五年级牛吃草问题

1、牛吃草问题牛吃草问题是经典的奥数题型之一，首先，先介绍一下这类问题的背景一、定义伟大的科学家牛顿著的普通算术一书中有这样一道题：“ 12 头牛 4 周吃牧草格尔，同样的牧草，21 头牛 9 周吃 10 格尔。问24 格尔牧草多少牛吃18 周吃完。 ”（格尔牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。二、特点在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。来看看这例题例 .有这样的问题：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃 6 周，或供23 头牛吃9 周 .那么它可供21 头牛吃几周？解答这类问题，困难在

2、于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图）从上面的线段图可以看出23 头牛 9 周的总草量比27 头牛 6 周的总草量多，多出部分相当于 3 周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27 头牛 6 周吃草量相当于 27× 6 162头牛一周吃草量（或一头牛吃162 周） .23头牛 9 周吃草量相当于23× 9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207 周）.这

3、样一来可以认为每周新生长的草量相当于（ 207-162）÷（9-6） =15 头牛一周的吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15× 6=90 头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。所以牧场上原有草量为27× 6-15× 6=72 头牛一周的吃草量（或者为23× 9-15× 9=72） 。牧场上的草21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21 头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡

4、（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷ 6=12（周），也就是这个牧场上的草够21 头牛吃 12 周 .问题得解。三、例题讲解例 1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10 头牛吃 20 天，或者可供15头牛吃 10天。问：可供25头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是

5、不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。设 1 头牛一天吃的草为1 份。那么，10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 头牛 10 天吃150 份， 草也被吃完。前者的总草量是200 份， 后者的总草量是150 份， 前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10 天新长出的草。200 150 50（份）， 20 10 10（天），说明牧场10 天长草 50 份， 1 天长草 5 份。 也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l05）×20100（份）或（155）&#

6、215;10100（份）。现在已经知道原有草100 份，每天新长出草5 份。当有25 头牛时，其中的5 头专吃新长出来的草，剩下的20 头吃原有的草，吃完需100÷ 20 5（天）。所以，这片草地可供25 头牛吃 5 天。在例 1 的解法中要注意三点：（ 1） 每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。（ 2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。（ 3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。例 2. 12 头牛

7、 28 天可以吃完10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以吃完30 公亩牧场上全部牧草.多少头牛126 天可以吃完72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？分析：解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12 头牛 28 天吃完 10 公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供 33.6头牛吃一天（12× 28÷ 10 33.6） 。21 头牛 63 天吃完 30 公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63 天新生长的草可供 44.1 头牛吃一天

8、（63× 21÷ 30 44.l） 。一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即（44.l-33.6）÷（63-28） =0.3（头）。一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即33.6-0.3× 28=25.2（头）。72 公亩原有牧草可供14.4头牛吃 126天 .即72× 25.2÷ 126=14.4（头）。72 公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即72× 0.3=21.6（头）。所以 72 公亩牧场上的牧草共可以供36（ =14.4 21.6）头牛吃126天 .问题得解。解：一公亩一天新生长草量可供多少

9、头牛吃一天？（ 63× 2i÷ 30-12× 28÷ 10）÷（63-28） =0.3（头）。一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？12× 28÷ 10-0.3× 28=25.2（头）。72 公亩的牧草可供多少头牛吃126天？72× 25.2÷ 126+72× 0.3=36（头）。答： 72 公亩的牧草可供36 头牛吃 126天。例 3 两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20 分米，另一只每天爬行15 分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速

10、度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5 个昼夜到达井底，另一只恰好用了6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？分析：大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？蜗牛每夜下降：（ 20× 5-15× 6）÷（6-5） =10 分米所以井深：（ 20+10）×5=150分米 =15 米例 4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水， 3 小时淘完；如 5 人淘水8 小时淘完.如果要求2 小时淘完，要安排多少人淘水？分析：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量 .而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的

11、. 船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1 个单位” .则船内原有水量与3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1× 3× 10 30.船内原有水量与8 小时漏水量之和为1× 5× 8=40。每小时的漏水量等于8 小时与 3 小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3） =2（即每小时漏进水量为2 个单位，相当于每小时2 人的淘水量）。船内原有的水量等于10人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水量.

