZ3222506302156cm

10、bhWZ(3)计算各点正应力计算各点正应力A右截面：右截面： MPaWMZAa44. 4102250101063MPaIyMZAb37. 2103375010810108230c 176.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力MPaWMZCa89. 8102250102063MPaIyMZCb74. 4103375010810208230cC截面截面186.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力例题例题6.3 如图所示如图所示T型截面梁，材料是铸铁（抗拉、抗压型截面梁，材料是铸铁（抗拉、抗压性能不同）。求该梁的

11、最大工作应力。性能不同）。求该梁的最大工作应力。 19MC、BC、Bmax, tmax, c解：解：(1)求得弯矩图求得弯矩图(2)由于材料的抗拉、抗压性能不同，则须计算最大拉应力和最大压应力。由于材料的抗拉、抗压性能不同，则须计算最大拉应力和最大压应力。由于由于而而T型截面的上、下边缘点到中性轴的距离不同，因此，应判断型截面的上、下边缘点到中性轴的距离不同，因此，应判断两个截面都是危险截面；最大拉应力两个截面都是危险截面；最大拉应力也可能在也可能在C截面的下边缘，而最大压应力截面的下边缘，而最大压应力所在的危险点则是在所在的危险点则是在B截面的下边缘。截面的下边缘。图如图所示。图如图所示。两

12、截面分别有最大负弯矩和最大正弯矩，两截面分别有最大负弯矩和最大正弯矩，所在的危险点可能在所在的危险点可能在B截面的截面的(3)截面几何参数。截面几何参数。 cmAyAyiiiC3 . 82812213286122cmy2 . 58 . 8141cma8 . 28 . 861cma2 . 48 . 813242323764282 . 41228122)8 . 2(12122cmIZ 20MPaIyMZBt2 .2710764102 . 510482311max,MPaIyMZCCt6 .3410764108 . 81038232max,MPatt6 .342max,max,MPaIyMZCBc1

13、 .4610764108 . 8104823max,(4)计算最大正应力。计算最大正应力。B截面上边缘点有截面上边缘点有C截面下边缘点有截面下边缘点有比较，得比较，得B截面下边缘点有最大压应力截面下边缘点有最大压应力216.3弯曲正应力强度准则及应用弯曲正应力强度准则及应用弯曲正应力强度准则：弯曲正应力强度准则：对于等截面梁来说，梁的最大正应力一定发生在最大弯矩所在截面的上、下边缘处。要使梁具有足够的强度，必须使梁的最大工作应力不得超过材料的许用应力。 22弯曲强度计算步骤弯曲强度计算步骤进行受力分析，正确确定约束力；根据梁上的载荷和进行受力分析，正确确定约束力；根据梁上的载荷和约束力，画出梁

14、的弯矩图。约束力，画出梁的弯矩图。根据弯矩图和截面沿轴线变化的情形，确定可能的危根据弯矩图和截面沿轴线变化的情形，确定可能的危险面险面根据应力分布和材料的力学性能确定可能的危险点。根据应力分布和材料的力学性能确定可能的危险点。应用强度条件解决强度校核、截面设计以及确定许可应用强度条件解决强度校核、截面设计以及确定许可载荷等三类强度。载荷等三类强度。236.3 横力弯曲时梁的强度条件横力弯曲时梁的强度条件解：解：1.画梁的弯矩图求最大弯画梁的弯矩图求最大弯矩矩FlMmax 2. 校核强度校核强度bhhbzyFBAlMx-Fl6/2maxmaxbhFlWMzMPa8 .93402010500623

15、max强度满足。强度满足。截面竖放时：截面竖放时：6/2maxmaxhbFlWMzMPa5 .187204010500623max强度不满足。强度不满足。截面平放时：截面平放时：【例例6-4】图示外伸梁，图示外伸梁，F=500N，l=1m,截面截面bh=2040 mm2, =100MPa。若将梁竖放和平放，试分别校核梁的。若将梁竖放和平放，试分别校核梁的强度。强度。24解：解：1.画梁的弯矩图求最大弯矩。画梁的弯矩图求最大弯矩。FaMmax 2. 强度计算强度计算1 . 03maxmaxmaxdMWMzmm5 .251201 . 0104 . 05001 . 0333maxMd 所以，梁的直径

