《博弈论与信息经济学》纳什均衡

1、博弈论与信息经济学纳什均衡第一页，共26页。4.纳什均衡 （2）严格占优战略均衡）严格占优战略均衡例：在囚徒困境中，李四的严格占优战略是例：在囚徒困境中，李四的严格占优战略是 “坦白坦白”，张三的严格占优战略也是，张三的严格占优战略也是 “坦白坦白” ，所以，李四和张三都会根据理性作出判断，选择严格优势战略所以，李四和张三都会根据理性作出判断，选择严格优势战略“坦白坦白”作为自己的战略。作为自己的战略。因此，最终均衡就是（坦白，坦白），这种由严格占优战略得到的均衡就称为严格占优战因此，最终均衡就是（坦白，坦白），这种由严格占优战略得到的均衡就称为严格占优战略均衡。略均衡。李四/张三张三坦白抵赖

2、李四坦白-3 -3 0 -5抵赖-5 0-1 -1*1*1,.,.,.,.,iniiiiiiiinssssssu s su s sssssG如果战略组合是由每个参与人的严格占优战略 组成，则称 为该博弈的严格占优战略均衡。如果不等式成立，则称为 的严格占优战略均衡。2022-5-52博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第二页，共26页。4.纳什均衡 （3）（弱）占优战略）（弱）占优战略有很多博弈并没有严格占优战略，而是具有弱占优战略。在下面的牌花博弈中，李四和张三都有很多博弈并没有严格占优战略，而是具有弱占优战略。在下面的牌花博弈中，李四和张三都没有严格优势战略，李四的没有严格优势战略，李四的

3、“ ”与与“ ”相比，存在弱优势，即：相比，存在弱优势，即：李四/张三张三李四10 55 010 00 11050uuuu 李四李四李四李四，*,iiiiiiiiiiiiiiiiiiissus sus sus sus sssss如果参与人 战略 与其它的战略 相比，存在：且，则称 是 的（弱）占优策略，是 的（弱）劣策略。2022-5-53博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第三页，共26页。4.纳什均衡 （4）（弱）占优战略均衡）（弱）占优战略均衡 在下面的博弈中，李四的在下面的博弈中，李四的“ ”是弱占优战略，所以李四选择是弱占优战略，所以李四选择“ ”；相对于李四的；相对于李四的“ ”，

4、张，张三的三的“ ”是占优战略，张三会选择是占优战略，张三会选择“ ”。最终的均衡是（。最终的均衡是（ ， ）。）。李四/张三张三李四10 55 010 00 1*111*1,.,.,n,.,;,.,i,.,.,innniiiiiiinssssGSS uuu s su s sssssG设为 人博弈的一个策略组合，如果，对于参与人 ，存在，则称为 的占优战略均衡。2022-5-54博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第四页，共26页。4.纳什均衡 （5）重复剔除占优均衡）重复剔除占优均衡例：例：假设有两个寡头公司垄断某种产品的市场。每个公司都可采取三个价格中的任意一个：假设有两个寡头公司垄断某种

5、产品的市场。每个公司都可采取三个价格中的任意一个：高、中、低，如果哪个公司采取较低的价格就可以占有整个市场，如果价格相同就会平分高、中、低，如果哪个公司采取较低的价格就可以占有整个市场，如果价格相同就会平分市场。给出博弈的市场。给出博弈的矩阵矩阵表达式：表达式：公司1/公司2公司2高中低公司1高6， 60， 100， 8中10， 05， 50， 8低8， 08， 04， 4在有的博弈中，参与人的战略较多，需要采用重复提出劣策略的办法来找到均衡，这种方法称为重复剔除法。2022-5-55博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第五页，共26页。4.纳什均衡（a）在对）在对矩阵矩阵表达式观察后，会发现

6、无论对于公司表达式观察后，会发现无论对于公司1还是公司还是公司2，高价，高价战略战略都是劣都是劣战略战略，因此，因此首先剔除首先剔除“高高”战略战略。公司1/公司2公司2高中低公司1高6， 60， 100， 8中10， 05， 50， 8低8， 08， 04， 42022-5-56博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第六页，共26页。4.纳什均衡（b）在第一轮的剔除后，后发现无论对于公司）在第一轮的剔除后，后发现无论对于公司1还是公司还是公司2，中价，中价战略战略都是劣都是劣战略战略，因此再，因此再次剔除次剔除“中中”战略战略。（c）最后剩下了唯一的）最后剩下了唯一的战略战略均衡对（低，低），

