人教A版高中数学选修2-32.3《离散型随机变量的方差》教学设计

1、离散型随机变量的方差宁波市效实中学范丽观1 教学内容解析离散型随机变量的方差是人教A 版选修 2-3 第二章随机变量及其分布列中第3.2 节的内容是离散型随机变量的另一个重要数字特征,是用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度在高中数学中.这块内容的教学要求是“了解”重点：了解离散型随机变量方差的概念、含义及计算过程22难点：离散型随机变量的方差公式的引入，第二个方差公式D（X）=E（X 2） （ E（X） 2的推导2教学目标设置（ 1 ）知识与技能：会根据离散型随机变量的分布列求方差, 推导两点分布、猜想二项分布的方差公式,并会依据期望、方差这两个重要的数字特征分析解决实际生活中的问题（

2、2） 过程与方法：运用类比思想，建立统计中样本数据的方差与概率论中离散型随机变量的方差的联系,引入离散型随机变量的方差的公式，并通过实例体会方差的意义（ 3）情感、态度与价值观：培养学生直觉思维中的类比、数据处理、抽象概括建立数学模型等数学核心素养，进一步体会运用概率思想思考和解决问题的乐趣3学生学情分析在初中（或必修3）时学生已经学过了统计中样本平均值与方差的概念,现在又刚刚学习了概率论中“离散型随机变量的分布列”与“离散型随机变量的期望”这两块知识，所以学生对于离散型随机变量的方差概念的理解不至于产生大的困难而且离散型随机变量的方差及标准差的计算，教材没有进一步的展开介绍其他公式，只要求会

3、根据定义求出离散型随机变量的方差（或标准差）但学生在解决实际问题的过程中，如何利用离散型随机变量思想描述和分析随机现象，通过期望及方差的数值分析来处理问题时存在困难4教学策略分析本节课借助于PPT,运用探究式教学.第一环节：展示问题，探寻方法以投资理财中所承担的风险作为问题情境，让学生探索思考寻找合适的解决问题的手段第二环节：直觉类比，探求新知利用直觉类比的方法，对统计中的样本平均值、方差与概率中变量的期望、方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差概念第三环节：学以致用，归纳提升提进式设计例题，熟练方差计算公式并挖掘出求方差的简便方法，既了解了方差的意义，又掌握了方差的

4、性质及常用分布列中计算方差的公式5教学过程第一环节：展示问题，探寻方法概率论中关于离散型随机变量知识的学习已近尾声.大家越来越感到这块知识与现实生活有着千丝万缕的联系，正如英国经济学家所说：概率论是生活的真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为。应用好概率论能使我们保持清醒的头脑，做出更理智的选择以减少不必要的损失。现在，我们生活在互联网时代，网络电视、网络购物、网络游戏、网络金融等网络平台。下面有一个关于网络理财投资的案件，请同学们分析帮助作出决策.引例 LJ 所推出 A, B 两款投资额为1 百万的理财产品,据统计，它们的月收益X1, X2 （万元）的概率分布列分别

5、如下表所示：作为理财分析师，请你对A, B 两款产品作出分析，并对不同需求的客户给出建议.（复习期望的概率与计算，通过平均利润来比较两款产品的好坏）.解析：E（Xi） 1, E（X2） 3,所以B款比A款多回报约2万元.提出新问题：如果控制风险，衡量产品的稳定性？思考：哪个量可以刻画产品的稳定性？（通过引例,复习期望的概念及期望计算公式，但期望值只表示了产品的平均水平，没办法刻画产品的稳定性特征. 从矛盾的冲突中引出新的概念，每一个新知识的产生都有它的实际意义。在初中（高中必修3）学习了样本的方差，方差刻画了数据的稳定与波动、集中与离散的程度，所以对稳定性程度的刻画学生很容易想到方差，方差概念

6、的引入就水到渠成了.引出课题 离散型随机变量的方差）.第二环节：直觉类比，引出概念（ 1）回顾旧知在初中（或必修3）统计学中,学生学习了样本平均数及方差。样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，它可以刻画样本数据的稳定程度.类比地样本数据X1,，为；X2, ,X2; Xi, Xi; Xn, ,Xnk1k2kikn记 k1 k2kn N离散型随机变量的分布列XXix2xnPPiP2Pn平均值 X X1flX2 f2xnfn.k其中频率fiN期望 E(X) Xi Pi X2P2Xn Pn(xix)Xi与均值X的偏差(X E(X)2Xi与期望E (X)的偏差s2 (Xi X)2f (X2 X)

7、2 f2(Xn X)2 fnD(X) (X1 E(X)2Pi (X2 E(X)2P2 (4 E(X)2 pn平均偏差方差平均偏差方差通过直观类比得到离散型随机变量的方差概率XX1X2xnpPiP2Pn程度的加权值E(X)的平(2)聚焦概念定义：离散型随机变量的分布列n则 D(X)(Xi E(X)2Pi 为偏离i 1平均，刻画了随机变量X与其均均偏离程度，我们称D(X)为随机变量X的方差(variance),并称其算术根寸方面为随机变量 X 的标准差(Standard deviation).同样地，随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差 或标准差越小，则随机变量偏离

