第2节不定积分的计算_图文ppt课件

1、6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深 不定积分的计算就是知一个函数求它的原函数的问题.在实践计算时能用直接积分方法处理的计算问题是很少的,大量的普通的不定积分计算问题需求经过进展适当的变换方法和一定技巧,把问题转化为能用直接积分方法处理.本节引见几种比较常用的求不定积分的方法.引言引言6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深一、一、“凑微分法凑微分法例如：例如：22(2 )2xxee dxdx求 2xt令12dxdt.2121212CeCedtextt方式上方式上“凑成能由不定凑成能由不定积分公式求出的积分积分公式求出的积分!简单交换简单交换例例1:)(1常数a

2、dxaxaxaxd)(xat令dxdt.|ln|lnCaxCttdt第一类换元第一类换元法法6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深“凑微分法凑微分法:( )f x dx求 设法凑成设法凑成( ( )( )gxx dx( )tx令dttg )(积分公式积分公式CtF)(.)(CxF本质上是一种简单换元积分法本质上是一种简单换元积分法.例例1笼统概括为普通方法笼统概括为普通方法回代为回代为X表示表示仔细仔细领会领会=dx（ （ ）6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例2.tanxdxsincosln|cos |.coscosxdxdxxCxx例例3.xdxsec

3、22cossincoscos1sindxxdxdxxxx111() sin21 sin1 sindxxx2211 sin1(1 sin )lnln21 sin2cosxxCCxxln |sectan|.xxCcossinxtdtxdx 实际上是做变量代换：，变换技巧可以作为公式可以作为公式关于绝对值关于绝对值化简整理化简整理6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例4.xdxcsc2cos2sin2sinxxdxxdx2(tan)22tancostan222xxddxxx()2ln |sectan|.cossin()2d xdxxxCxxln |csc|.xcotxC1 cos

4、(tancsc)2sinxxxcotxx例例5.2343xx dx13321(43)(43)9xdx 1332212(43).927t dtxC 公式凑!三角公式运用三角公式运用6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深二、换元积分法二、换元积分法例例6.121xe dxx求.)1(. 111Cexdexx原式2112., tdxdtxt 令.)1(122Cedtedttetxtt原式变量代换第二类换元法6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深定理定理 :( )( )( )( )f xxttxt设连续,及皆连续,的反1( )tx函数存在且连续, 且( ( )( )(

5、),ftt dtF tC1( )( ).f x dxFxC那么那么证明：证明：)()()(11tFxFdxd).()(1)()(xftttf1( )fxFxC只须把求导等于被积函数 （ ）即可.6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例7.3131xdxx求解：解：3223131,31,(1),3xttxxtdxt dt 令 则dtttdtttt)2(311) 1(31423原式.) 13)(2(5132Cxx根本出发点是有理化根本出发点是有理化回代并化简整理回代并化简整理6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深22ax dx求例例8.解：解：sin ,cos,x

6、atdxatdt令 2222coscosax dxat atdtacos tdt.)2sin21(2)2cos1 (222Cttadtta2222221(arcsin)21arcsin.22axxaxCaa aaxx axCa22(arcsin , sin22sin cos2).xaxtxtttaa变量关系借助于直角三角形x22xa ta6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例9.221dxxa求解：解：2tan ,sec,xatdxatdt令 则22221sec1secln(tantan)secatdttdttaatCata原式).ln(,)ln(122aCCCaxx例例1

7、0.22dxxa求解：解：1.sec ,sec tan.xatdxattdt令.|ln22CaxxCtdtashtasht原式ashtdtdxachtx,. 2令察看被积函数方式决议变量代察看被积函数方式决议变量代换换6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注：注：2222ln |.dxxxaCxa222221arcsin.22axax dxx axCa“凑微分法与换元积分法比凑微分法与换元积分法比较较( ( )( )ftt dt求 dxxf)(xt )(设()( ) tx将函数替换为变量( )xt 求出这个不定积分,再将结果中的 换成即得所求的不定积分.“凑微分法凑微分法将函数

8、交换为变量：将函数交换为变量：6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深换元积分法换元积分法将变量交换为函数：将变量交换为函数：( )f x dx求 ,)()(dtttf( )xt设 dttdx)()( )xt将变量 替换为函数1( )tx 求出这个不定积分，再将结果中的 换成即得所求的不定积分.注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量交换，因之所得结果在方式上能够不一样函数作变量交换，因之所得结果在方式上能够不一样. 但是验证能否正确只需求导等于被积函数即可.6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深

