电磁场与电磁波课后答案第1章

1、求：0AB第一章习题解答给定三个矢量A、B和C如下：A=e+e2一e3zxyB=-e4+eyzC=e5e2xz(1)；(2)|AB|；(3)ab;(7)A(BxC)和(AxB)C；(8)Ae+e2-e32)3)5)所以8)1)aA="xyz=eA弋12+22+(-3)2xA-B=|(e+eAB=(e+e2e3)(-e4+e)=11(4)0；(5)A在B上的分量;AB(AxB)xC和Ax(BxC)。12一3<14y*14z142-e3)-(-e4+e)=zyzxycos0=ABAxC；AB=A|B加x丽2381111=cos1(=135.5°=Acos0AB11BiaA

2、BeeexyzAxC=12-3=一50-2eeexyz由于BxC=0-4150-2eeexyzAxB=12-30-416)7)=e8+e5+e20xyz=e10e1e4xyzA在B上的分量AB4-e13-e10xyzA(BxC)=(e+e2e3)(e8+e5+e20)=-42xyzxyz(AxB)C=(-e10-e1-e4)(e5-e2)=-42(AxB)xC=xex105yey10eexy12z_xzez-4-2=e2e40+e5xyzez320=e55-e44-e11xyz三角形的三个顶点为P(0丄-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)。123(1)判断APPP是否为一直角三角形；1

3、232)求三角形的面积。85解(1)三个顶点P(0,1,-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为123r=e一e2,r=e4+e一e3,r=e6+e2+e51yz2xyz3xyz尺=r一r=e4一e,R=r一r=e2+e+e8,1221xz2332xyzR=rr=e6ee73113xyz由此可见R.R=(e4e)(e2+e+e8)=01223xzxyz故APPP为一直角三角形。123(2)三角形的面积S=-RxR1=丄RlxR1=丄xJ69=17.13一1223I212II23I22322求P'(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。12解r

4、=e3+e+e4，r=e2e2+e3，xyzpxyzR=rr=e5e3eppppxyzy、z轴的夹角分别为.(eR0=cost(pxp则且R与x、p'p“PP)=cos1R1ppeR0=cos1(y晋yR32.31°120.47°)=cos1=99.73°RppeRzpp)=cos1(R1ppI给定两矢量A=e2+e3e4和B=e4e5+e6，求它们之间的夹角和A在xyzxyz0=cos1(zB上的分量。解A与B之间的夹角为AB)=cos-1(一31)=13129xJB31A在B上的分量为=一3.532xyzxyz给定两矢量A=e2+e3e4和B=e6e4

5、+e，C=ee+e上的分量。xyz解AxB=ex26ey34ez41=e13+e22+e10xyz(AxB)C所以AxB在C上的分量为(AxB)=14.43C3证明：如果AB=AC和AxB=AxC，则B=C；解由AxB=AxC，则有Ax(AxB)=Ax(AxC)，即(AB)A(A.A)B=(AC)A(AA)C由于A.B=A.C，于是得到(A.A)B=(AA)C故B=C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p=AX而p=AxX，P和P已知，试求X。解由P=AxX，有AxP=Ax(AxX)=(AX)A(A.A)X=pA一(AA)X故得X=PAA

6、APA.A2兀在圆柱坐标中，一点的位置由(4,3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;3(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中x二4cos(2兀；3)=2、y=4sin(2兀/3)=2运、z=3故该点的直角坐标为(2,2*3,3)。(2)在球坐标系中r=/42+32=5、tant(4：3)=53.1°、Q=2兀;3=120°故该点的球坐标为(5,53.1°,120°)用球坐标表示的场Ee25(1) 求在直角坐标中点(3,4,5)处的|E|和E；(2) 求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量Be2e2+e构成的夹角。xyz解(1)在直角坐标中点

7、(3,4,5)处，r2(3)2+42+(5)250，故EI-25err2133迈Arx25迈20(2)在直角坐标中点(3,4,5)处，r=e3+e4e5，所以xyz”2525re3+e4e5Exyr2r3EeEEcos0xx逊墮)153.6|E|B'32球坐标中两个点(r,0,Q)和(r,0,Q)定出两个位置矢量R和R。证明R和R1112221212间夹角的余弦为cosYcos0cos0+sin0sin0cos(QQ)121212解由Rersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos01 x111y111z11Rersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos02 x222