16、取d=26mm。由正应力强度准则【例例6-5】图示外伸梁，图示外伸梁，F=500N，a=0.4m,材料的材料的 =120MPa。试按。试按弯曲正应力强度准则设计圆截面直弯曲正应力强度准则设计圆截面直径径d。MxdzyClFABa-Fa6.3 横力弯曲时梁的强度条件横力弯曲时梁的强度条件256.3 横力弯曲时梁的强度条件横力弯曲时梁的强度条件 a20MP a40MP例题例题6.6 6.6 铸铁悬臂梁的尺寸及受力如图所示，已知：材料铸铁悬臂梁的尺寸及受力如图所示，已知：材料的许用拉应力为的许用拉应力为许用压力为许用压力为截面对中性轴的惯矩为截面对中性轴的惯矩为 481002. 1mmIZkNP20

17、，试校核梁强度。试校核梁强度。解：解： 1. 1. 确定危险截面确定危险截面 作梁的弯矩图如图所示，从弯矩图中可以看出：最大作梁的弯矩图如图所示，从弯矩图中可以看出：最大正弯矩作用在正弯矩作用在A A截面上，最大负弯矩作用在截面上，最大负弯矩作用在B B截面上。由于截面上。由于梁的截面只有一根对称轴，且梁的截面只有一根对称轴，且 因此截面因此截面A A、B B均可能为危险截面，其上的弯矩值分别为：均可能为危险截面，其上的弯矩值分别为：mkNMA16mkNMB12 方向分别如图（方向分别如图（c c）、（）、（d d）所示。）所示。、27 2. 确定危险点，并进行强度校核确定危险点，并进行强度校

18、核AMBM根据弯矩根据弯矩、的方向可画出截面的方向可画出截面A A、B B上的正应力分布图，分别如上的正应力分布图，分别如图（图（c c）、（）、（d d）所示。）所示。A A截面的下边缘各点（例如截面的下边缘各点（例如b b点）与点）与B B截面的上边缘各点（例如截面的上边缘各点（例如c c点）均受拉应力；点）均受拉应力；而而A A截面的上边缘各点（例如截面的上边缘各点（例如a a点）与点）与B B截面的下边缘截面的下边缘各点（例如各点（例如d d点）均受压应力。点）均受压应力。 28 、梁内最大压应力发生在梁内最大压应力发生在B截面下边缘各点截面下边缘各点 MPaIyMZAb09.2410

19、02. 1)4 .96250(1016862max MPaIyMZBd07.181002. 1)4 .96250(1012862max 梁内最大拉应力和最大压应力均满足各自的强度条件，梁内最大拉应力和最大压应力均满足各自的强度条件，因此梁的强度是安全的。因此梁的强度是安全的。如果将本例中作用在如果将本例中作用在B、C二处集中力反向，这时危二处集中力反向，这时危险点的应力将发生怎样的变化。险点的应力将发生怎样的变化。29ml2 a140MPmkNq/29 . 0【例题例题6.76.7】 图所示受均布载荷图所示受均布载荷q q作用的简支梁，若已知：作用的简支梁，若已知： , , , ,试按以下两个

20、方案设计轴的截面尺寸，并比较重量。试按以下两个方案设计轴的截面尺寸，并比较重量。1. 1. 实心圆截面梁；实心圆截面梁；2. 2. 空心圆截面梁，其内、外径之比空心圆截面梁，其内、外径之比 。 , , 解：作梁的弯矩图如图（解：作梁的弯矩图如图（b b）所示，弯矩最大值发生在梁）所示，弯矩最大值发生在梁中点截面上，故该截面为危险截面，其上之弯矩值为：中点截面上，故该截面为危险截面，其上之弯矩值为：mmNqlMZ6622max100 . 1810228 1. 1. 确定实心截面梁的直径确定实心截面梁的直径d d，根据强度条件有：，根据强度条件有： ZZWMmaxmax 32/3dW 3max32