9、由浅入深例如：例如：211.sin cossin(sin )sin.2xxdxxdxxC注：积分方法以注：积分方法以“化繁为简为目的化繁为简为目的.212.sincoscos(cos )cos.2xxdxxdxxC 113.sincossin2cos2.24xxdxxdxxC 作业作业:P279。 1(双号双号) 单号练习单号练习6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深三、分部积分法三、分部积分法u( )v( ),u xv x对于可微函数 =与 =由导数运算法则有,)(vuvuuvor.)(vuuvvu作不定积分运算, 即得,dxuvuvdxvuor,udvuvvdu称之为称之为

10、 分部积分公式分部积分公式.将被积函数u转换为v6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注注1. 积分不能直接求出，经过此公式进展转化积分不能直接求出，经过此公式进展转化uv dxvdu求 ,u vvduudv 选择的原则是 要比 简化单繁易求为简,从而达到的目的.,vu dx求 udv即改写改写转化转化6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深sinxxdx求解：解：(1),sin( cos ),uxdvxdxdx令 dxxxxxd)cos(cos)cos(则原式.sincosCxxx2(2)sin ,(),2xuxdvxdxd若令 则).(sin2sin2)2(s

11、insin222xdxxxxxdxdxxsinxxdx比 更繁.例例11.适中选择适中选择u 和和 v6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例12.arctan xdx求解：解：2arctan1xxxdxx原式21arctanln(1).2xxxC例例13.dxexx3232()3xex d2323333222()333399xxxxxxexxexdeee dx233233xxxexe dx2322().3927xxxeC解：解：加题6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例14. 求求dxax22解：解：222222xxxaxdxxaxa dx 222222

12、2ax xaxa dxdxxa2222222ln |.22xaxa dxxaxxaC2222222ln(2.)2xaxa dxxaxxaC22222212ln|x xaaxxaCxa dx22aa同法移项6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例15.cossin.axaxebxdxebxdx求 及解：解：,sincos1cosbxdxeabbxeabxdxeaxaxax1sinsincos,axaxaxbebxdxebxebxdxaa联立联立, 解之得：解之得：22sincoscos,axaxbbxabxebxdxeCab22sincossin,axaxabxbbxebxdx

13、eCab方法特殊方法特殊XAYYBX察看可见二元方程组察看可见二元方程组对两个不定积分分别运用分部积分公式对两个不定积分分别运用分部积分公式6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深注注2. 类似的类似的, 以下函数以下函数sin,cos,ln,arctan ,( )sin,( )cos,( )ln ,(sin )kkkaxkmkaxxbxxbxx exxxxp xmxp xmxp xxpx e等等.的不定积分常可用分部积分法求得. 有时运用假设干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成为求积分的方程式，解之可得所求积分；cos1cossin101sinsinsin?xxdx

14、dxdxxxx P266类型注注3. 运用分部积分法，有时须延续运用假设干次；运用分部积分法，有时须延续运用假设干次；有时应特别留意如下情形：6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深 将不定积分视为一个数进展运算是错误的将不定积分视为一个数进展运算是错误的, 不定积分不定积分 是原函数的集合是原函数的集合. 此时此时,.|sin|lnsinsinsincosCxxxddxxx运用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式运用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：例如：(ln),nnIxdxdxxxnxxxdxxInnnn1)(ln)(ln)(ln1,)(ln)(ln)(ln

15、11nnnnnIxxdxxnxx.lnln1CxxxxdxI其中，降次降次6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深 初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么简单, 有些不定积分不能用初等函数来表示, 22sin,sin,xxedxdxx dxx如是非初等函数是非初等函数, 即即初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.作业作业:p281 2.双双. 3 单单6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深( )( )( )( )( )( )( )( )P xP xQ xQ xP xP xQ xQ x若的次数的次数，称 为若有理假分的次数的次

16、数，称 为式；有理真分式.( )( )( )( )( )P xF xT xQ xQ x多项式除法有理假分式(有理真分式)多项式多项式.1264321232224xxxxxxxx四、有理函数积分法四、有理函数积分法1. 代数的预备知识代数的预备知识 设P(x)与Q(x)都是多项式, 那么有理函数的普通方式是.( )( )P xQ x例如：6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深( )( )( ).( )( )T x dxP xF xdxdxQ xQ x由于易求, 因之求关键在于求( ),( )F xQ x对于有理真分式由代数实系数多项式的因式分解,可设22( )()() ()()

