1-6-1用导数求函数切线、性质(单调性、极值、零点)解析版

1、专题限时训练（小题提速练）（建议用时：45分钟）一、选择题1 .曲线y= ex在点A处的切线与直线x+y+ 3= 0垂直，则点A的坐标为（）A. （1, e 1）B.（0,1）C. (1, 2)D.(0,2)解析：与直线x+y+3 = 0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为y =ex,所以由y= ex= 1,解得x= 0,此时y=e0=1,即点A的坐标为(0,1).选B.答案：B32,已知函数f(x) = xf (4m1)x2+(15m22m 7)x+ 2在实数集R上为单调递增函数，则实数 m的3取值范围是()A. 2m4B.2 m4C. 2m4D.2m4解析：f (x) = x2

2、2(4m1)x+15m2 2m7,依题意可得f (x)0在xC R上包成立，所以A= 4(m26m+ 8)cbB.abcC. bcaD.bac解析：设函数 f(x) = In x x(x0),得到 f (x)=11 =三， x x根据f (x)1,所以函数f(x)在(1 , +)上是减函数，3 .又因为123cb.选A.答案：A5 .(2019哈尔滨期中)设函数f(x)在R上可导，导函数为f(x),y=(x 1)f (x)的图象如图所示，则()A. f(x)有极大值f(2),极小值f(1)B. f(x)有极大值f(-2),极小值f(1)C. f(x)有极大值f(2),极小值f(2)D. f(x

3、)有极大值f(-2),极小值f(2)解析：由图象知当x2时，y=(x1)f (x)0,则 f (x)0,当 1x0,贝U f (x)0,当一2x1 时，y=(x 1)f (x)0,当 x0,则 f (x)2 时，f (x)0,当一2x0,当 x2 时，f (x) 2=. 2解析：因为 f (x)=6x26mx+ 6,当 xC (2, +oo)时，令 f (x)0,即 6x2 6mx+ 60,则 m5,故m05.选D. xxx 22答案：D7.设函数f(x) = x 2sin x是区间t, t + 2上的减函数，则实数t的取值范围是() 冗 冗 一 _A. 2k 九一2kL 6(kCZ)兀11九

4、B. 2k 兀+ 3 2k：t+ (k Z)一九 c,九 一 _C. 2kL2k：t+ 3 (kCZ)_ 九 ，7九D. 2kjt+ , 2k 肝(k Z)Ar一, r，i 一，_ rr1，i _九_冗解析：由题息得 f (x)=12cos x2,解得 2kL3x2k：t+ (kC Z), =f(x) = x 2sin 冗，一、，、，、一九一冗_九_冗_冗、.x 在区间 t, t + 2 上是减函数，： 3 t+2? 2kL 3, 2k 什 3,，2kL 3f(x),且a0,则以下说法正确的是()A. f(a)eaf(0)B.f(a)f(0)D.f(a)0,故g(x) = fjh R上的单调递

5、增函数，因此g(a)g(0), eee即号里=f(0),所以 f(a)eaf(0).选 A. e e答案：A10.若函数f(x) = xex a有两个零点，则实数a的取值范围为()A.-!a-；eeC.ea0D.0a0,所以由g (x) = 0,解得x= 1.当x1时，g (x)0,函数g(x)为增函数；当x1时，g (x)0,函数g(x)为减函数，所以当x=-1时，函数g(x)有最小值g(1)= e= 1.画出函数y=xex的图象，如图所示，显然当一1a0 ee时，函数f(x) = xexa有两个零点.选A.答案：A11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f (x),已知f(x+1)是偶函数

6、，且(x 1)f (x)0.若x12,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A . f(x1 )f(x2)D.不确定解析：由(x1)f (x)1时，f (x)0,函数单调递减.当x0,函数单调 递增.因为函数f(x+ 1)是偶函数，所以f(x+ 1) = f(1x), f(x) = f(2 x),即函数f(x)图象的对称轴为x =1.所以,若 K x1f(x2)；若 x12x11 ,此时有 f(x2)f(x2).综上，必有 f(x1)f(x2).选 C.答案：C在 2,2上的最大值为2,则实数a的取值范围是(2x3+3x2+1 x0.11 .A. 21n 2, +00B. 0, 21n 21