21、ZMd mmd75.41140100 . 13236将圆截面的抗弯截面系数将圆截面的抗弯截面系数代入后代入后, ,解得：解得： 将有关数据代入，算得将有关数据代入，算得 mmd4231 ）（43132DWZ max3432(1)zMD 34maxz)1 (32aMD确定空心截面梁的内、外径确定空心截面梁的内、外径d d和和D D： 将空心圆截面的抗弯截面系数将空心圆截面的抗弯截面系数 代入弯曲强度条件后，有代入弯曲强度条件后，有 由此解得：由此解得： 将有关数据代入，得将有关数据代入，得 mmD59.59140)9 . 01101.032346（取取D=60mmD=60mm，则，则d=0.9

22、D=54mmd=0.9 D=54mm。32 比较二种不同截面梁的重量比较二种不同截面梁的重量:因为材料、长度相同，实心截面梁与空心截面梁因为材料、长度相同，实心截面梁与空心截面梁的重量比等于其横截面面积之比。根据上述计算的重量比等于其横截面面积之比。根据上述计算结果，得：结果，得：388. 04254604)d4222222dD（重量比式中分母里的式中分母里的d d为实心截面梁的直径；分子里的为实心截面梁的直径；分子里的d d为空心截面梁的内径。上述结果表明，空心截面梁为空心截面梁的内径。上述结果表明，空心截面梁的重量比实心截面梁的重量小很多。因此，在满足的重量比实心截面梁的重量小很多。因此，

23、在满足强度要求的条件下，采用空心截面梁不仅可以节省强度要求的条件下，采用空心截面梁不仅可以节省材料，而且可以大大减轻结构重量。材料，而且可以大大减轻结构重量。33 脆性材料脆性材料根据抗拉与抗压性能不同的特性，即根据抗拉与抗压性能不同的特性，即 + + - -,一般宜采用上、下不对称于中性轴的组合截面一般宜采用上、下不对称于中性轴的组合截面形状。形状。组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 塑性材料塑性材料为了充分发挥梁的弯曲承载能力，根据其抗为了充分发挥梁的弯曲承载能力，根据其抗拉与抗压性能相同的特性，即拉与抗压性能相同的特性，即 + += - -,一般宜采用上、一般宜采用上、下对称于中性轴的组合

24、截面形状。下对称于中性轴的组合截面形状。 圆圆形形工字工字形形框框形形矩矩形形圆圆环环框框形形槽槽形形T字字形形不对称截面惯性矩如何计算？需要研究组合截面的惯性矩不对称截面惯性矩如何计算？需要研究组合截面的惯性矩34组合截面惯性矩：等于各简单图形面积对中性轴惯性矩之和。组合截面惯性矩：等于各简单图形面积对中性轴惯性矩之和。解解 ：1.将图形分为两个矩形将图形分为两个矩形 A1=120 20mm2, A2=20 120mm2。 3.过形心建立坐标系求惯性矩过形心建立坐标系求惯性矩 23233512020121202035201201220120zI2.选坐标选坐标c1z1y1，确定截面的形心坐标

25、，确定截面的形心坐标yc【例例6-5】 求图所示求图所示T T型截面对其中性轴的惯性矩。型截面对其中性轴的惯性矩。 mm3512020201207012020020120212211AAyAyAyccC44mm10884120201202035 35y1z1c1c2A1A2zcycycAiAAANAzdAydAydAydAydAyI2122222356.4 6.4 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施一、一、降低梁的最大弯矩降低梁的最大弯矩 1.集中力远离简支梁中点集中力远离简支梁中点2.将载荷分散作用将载荷分散作用从弯曲正应力强度准则从弯曲正应力强度准则 可知：降低最大弯矩可知：降低最大弯矩、提高抗弯截面系数，是提高梁弯曲强度的主要措施。、提高抗弯截面系数，是提高梁弯曲强度的主要措施。 maxmaxzWMFCBAl/2l/2Fl/4FDBAa bFab/l Fl/8BAl/4l/2l/4F/2F/236工程实例工程实例 1.1.支座内移的方法支架支座内移的方法支架起的容器罐。起的容器罐。3. 简支梁支座向梁内移动简支梁支座向梁内移动BAlq ql 2/8B