17、,Q xxaxbxpxqxrxs22,( ),( ), ,abQ xxpxqxrxsQ x 其中，分别是的重，都没有实根，有共轭复根，即实根有共重；是轭复根自然数.6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深根据代数分项分式定理, 有)()()()()(221axAaxAaxAxQxF)()()(221bxBbxBbxB1122222211222222()().()()( )C xDC xDC xDxpxqxpxqxpxqE xFE xFE xFxrxsxrxsxrxs,ijkkmmA B CDEF其中，都是常数.分项分式实际根据分项分式实际根据6.2. 不定积分的计算不定积分的计算

18、由浅入深由浅入深方法一：方法一：( )( )( )( )( )( )F xR xF xR xQ xoQrx( )( )F xR x同次幂的系数相等.与 由此得到一次联立方程组，求解即得.方法二：方法二：运用运用“赋值法简化对待定系数的求解赋值法简化对待定系数的求解.求解常数的方法：将将()式右端通分，得式右端通分，得待定系数法待定系数法6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例16.2222(1)(1)xxx分解 为简单分式之和.解：解：(方法一方法一)11222222222(1)(1)11(1)B xCB xCxAxxxxx设 43211121121212122()()(2)

19、()().(1)(1)AB xCB xABBC xCCBB xACCxx1112121211212,0,0,0,2.2ABCBABBCCCBBACC11221,1,1,2,0.ABCBC 解方程组,得:比较两端分子的同次幂系数比较两端分子的同次幂系数, 得得2222222(1)(1)112.11(1)xxxxxxxx所以6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深解：解：(方法二方法二)11222222222.(1)(1)11(1)B xCB xCxAxxxxx设 ).1)() 1)(1)() 1(222221122xCBxxCxBxAx有144 ,1.xAA令 ，有 1211220

20、,2.1,044422.xACCxABCBC 有有22222,2.BCBC得11221,1,1,2,0.ABCBC 联立解之得2222,22() ,xiiBCBCi 有赋值赋值2222222112.(1)(1)11(1)xxxxxxxx所以 6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2. 有理函数的不定积分有理函数的不定积分( )( )F xQ x从式，任何有理真分式的不定积分都能归结为（ ）求下列分式的不四种类型定积分：(1)ln |.AdxAxaCxa2222(3).22ln()arctan244BxCBCBpxpdxxpxqCxpxqqpqp1(2).(2,3,)()(1)(

21、)nnAAdxCnxanxa重点前三种这里给出的是结果，详细推导方法如下：这里给出的是结果，详细推导方法如下：6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深dxqpxxBpCpxBdxqpxxCBx222)2(2224ptxpaq令简 化 ！)4()2()2()2()(22222pqpxpxdBpCqpxxqpxxdB22222ln()arctan.244BCBpxpxpxqCqpqp，然后成两分项)22(BpBpdua22t1凑成6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2(2,3,(4)()nnBxCdxxpxq222()()2()2()nnBd xpxqBpdxCxp

22、xqxpxq211(),2 (1)()2nnBBpCn xpxIq)(nudu(循环)6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深422()()24()nnndxppxqdxIxpxq122221111()2(1)()nnIt daa ntanatdttn)()2)(1(22分部积分法分部积分法22()ndtta2222221()ntatdtata12222122111,2(1) ()()nnntdtIaa ntata22(,)24pptxaq令 6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深12221223.2(1)()2(1)nnntnIIa ntaa n因此, nI这是

23、关于 的递推公式. 此时,11221arctan,dttICtaaa1231.nnIIIII由 22222311arctan,22ttICataaa33222 24225,133arctan4()88tttICataataaa6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深1(1)1nI nInn只是针对 中的 而言,应与题设中区别.注注2. 有理函数总存在初等函数的原函数有理函数总存在初等函数的原函数.注注1. 例例16.2222(1)(1)xdxxx求 .解：解：2221211(1)dxxxdxdxxxx原式2222221(1)(1)1211(1)dxd xdxd xxxxx2211

24、ln|1|ln(1) arctan.21xxxCx注注3. 根本思想就是把被积函数用部分分式法化为四种类型之一。根本思想就是把被积函数用部分分式法化为四种类型之一。6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例17. 求求 2.1(1)dxx x21(1)dxx x2111(1)1dxxxx2111(1)1dxdxdxxxx.1ln| |ln|(1)|1xxCx解：省略中间过程，解：省略中间过程，22) 1(1) 1(1xCxBxAxx用待定系数法，得用待定系数法，得A=1，B=-1，C=1，代入原式6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例18. 求求 解：解：.