8、y222z22RR得到cosYEB故E与B构成的夹角为0cos-1()cos-1(EBR|R|1sin0cosQsin0cosQ+sin0sinQsin0sinQ+cos0cos011111sin0sin0(cosQcosQ+sinQsinQ)+cos0cos011111sin0sin0cos(QQ)+cos0cos012121一球面s的半径为5，球心在原点上，计算：&(er3sin0)dS的值。解A(er3sin0)dS=£(e3sin0)edS予S3sin0A52sin0d0=75兀2理。SS00在由r5、z0和z4围成的圆柱形区域，对矢量Aer2+e2z验证散度定rz1

9、dd在圆柱坐标系中VA(rr2)+(2z)3r+2rdrdz所以故有JvAdtJdzfd©J(3r+2)rdr1200兀AdSJ(er2+e2z)(edS+edS+edS)rzrr©©zzSSff52x5d©dz+ff2x4rdrd©1200兀00p00fVAdt1200兀-6AdSts(1)矢量Aex2+ex2y2+e24x2y2z3的散度；(2)求VA对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解VA空2+d(兀2y2)+d(24兀2y2z3)2x+2x2y+72x2y2z2dxdydz2)VA对中心在

10、原点的一个单位立方体的积分为ipi|2ip1(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz-.-12-12-12"A对此立方体表面的积分血血1血1(21(2)2dydz-JJ(-2)2dydz+-12-12-12-121(21(211(212x2()2dxdz-JJ2x2(-)2dxdz+-12-12-12-121(21(211(21(21124x2y2()3dxdy-JJ24x2y2(-)3dxdy-2.f224-12-12-12-12JVAdt®AdS24ts计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求Vr对球体积的积JvAdT3)AdS故有t分。1rdS

11、-aa2sin0d04兀a3rSS001a又在球坐标系中，Vr(r2r)3，所以r2drJvrdt3r2sin0drd0d©4兀a3t000求矢量Aex+ex2+ey2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求VxA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。Adlfxdx-fxdx+j22dy-f0dy8所以故有VxA=eeexyzQQQQxQyQzxx2y2zJVxAdS=JJ(e2yz+e2x)edxdy=8xzz00Adl=8=JVxAdS=e2yz+e2xxzcS积分。求矢量A=ex+exy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，

12、再计算VxA对此圆面积的xy*xdx+xy2dy=f(一a2cosQsinQ+a4cos2Qsin2Q)dQ=C曲04JVxAdS=Je(»-Ax)edS=Jy2dS=JJr2sin2QrdQdr=izQxQyz4SSS00xyz证明：(1)V.R=3；(2)VxR=0；(3)V(AR)=A。其中R=ex+ey+ez,A为一常矢量CCC解（1）2）V.R=竺+空+竺=3QxQyQzexQQxVxR=eyQQyyezQQz3）x设A=eA+eAxxyyzzxyzddV(AR)=e(Ax+Ay+Az)+e(Ax+Ay+Az)+xdxxyzyQyxyz+eA，则AR=Ax+Ay+Az，故z

13、zxQQQxxyzyQyQe(Ax+Ay+Az)=eA+eA+eA=AzQzxyzxxyyzz径向矢量场F=ef(r)表示，如果VF=0，那么函数f(r)会有什么特点呢?r解在圆柱坐标系中，由VF=-rf(r)=0rdr可得到Cf(r)=CC为任意常数。r在球坐标系中，由VF=丄2r2f(r)=0r2drCf(r)=r2给定矢量函数E=ey+ex，试求从点P(2,1,1)到点P(8,2,-1)的线积分JEdl:(1)可得到解（1）xy12沿抛物线x=y2；(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗?JEdl=JEdx+Edy=Jydx+xdy=xyfyd(2y2)+2y2dy二f6y2dy=1