7、.八C. (-00, 0)D. -00, 21n 2解析：设 y=2x3+3x2+1(2&x00),贝U y =6x(x+1)(20x& 0),所以当一20x0, 当1x0时，y 0时，y= eax在(0,2上的最大值e2a2,所以0a021n 2；当a = 0时，y= K2；1.当a0时，y=*在(0,2上的最大值小于1.所以实数a的取值范围是 一,万如2选D.答案：D二、填空题13 .曲线y=x(3ln x+ 1)在点(1,1)处的切线方程为 .解析：y=3ln x+ 1+x3=3lnx+4,k=y|x=1=4,切线方程为y1 = 4(x 1),即y= 4x3.x答案：y= 4x- 314

8、 .函数f(x) = x33乂2+6在x=时取得极小化解析：依题意得f (x) = 3x(x 2).当x2时，f (x)0;当0x2时，f仅)0),令1 7=1,解得xo=1,则y0=1,即平行于直线y x0x0=x 2且与曲线丫=乂一2ln x相切的切点坐标为(1,1).由点到直线的距离公式可得点 P到直线x+y + 2 = 0的距离的最小值d = HJ22| = 2/2答案：2 2WL工 .cf x2 f x116.已知函数 f(x)=ax cos x, x 4, 3 ,若？ xi C 4, 3 , ? x2 4, 3 , xiwx2, 0,则实数a的取值范围为一. .兀 兀. .兀兀解析

9、：已知条件等价于f(x)在4, 3上单调递减，等价于f (x) = a+sin x&0在,g上包成立，即a一 sin x在j, 3上包成立，a0).xx令 f (x) = 0,有 3x2 + 2x 1 = 0? x= 1(x0), f(x), f (x)随x的变化情况如下表:x-10，3131,+ oo3f (x)一0十f(x)极小值由上表易知，函数网在X= 1时取得极小值f3=6+2-ln3=5+ln 3,无极大化.11(2)由 f(x) = ax2+2x-ln x,有 f (x) = ax+ 2-(x0), 2x111 -、由题设f(x)在区间2, 3上是增函数，可知f (x) = ax+

10、 2-x0 2xx2r_x 2xg(x)max,x x 2222 x-1 人，一g (x) = 机+ / = 3 ，令 g (x) = 0,有 x=1, x x xg(x), g (x)随x的变化情况如下表：x121 12，11(1,3)3g (x)一0十g(x)0极小值9一 151又 g 2 = 0, g(3)= 9,故 g(x)max=g 2=0,故 a0,所以实数a的取值范围为0, +oo).2,已知函数 f(x) = 2aln x-x2.讨论函数f(x)的单调性；当a0时，求函数f(x)在区间(1, e2)上的零点个数. o ,2 a x2解析：(1)f(x) = 2aln x-x2,

11、 . f (x) =.x2 a x2- x0,右 a0 0,贝U f (x) =0,则 f (x)=2 ax22 x五 x+8当 0x0；当 x a时，f (x)0时，f(x)在(0,m)上单调递增，在(木，十)上单调递减.(2)方法一：由(1)得f(x)max=fMa) = a(ln a 1),当a(ln a1)0,即0ae时，函数f(x)在(1, e2)内有无零点；当a(ln a-1)=0,即a=e时，函数f(x)在(0, +00)内有唯一零点又1F=Je0,即 ae 时，由于 f(1) = 10, f(e2) = 2aln(e2) e4 = 4a 3 = (24 e2)(2/a+e2),

12、e4_右 2/a-e20,即 ea4时，f(e2)2加时,f(e2)0, 且 fe)=2alnVe e=a e0, f(1)=10,由函数的单调性可知f(x)在(1,五)内有唯一的零点，在(正，e2)内没有零点，从而f(x)在(1 , e2)内只有一个零点(注: 若写成(g, e2)上无零点不能给满分).4综上所述，当aC(0 , e)时,内有一个零点；当aC e ,函数f(x)在(1, e2)内有无零点；当aC e U , 十 时，函数f(x)在(1, e2)44时，函数f(x)在(1, e2)内有两个零点.方法二：令f(x)=0得,a=zx-，原问题转化为函数g(x) = G(1xe2)与