25、)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154原式dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 22121)1)(21 (1xCBxxAxx作业作业: P281 46.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深五、其他类型的不定积分五、其他类型的不定积分一简单无理函数的不定积分一简单无理函数的不定积分根本原那么：根本原那么：简单无理函数简单无理函数变量交换变量交换有理函数有理函数符号符号 R (u, v) 表示以表示以 u 和和 v 为变量的有理函数为变量的有理函数. 2 1. ( ,)0. naxb

26、R xdxxnadbccd型其中且积分，6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深于是则设 ,)( ),( , dttdxtctabdtxtdcxbaxnnn( ,)naxbR xdxcxd( ( ), ).( )Rt tt dt积分积分有理化有理化( )( )tt由于与皆为有理函数，故求这个有理函数的不定积分即可.12( ,)knnnaxbaxbaxbR xdxcxdcxdcxd推广求 型的积分，12(, ) knnnaxbtnncxd其中 为的最小公可倍数令使其有有理化求解有理化求解.6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例1.7781514.xxdxxx解：

27、解：141314 , ,14,xtxtdxt dt设 则有：1114142772131381516151414714()()1414()()ttttt dtt dttttt原式=543211414 (1).1tdtttttdtt 加题6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例2.11.1xdxxx解：解：2222114 , , , 11(1)xtttxdxdtxtt设则 有222222214 =41(1)(1)(1)ttttdtdttttt 原式22.111dtdtdtttt加题6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例3.23(1)(1)dxxx解：解：311

28、 =.11xdxxx原 式32333321126 , 1, , 111(1)xtttxdxdtxttt 设则323323163 2(1)1tttdtdtttt 原式2211dttdtttt (分项分项)(变形变形)(代入代入)2221(1)(21)ln |1|321(21)3d ttdttttt 2121ln |1|ln(1)3arctan.23ttttC 31().1xtx6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例4. 21 23xdxxx解：解：22221(1 23)163411 233()331131ln 1 23arcsin.323 3dxxdxxxxxxxC 加题6.

29、2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深222.( ,) 0,40(R xaxbxc dxabac型积分，其中无重根).分以下几种情况讨论：分以下几种情况讨论：2(0 )(1 MxNdx aaxbxc形如 的积分22MxNdxdxaxbxcaxbxc原式222()(),22Md axbxcbMdxNaaaxbxcaxbxc2222 .()()24dxdxaxbxcbba xcaa而6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2222 ()(),24bbaxbxcdxa xcdxa而2 (02() )MxNaxbxcadx形如的积分22()2Maxbxcd axbxca 2(

30、),2MbNaxbxcdxa此积分方式同以下公式：此积分方式同以下公式：22222,arcsin22xaxax dxaxCa或2222222ln|.22xaxa dxxaxxaC6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例6.2(1)25xxxdx222125 (25)2(1)42xxd xxxdx原式24ln(125).xxxC 解：解：32221(25)(1)253xxxxx6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深二三角函数的不定积分二三角函数的不定积分11sincos sec, csc, tan, cossincossinxxxxxctgxxxxx由于 sin

31、 cos xx都可化为及的函数，因之，三角函数的不定积分22 tan, () 2arctan , ,21xtxxt dxdtt设则2222222tan1tan2122sin, cos,111tan1tan22xxttxxxxtt (sin ,cos ) Rxx dx只要讨论形如的积分即可.(化为有理函数化为有理函数)普通地普通地6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深就有就有2222212(sin ,cos )(,)111.ttRxx dxRdtttt 这样就把积分有理化了. 从而三角函数 R(sinx,cosx) 存在初等函数的原函数.tan (sin ,cos ) 2xtRx