12、3小时漏进水量相当于3× 2=6 人 1 小时淘水量.所以船内原有水量为30-（ 2× 3） =24。如果这些水（24 个单位）要2 小时淘完，则需24÷ 2 12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2 人淘出，因此共需12+2 14（人）。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。例 5 一个水池，池底有泉水不断涌出，用10 部抽水机20 小时可以把水抽干，用15 部相同的抽水机10 小时可把水抽干。那么用25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？分析：

13、设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（ 20× 10-15× 10） ÷ （20-10）=5份，池内原有的水是：（ 10-5）×20=100份 .所以,用 25部抽水机需要:100÷ （25-5）=5 小时例 6. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续15 天可抽干.若要求6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？解：水库原有的水与20 天流入水可供多少台抽水机抽1 天？20× 5=100（台）水库原有的水与15 天流入的水可供多少台抽水机抽每天流入的水可供多少台抽水机

14、抽1 天？原有的水可供多少台抽水机抽1 天？若 6 天抽完，共需抽水机多少台？答：若6 天抽完，共需12 台抽水机。例8.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走15 级梯级，结果男孩用了钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？1 天？6× 15=90（台）。（ 100-90）÷（20-15） =2（台）。100-20× 2=60（台）。60÷ 6 2=12（台）。5 分钟到达楼上，女孩用了6 分分析：与例3 比较， “总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”， “草”变成了“梯级”， “牛”变成了“

15、速度”，也可以看成牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5 分钟走了20× 5100（级），女孩 6 分钟走了15× 6 90（级），女孩比男孩少走了 100 90 10（级），多用了6 5 1（分） ，说明电梯1 分钟走 10 级。由男孩5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（ 20 10）×5 150（级）。解：自动扶梯每分钟走（ 20× 5 15× 6）÷（6 5）10（级），自动扶梯共有（2010）×5150（级）。答：扶梯共

16、有150 级。例 9.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4 个检票口需30 分钟，同时开5 个检票口需20分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”， “检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设 1 个检票口1 分钟检票的人数为1 份。因为4 个检票口30 分钟通过（4× 30）份，5个检票口20 分钟通过（5× 20）份，说明在（30-20

17、）分钟内新来旅客（4× 30-5× 20）份，所以每分钟新来旅客（ 4× 30-5× 20）÷（30-20） =2（份）。假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（ 4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。同时打开7 个检票口时，让2 个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷（7-2） =12（分）例 10. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20 头牛吃 5 天

18、，或可供15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解：与例1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1 的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。设 1 头牛 1 天吃的草为1 份。 20头牛 5天吃 100份， 15 头牛 6天吃 90份，100-90=1（0 份） ，说明寒冷使牧场1 天减少青草10 份，也就是说，寒冷相当于10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃5 天” ，再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草（ 20 10）×5 150（份）。由150÷ 10 15 知，牧场原有草可

19、供15 头牛吃 10 天，寒冷占去10 头牛，所以，可供5 头牛吃 10 天。例 11 一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27 头牛吃 6 天，或供23 头牛吃 9 天，现有一群牛吃了4 天后卖掉2 头，余下的牛又吃了4 天将草吃完。这群牛原来有多少头？分析：设每头牛每天的吃草量为1 份。每天新生的草量为：（ 23× 9-27× 6）÷（20-10） =15份，原有的草量为（27-15）×6=72 份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8 天内吃草量72+15× 8+2× 4=200份。所以这群牛原来有200÷ 8=

20、25头例 12.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16 头牛吃 20 天，或者供80 只羊吃 12天 .如果一头牛一天的吃草量等于4 只羊一天的吃草量，那么10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？分析 由于 1 头牛每天的吃草量等于4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80 只羊每天吃草量与20 头牛每天吃草量相等。解： 60 只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？60÷ 4 15（头）草地原有草量与20 天新生长草量可供多少头牛吃一天？16× 20=320（头）80÷ 4）×12=240（头）。320

21、-240）÷（20-12） =10（头）。320-（ 20× 10）120（头）。120÷（60÷ 4+10-10）8（天）。80 只羊 12 天的吃草量供多少头牛吃一天？每天新生长的草够多少头牛吃一天？原有草量够多少头牛吃一天？原有草量可供10 头牛与 60 只羊吃几天？答：这块草场可供10 头牛和 60 只羊吃 8 天。例 13.有三块草地，面积分别为5， 6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11 头牛吃 10 天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？分析与解：例1 是在同一块草地上，现在

22、是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。5， 6， 8120。5 公顷草地可供11 头牛吃 10 天，120÷ 5 24，所以120 公顷草地可供11× 24264（头）牛吃10 天。因为 6 公顷草地可供12 头牛吃 14 天，120÷ 6 20， 所以 120 公顷草地可供12× 20 240（头）牛吃14天。120÷ 8 15，问题变为：120 公顷草地可供19× 15 285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供 264 头牛吃 10 天，或

23、供240 头牛吃 14 天，那么可供285头牛吃几天？”这与例 1 完全一样。设1 头牛 1 天吃的草为1 份。每天新长出的草有（240×14264×10）÷（1410）180（份）。草地原有草（264180）×10840（份） 。可供285头牛吃840÷（285 180）8（天）。所以，第三块草地可供19 头牛吃 8 天。练习1 .一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27 头牛吃 6 周或供 23 头牛吃 9 周。那么，可供21 头牛吃几周？2 .一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17 头牛吃 30 天，或供19头牛吃 24天。