7、就是重复剔除的占优均衡对（低，低），就是重复剔除的占优战略战略解。解的结果或盈解。解的结果或盈利是（利是（4，4）。）。公司1/公司2公司2高中低公司1高6， 60， 100， 8中10， 05， 50， 8低8， 08， 04， 42022-5-57博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第七页，共26页。4.纳什均衡,.,.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiss s sSsus sus ssssiss s sSsus sus ssus sbusa严格劣战略弱劣参与人的战略 、,对于任意的其他参与人的战略组合，如果满足：，则称 是严格劣于 的战略。参与人的战略 、,对于任意

8、的其他参与人的战略组合，如果满足：，对于某些特殊的，战有：略*111*,;,.iinnnsssnGSS uscusss，则称 是弱劣于 的战略。对于 人博弈的战略组合，如果它是重复剔除劣战略后剩下的的唯一的战略组合，就称 为重复剔除占优均衡。如果重复剔除劣战略后剩下的战略组重复剔除占优均衡重复剔除占优可合是唯一的，则称该博弈是的。重复剔除占优均衡要求理性是解参与人的共同知识。2022-5-58博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第八页，共26页。4.纳什均衡 例：理性是共同知识例：理性是共同知识公司1/公司2公司2LMR公司1U1， 01，20，1D0， 30，12，0公司1/公司2公司2LM

9、公司1U1， 01，2D0， 30，1公司1/公司2公司2LM公司1U1，01，22022-5-59博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第九页，共26页。4.纳什均衡 例：不具备重复剔除占优可解性例：不具备重复剔除占优可解性公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11R30，120，100，13公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11公司1/公司2公司2C1C2公司1R12，121，10R20，120，10公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，10

10、0，11R30，120，100，13公司1/公司2公司2C1C3公司1R12，121，12R20，120，11R30，120，13公司1/公司2公司2C1C3公司1R12，121，12R30，120，132022-5-510博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十页，共26页。4.纳什均衡 （5）重复剔除占优战略可解性）重复剔除占优战略可解性如果局中人的一组战略组合如果局中人的一组战略组合s 是重复剔除劣是重复剔除劣战略战略后剩下的唯一的后剩下的唯一的战略战略组合，这个组合，这个战略战略组合称为重复剔除优势组合称为重复剔除优势战略战略解。解。如果重复剔除劣如果重复剔除劣战略战略后剩下的后剩下的

11、战略战略组合是唯一的，称该博弈是重复剔除组合是唯一的，称该博弈是重复剔除战略战略可解的。可解的。2022-5-511博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十一页，共26页。4.纳什均衡v例例.综合例题综合例题两个公司设置市场价格，两个公司设置市场价格，p是价格，则需求曲线为：是价格，则需求曲线为：Q=D(P)，D(P-1)D(P)。如果公司。如果公司1是定价较低的公司，那么公司是定价较低的公司，那么公司1将满足所有的市场需求；同样也适用于公司将满足所有的市场需求；同样也适用于公司2。如果两。如果两个公司报价相同，则各得一半的市场份额。假如垄断价格为个公司报价相同，则各得一半的市场份额。假如垄断

12、价格为pm （ pm 22）报价以单位）报价以单位美元递增，没有生产成本。要求：美元递增，没有生产成本。要求：（1）问：高于垄断价格的要价是否都是劣战略；）问：高于垄断价格的要价是否都是劣战略；pm -1要价战略是否优于垄断价格战略。要价战略是否优于垄断价格战略。（2）证明：该博弈具有占优可解性。）证明：该博弈具有占优可解性。2022-5-512博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十二页，共26页。4.纳什均衡 解：解：首先写出博弈的矩阵表达式：首先写出博弈的矩阵表达式：公司1/公司2公司2pm-1pmPm+1Pm+2公司1pm-1(pm-1)(pm-1)0(pm-1)0(pm-1)0(pm

13、-1)pm(pm-1)0(pm)(pm)0(pm)0(pm)Pm+1(pm-1)0(pm)0(pm+1)(pm+1)0(pm+1)Pm+2(pm-1)0(pm)0(pm+1)0(pm+2)(pm+2)2022-5-513博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十三页，共26页。4.纳什均衡 假定有一个高于垄断价格假定有一个高于垄断价格的两个的两个要价为要价为pm +n-1和和pm +n，根据博弈的战略表达式，根据博弈的战略表达式可知，公司可知，公司1和公司和公司2的两个高于垄断价格的盈利向量分别为：的两个高于垄断价格的盈利向量分别为： 110,0,0,.,111120,0,0,.,0,mmmmm

14、mmmpnD pnpnD pnpnpnD pnpnnN 2022-5-514博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十四页，共26页。4.纳什均衡是明确的，但是下式是否成立，有待于证明：是明确的，但是下式是否成立，有待于证明： 11102mmD pnpn 1112mmmmD pnpnD pnpn 11211110221112mmmmmmmmmmD pD pD pnD pnppnpnpD pnpnD pnpn 2022-5-515博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十五页，共26页。4.纳什均衡由以上结果可知，高于垄断价格的战略并不是劣战略，只有第由以上结果可知，高于垄断价格的战略并不是劣战略，