32、x变量替换 称为关于三角函数的.万能替换6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例7.sincos1ctgxdxxx解：解：22 tan, 2arctan , , 21xdttxt dxt设则222221212 .2112111tttdtdttttttt原式加题222221cos1sin,cos, ,11sin2ttxtxxctgxttxt6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例8.221 (01, |)12 cosrdxrxrxr解：解：22 tan, 2arctan , , 21xdttxt dxt设则222222 222122(1) =11(1)(1)1

33、 21rrdtdtttrrtrrt原式21()1211 ()1rdtrrtrtan2xt 12arctan.1rtCr6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深关于关于 R(sinx,cosx) 具有某种性质时的一些特殊变量交换：具有某种性质时的一些特殊变量交换： 1. (sin,cos) cos Rxxx若是的奇函数，即(sin,cos)(sin,cos), sin .RxxRxxtx 设即可例例9.64tancossinxxdxx解：解：6543tan coscos(sin ,cos ) cos sinsinxxxRxxxxx是的奇函数. sin , cos, txdtxdx设

34、则有43cos cossinxxdxx原式223(1 sin)(sin )sinxdxx223(1)tdtt32.dtdttdttt6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2. (sin,cos) sin Rxxx若是的 奇 函 数 , 即( sin ,cos)(sin ,cos ), cos .RxRxxtx 设即可例例10.334sincosxdxx解：解：334sin(sin ,cos ) sin cosxRxxxx是的奇函数，cos , sin,tx dtxdx 设 则2341 cos ( sin)cosxxdxx 原os.55costtCxCx

35、42233431 tdttdtt dtt 6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深3. (sin ,cos )( sin , cos ), . tan RxxRxxtx若设即可例例11.2sincossincosxxdxxx解：解：21 tan , , costx dtdxx设有252tancos sincoscosxxdxxxx原式2222tan(1tan )(1tan)cosxdxxxx222(1)(1)tdttt222111(2)411(1)dtttdtdtttt2222222211(1)(1)(ln |1|2)4121(1)(1)dtdtdtdtttttt22111(ln

36、|).411ttCtt6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深4. sincos, nmxx若被积函数是分以下两种情形讨论：(1) nm若 与至少有一个是奇数， 21 (), mkkNn不妨设为正数，于是2sincossincoscosnmnkxxdxxxxdx2 (1 sin) kx将按二项式定理展开,逐项积分可解,其形如1sinsinsin.1pPAAxdxxCpxtsin设2sin(1 sin)sin ,nkxx dx6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例12.3tancosxdxx解：解：732 cossinxxdx原式7322coscoscoscos

37、xdxxdx51222cos2cos.5xxC722cos(1 cos)(cos )xxdxxtcos设6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深(2) nm若与都是偶数，221 cos21cos2sin, cos,22xxxxa) 含有含有 sin2x 或或 cos2x 的奇次幂，此时可由的奇次幂，此时可由(1)求之；求之；将被积函数化简将被积函数化简, 其结果：其结果：b) 含有含有sin2x 或或 cos2x 的偶次幂，用上述三角公式化简的偶次幂，用上述三角公式化简, 化成含化成含 sin4x 与与 cos4x 的函数，依次类推的函数，依次类推.1sincossin2 ,2x

38、xx降次这时由三角公式6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深5. sincos ( ,)mxnxdxm nR型解：解：sincos mxnxdx11sin()sin()22mn xdxmn xdx sincos, sinsin, coscos,mxnxmxnxmxnx被积函数形如：都可以利用三角函数的积化和差公式求解.使用积化和差公式cos()cos(). ()2()2()mn xmn xCnmmnmn 6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深六、小结六、小结三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换1.根本积分表根本积分表. 2.运算法那运算法那么么合

39、理选择合理选择 ，正确运用分部积分公式，正确运用分部积分公式vu ,uv dxuvu vdx作业:P281 5根底根底:类型与方法的对应：灵敏运用类型与方法的对应：灵敏运用,熟能生巧熟能生巧两类积分换元法：凑微分两类积分换元法：凑微分变量代换变量代换:6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成的函数称之普通记为的函数称之普通记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22

40、xxx 1、三角函数有理式的积分、三角函数有理式的积分五、其它方式的不定积分五、其它方式的不定积分6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 万能置换公式万能置换公式6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例7: 7: 求积求积分分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(1122226.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|lntan2xu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 6.2. 不定积分的计算不定积分的计算由浅入深由浅入深例例8: 8: 求积分求积分.sin14 dxx解一解一,2tanxu ,12sin2uux ,