8、于均值的平均程度越小，就越稳定。(3)决策分析从数据上看到：两款理财产品都带来收益，B款平均U益比A款约多2万元；两款都具有一定的风险，但 A款风险明显小于 B款建议：稳健型客户选择 A款，如果想多赚又不怕风险就选择B款.(设计意图，在学生已经掌握离散型随机变量分布列与期望的认知水平上，回顾统计学中样本方差的形成过程，运用直觉类比，顺应得到概率论中离散型随机变量的方差的概念并引出离散型随机变量的方差的公式，这样设计使学生更容易理解概念，并通过实例体会方差的意义).第三环节：学以致用，归纳提升例1填空:(1)已知随机变量 X的分布列为则 E(X) D(X)X124p111326(2)若随机变量Y

9、的分布列为则 E(X) _ , D(X)(设计意图，熟悉方差计算公式，并挖Xa2a4aP131216掘简便计算，第(1) (2)两题分布列及结果发现变量X,Y具有线性关系 Y aX ,那么E(Y) aE(X),D(Y) a2D(X).提出思考1 .若Y aX b, E(aX b) aE(X) b ,请问D(aX b) ?从具体的特殊情形中抽象、猜想出问题的结论,从成功解决的简单情形中展示其解决问题的一般方法,从期望的结论中大胆猜想方差的性质,做到学以致用)若X服从两点分布，则 E(X) p,思考2 D(X) ?(2)四人中抽到500元代金券的人数记为X,求X的方差.解.随机变量X的分布列为00

10、 1 4 2 0 C4()()3311 1 3 2 1C4(3) (3)22 1 3 2 2C4( J ()3333 1 1 2 3C4(3)(3)D(X)8 2182 882 2482 3282(0)2(1)2(2)2 一 (3)2 (4)2381381381381316 8(例2设计819 f 、意图，让学生8 / 6掌握处理实际问题时求方差的一般步骤，先求随机变量的分布列与期望，再计算变量 方差.并会推导、掌握二点分布白方差公式，.利用特殊到一般思想猜想二项分布的方差公式,.因为课通过n 4时方差的计算，进一步巩固方差公式，体会两个常用分布列的实例模型本对二项分布的方差公式的推导过程不作

11、要求，所以就作为探究题让学有余力的学生思考)_2_2课后探究1证明：D(X) E(X ) (E(X).证明：D(X)2(X1 E(X)2Pi (X2 E(X)222 P2(Xn E(X )2 Pn课后探究2若XB(n, p),那么方差D(X) np(1 p)。证明：E(X2)ni2C；Pi(1 p)i 0nn ii(ii 01)Cn pi(ip)niniC；Pi(1 p)nii 02222所以 D(X) E(X2) (E(X)2 n(n 1)p2 np (np)2 np(1 p)(设计探究1一方面为学生提供求方差的另一条途径，另一方面为下面的推导二项分布的方差公式作铺垫.而探究2既对二项分布的

12、猜测提供了严格的证明，反映了数学的严谨性，同 时复习了二项式系数 kC： nC：；、C0 C：C； 2n及二项式系数求和的方法，有一定的难度)。例3若引例中若允许两款产品组合投资，请给出风险最小的投资方案，此时利润约为多少?解 记x万元投资A款所得利润的随机变量为1, (100 x)万元投资B款所得利润的随X2，一、一,x100 x机变量为2,通过分析得到 1X1,2100100贝U D( 1)75o 1512所以 f(x) D( 1) D( 2) 52- (x 72)2 1002100当x 72时，f(x)取到最小值为15.12,此时期望为7228一一E(-2 X1) E(VXz) 1.56

13、万兀.1001001.56万元.最后建议：72万元投资A款，28万元投资B款，这样风险最小，月利润约(设计意图：培养学生对实际问题会有建立数学模型的意识，对有关联的两个变量会寻找两2者的线性关系，并利用 E(aX b) aE(X) b, D(aX b) a D(X)简化计算，体会利用概率思想解决实际问题的乐趣，培养精益求精的处理问题的态度)第四环节：归纳小结 理顺知识离散型随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，实2际上是随机变量(X E(X)的均值，因此它是研究变量稳定性的重要数字特征.虽然离散型随机变量的方差从样本方差中类比得到，但随机变量的方差是常数， 样本的

14、方差是随着样本试验的不同而变化，因此样本的方差是随机变量，但常常我们用样本的方差来估计总体的 方差.求随机变量的方差时需先求出随机变量的分布列及期望，再根据两个方差计算公式D(X) (x E(X)2pi，D(X)(为E(X)2 pi计算.若离散型随机变量服从常用分布列如 i 1i 1X服从两点分布，则 D(X) p(1 p); X B(n, p),则D(X) np(1 p)时，可以直接利用结论方便计算2_2_2_两个随机变量的方差性质D(aX b) aD(X)；D(X)E(X )(E(X)0,得 E(X2)(E(X)2课外作业略6.课例点评本节课在学生学过统计中样本的平均数与方差、离散型随机变量的分布列与期望后的新授课 .离散型随机变量的方差在高中数学中属于“了解”的要求，但无论是概念引入、公式推导、还是运算都是学生的难点，本课努力尝试分散这些难点，对每个知识的学习不感到生硬 .从贴近学生生活与热门实际问题(网络理财与网络购物)入手，从问题解决的矛盾冲突中寻找新的解决办法，通过设问将新知识纳入学生已有的知识系统中、再通过直觉类比体会随机变量方差的概念与计算公式形成过程，努力使概念的引入自然、易懂.围绕概念设计引