14、411(2)连接点p(2,l,-l)到点=(&2,-1)直线方程为x2x8y1y2故fEdl二fEdx+Edy二fyd(6y4)+(6y4)dy二f(12y4)dy二14xyCC1由此可见积分与路径无关，故是保守场。求标量函数屮二x2yz的梯度及屮在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量3e一x弋50故沿方向e45+e+e定出；求(2,3,1)点的方向导数值。y50z<50aaaVT=e(x2yz)+e(x2yz)+e(x2yz)=xaxyayzaze2xyz+ex2z+ex2yxyz345=e+e+e的方向导数为x50y50z*50空二VTe=陛+坦+处al1505050点(

15、2,3,1)处沿e的方向导数值为laT361660112+:al<50<50<5050试采用与推导直角坐标中aAaAaAVA二丄+竺相似的方法推导圆柱坐标下的题图公式1aaAVA二(rA)+©+rarrrd©解在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场A沿e的通量为屮#化|rrr+ArdA同理方向穿出该六面体的表面©+A©z(r+Ar)drd©f©z©a(rA)(r+Ar)A(r+Ar,©,z)-rA(r,©,z)A©Az«丄ArA©Az=rrarr1a(M

16、2atarr+Arz+AzdrdzJJAdrdz©©+a©©rzrzaAA(r,©+A©,z)-A(r,©,z)ArAz-©ArA©Az=©©a©dAAtr创r©+A©1JArdrd©zz+AzA|rdrd©zzrereA(r,©,z+Az)-A(r,©,z)rArA©Az沁zz竺rArA©Az二竺At因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1d(rA)dA+rd©1d(rA)dAdAr

17、+十+zrdrrd©dzF二F+F+Fup竺+r©zrdr故得到圆柱坐标下的散度表达式V*A=lim=AttOA方程u=乂+21+给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。a2b2c2解由于Vu"2X+e空+e旦xa2yb2zc2VU2()2+()2+()2a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为Vu/xyz、/J,x、/y、/z、n(e+e+e)()2+()2+()2Vuxa2yb2zc2a2b2c2现有三个矢量A、B、c为Aesin0cos©+ecos0cos©-esin©r0©Bez2sin©+e

18、z2cos©+e2rzsin©r©zCe(3y2-2x)+ex2+e2zxyz(1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？(2) 求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中1d八1d1dAVA(r2A)+(sin0A)+©r2drrrsin0d00rsin0d©1d1d1dr2dr2sin0cos©+r(r2sin0cos©)+(sin0cos0cos©)+(sin©)rsin0d0rsin0d©A二0rsin0cos©2sin0cos©

19、;cos©1re0arsin0e©ar2sin0dr”d0d©ArArsin0Ar0©erersin0er0©1Qddr2sin0drd0d©sin0cos©rcos0cos©rsin0sin©rVxA=0rsin0故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示;在圆柱坐标系中1d1dBdBVB=(rB)+©+z二rdrrrd©dz(rz2sin»)+丄2(z2cos»)+(2rzsin»)=rdrrQ©dz沁-41+2r

20、sin©-2rsin©VxB=-rerddrBrreedd©rBeezddzB.zerddrz2sin©reedd©rz2cos©ezddz2rzsin©=0故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中dCdCdC_dxdydzaaa(3y22x)+亍(x2)+(2z)0dxdydzezddz2zVxC=exd_dx3y2一2xeyddyx2=e(2x-6y)z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为VA0，VxA0；VB=2rsin©，VxB0；VC0，VxCe(2x-6y)利用直角坐标，证明zV(fA)fVA+AVf解在直角坐标中fVA+AVff(竺+竺+dAr)+(Adf+Adf+Adf)dxdydzxdxydyzdzdAdfdAdfdA(f丁+Af)+(f才+Af)+(f+Adxxdxdyydydzzddd-(fA)+(fA)+-(fA)=V(fA)dxxdyydzz证明V(AxH)=HVxA-AVxH解根据V算子的微分运算性质，有V(AxH)=V(AxH)+V(AxH)AH式中V表示只对矢量a作微分运算，V表示只对矢量H作微分运算。AH由a(bxc)=c(axb)，可得V(AxH)=H