15、只有第n+2个战略是第个战略是第n+1个战略的劣个战略的劣战略。低于垄断价格的战略不是占优战略。战略。低于垄断价格的战略不是占优战略。 证明：证明：在整个博弈矩阵表达式中，假如有在整个博弈矩阵表达式中，假如有n+2个战略，那么，在对比中，会发现第个战略，那么，在对比中，会发现第n+2个战略个战略是第是第n+1个战略的劣战略，即，要价为个战略的劣战略，即，要价为pm +n 的战略是要价为的战略是要价为pm +n-1战略的劣战略。根战略的劣战略。根据剔除劣战略的原则，经过逐次剔除，最后剩下价格为据剔除劣战略的原则，经过逐次剔除，最后剩下价格为pm -1的战略，这对于公司的战略，这对于公司1和公司和

16、公司2来说是唯一的。所以，该博弈存在占优可解性。来说是唯一的。所以，该博弈存在占优可解性。2022-5-516博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十六页，共26页。4.纳什均衡v 2.相对占优战略均衡相对占优战略均衡 （1）相对占优战略）相对占优战略在爱情博弈中，既没有严格优势战略也没有（弱）占优战略，只有相对占优战略。例如，当张在爱情博弈中，既没有严格优势战略也没有（弱）占优战略，只有相对占优战略。例如，当张媛选择媛选择“英语英语”时，李明的占优战略为时，李明的占优战略为“英语英语” ，即：对于张媛的，即：对于张媛的“英语英语”李明的相对占优战李明的相对占优战略为略为“英语英语”。李明/张

17、媛张媛英语法语李明英语3 21 1法语0 02 32022-5-517博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十七页，共26页。4.纳什均衡*i,3=02=1iiiiiiiiiiiu s su s ssssisisuuuu李明李明李明李明如果，对于参与人 ，存在，则称是参与人 相对于相对占优战略，也称为参与人 对于 的最优反应。例如在爱情博弈中：英语，英语法语，英语法语，法语英语，法语李明/张媛张媛英语法语李明英语3 21 1法语0 02 32022-5-518博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第十八页，共26页。4.纳什均衡 （2）相对占优战略均衡）相对占优战略均衡在爱情博弈中，对于张媛的在

18、爱情博弈中，对于张媛的“英语英语”李明的相对占优战略为李明的相对占优战略为“英语英语”，对于张，对于张媛的媛的“法语法语”李明的相对占优战略为李明的相对占优战略为“法语法语” ；对于李明的；对于李明的“英语英语”张媛的相张媛的相对占优战略为对占优战略为“英语英语”，对于李明的，对于李明的“法语法语” 张媛的相对占优战略为张媛的相对占优战略为“法语法语” 。该博弈的均衡就为（英语，英语），（法语，法语），这称为相对占优战略均该博弈的均衡就为（英语，英语），（法语，法语），这称为相对占优战略均衡。衡。李明/张媛张媛英语法语李明英语3 21 1法语0 02 32022-5-519博弈论与信息经济学博

19、弈论与信息经济学第十九页，共26页。4.纳什均衡v3.纳什均衡纳什均衡 （1）最优反应）最优反应例：例：公司1/公司2公司2LCR公司1U0， 44， 05， 3M4， 00， 45， 3D3， 53， 56， 6*,iiiiiiiiiiiiiissus sus sssb ss如果参与人的战略 与其他参与人的战略组合满足：，则称 是关于的最优反应。称为最优反应函数，简称反应函数。2022-5-520博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第二十页，共26页。4.纳什均衡 1121212122LM,bLMbLMbULbCUbMCbRDbDRbRDD RbDR公司 选择“ ”时，公司1的最优反应是选择

20、“”，记作：。按照这样的方法，会有： 双方都满意的均衡为。2022-5-521博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第二十一页，共26页。4.纳什均衡 （2）纳什均衡）纳什均衡 （3）纳什均衡举例）纳什均衡举例例例1.古诺寡头竞争模型古诺寡头竞争模型1.寡头竞争解寡头竞争解111,.,;,.,.,.,1,.,nniniiiiiiiiiGSS uussssb ssus sus sins在博弈中，如果战略组合中的任一战略，都符合，即：，则称 是该博弈的纳什均衡。1212,1QpCcQpQabpabQQQQpab QQ 需求函数：，成本函数：，价格函数是需求函数的逆函数：，令：，则上式简化为：。当市场上存在两家厂商时：，因此，价格函数就变化为：。2022-5-522博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学第二十二页，共26页。4.纳什均衡21211112111122122121max012