24、现有一群牛，吃了6 天后卖掉4 头，余下的牛又吃了2 天将草吃完，这群牛原来有多少头？3 .经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80 亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？4 .有一水池，池底有泉水不断涌出。用10 部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10 时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5 .某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40 分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4 个检票口，那么25 分钟队伍恰好消

25、失。如果同时开放8 个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？6 .两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20 分米，另一只爬15 分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？7 .两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20 秒钟里，男孩可走27 级梯级，女孩可走 24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3 分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？答案与提示1 .解：设1 头牛 1 周吃的草为1 份。牧场每周新长草（ 23

26、5; 9-27× 6）÷（9-6） =15（份）。草地原有草（27-15）×6=72（份） ，可供 21 头牛吃72÷（21-15） =12（周）。2 .解：设1 头牛 1 天吃的草为1 份。牧场每天新长草（17× 30 19× 24）÷（30-24） =9（份）。草地原有草（17 9）×30=240（份）。这群牛 8 天应吃掉草240 9× 8 4× 2 320（份），所以这群牛有320÷ 8=40（头）。3 .解：设1 亿人生活1 年的资源为1 份。地球每年新生成资源（ 80

27、15; 300-100× 100）÷（300-100） =70（份）。当新生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不致减少。所以地球最多能养活 70 亿人。4 .解：设1 部抽水机1 时抽出的水为1 份。水池中每小时涌出泉水（10× 20 15× 10）÷（20-10）5（份）。水池中原有水（10-5）×20=100（份）。 25 部抽水机抽干需100÷（25-5）5（时）。5 .解：设1 个检票口1 分钟通过的旅客人数为1 份。每分钟新来旅客6 .解：每夜下滑（20×5-15×5）÷

28、（6-5）=10（分米），井深（2010）×5=150（分米） 15米。7 .解：自动扶梯每分钟走24×（180÷ 20） -27×（120÷ 20） ÷（3-2） =54（级）。自动扶梯共有27×（120÷ 20） -54× 2=54（级）。巩固练习1 .一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10 头牛吃 40 天，供 15 头牛吃 20天。可供25 头牛吃天。A. 10 B. 5 C. 20解： A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为1 份。每天新生的草量为：（10× 40-15&#

29、215; 20）÷（40-20） =5（份） 。那么愿草量为：10 × 40-40× 5=200（份） ，安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25 头牛吃：200÷（25-5） =10（天）。2 .一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊 5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14 只羊则要10 天吃光。那么想用4 天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 A. 22 B. 23 C. 24解： B 假设 1 只羊 1 天吃草的量为1 份。 每天新生草量是：（ 14× 10-20× 5） ÷ （ 10

30、-5） =8（份）原草量是：20× 5-8× 5 60（份）安排8 只羊专门吃每天新长出来的草，4 天时间吃光这块草地共需羊：60÷ 4+8 23（只）3画展9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点分。A. 10 B. 12 C. 15解： C 假设每个人口每分钟进入的观众量是1 份。每分钟来的观众人数为（3× 9-5× 5）÷（9-5） =0.5（份）到 9 时止，已来的观众人数为：3× 9-0.5

31、× 9 22.5（份）第一个观众来到时比9 时提前了：22.5÷ 0.5 45（分）所以第一个观众到达的时间是9 时 -45 分 =8 时 15 分。5. 快、中、慢三车同时从A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24 千米、 20 千米、 19 千米。快车追上自行车用了6 小时，中车追上自行车用了10 小时，慢车追上自行车用（）小时。解：自行车的速度是：（ 20× 10-24× 6）÷（10-6） =14（千米/小时）三车出发时自行车距A 地： （ 24-14）×6=60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60

32、÷（19-14） =12（小时）6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24 根抽水管抽水，6 小时可以把池中的水抽干，那么用16 根抽水管，（ ）小时可将可将水池中的水抽干。解： 18 设 1 根抽水管每小时抽水量为1 份。（ 1）进水管每小时卸货量是：（ 21× 8-24× 6）÷（8-6） =12（份）（ 2）水池中原有的水量为：21× 8-12× 8 72（份）（ 3） 16 根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12） =18（小时）7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9 辆汽车， 12 小时可以把它们运完，如果用8 辆汽车， 16 小时可以把它们运完。如果开始只用3 辆汽车， 10 小时后增加若干辆，再过4 小时也能运完，那么后来增加的汽车是（）辆。解：设每两汽车每小时运的货物为1 份。（ 1）进水管每小时的进水量为：（ 8× 16-9× 12）÷（16-12） =5（份）（ 2