三角函数经典讲义全集

1、三角函数专题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆 时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：(1) a终边与日终边相同(久的终边在日终边所在射线上)之o(=e+2kn(kw Z),注意：相等的 角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

2、如与角-1825的终边相同，且绝对值最小的角的度 数是,合 弧度。(答：-25 ; -n )36(2) a终边与日终边共线(久的终边在日终边所在直线上)u a=e+kn(kw Z).(3) 口终边与日终边关于x轴对称u 口=-8+2kn(kw Z).(4) 口终边与日终边关于y轴对称u 0t =兀-8+2kn(kw Z).(5) 口终边与日终边关于原点对称 a a=n+e+2kn(kw Z).(6) ot终边在x轴上的角可表示为：ot=kn,kwZ; a终边在y轴上的角可表示为：k 二a =kn十一，kw Z; a终边在坐标轴上的角可表小为： a = ,k w Z .如口的终边与一的终边关于直

3、226(答：2kn 十一，k w Z )3三四”确定.如若a是第二象限角，则当是2线 丫=乂对称，贝Ua=o 一一4、口与1的终边关系：由“两等分各象限 第 象限角.-J I I- 45.弧长公式：l =|a |R,扇形面积公式：S=-2lR=2-|a|R2, 1弧度(1rad)上57.3.如已知扇 形AOB勺周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(答：2cm2)6、任意角的三角函数的定义：设a是任意一个角，P(x, y)是口的终边上的任意一点(异于原 点)，它与原点的距离是 r =4x2 + y2 >0 ,那么 s i n =1 , c0o s , tana = ,(x

4、 # 0 ), rrxxr _rcota=(y*0), seca= (x#0 ), csca= (y#0)。二角函数值只与角的大小有关，而与终边 yxy上点P的位置无关。如(1)已知角«的终边经过点P(5, 12),则sin« +cos«的值为。2(2)设u是第三、四象限角，sin£=2m二3,则m的取值范围是4 -m(3) 若 |sin " | + cos" =0 , 试判断 cot(sina)，tan(coso()的符号 sin 二 | cos ： |(答：负)7.三角函数线的特征 是：正弦线MP”站在x轴上(起点在x轴上)”、余

5、弦线OM”躺在x轴上(起 点是原点)”、正切线AT ”站在点A(1,0)处(起点是A)” .三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若一土 <曰<0, WJ sin日,cos日,tan8的大小关系为8(答：tan6 <sine < cose )；(2)若支为锐角，则a,sin a, tana的大小关系为 (答：sina <a < tana );(3)函数y =/1十2cosx +lg(2sin x+J3)的定义域是2 二_ 、(答：(2依-,2kn +(kw Z)8.特殊角的三角函数值：30045060°0°90

6、°180°270°15°75001.二01i 1110-1010/0/2-432+V31/0/02+v132-v39.同角三角函数的基本关系式：(4)已知 tan" =一1tan： -1则 sin : -3cos.：i ' sin： -cos：;sin2二 +sin ：- cos2 +2153);(5)已知 sin200 ： = a,则tan160 ：等于a.1 -a2B、a1 -a2C、.1 - a2a(答:B);(6)已知 f (cosx) =cos3x ,贝U f (sin 30)的值为、一一 一 一 k. 一 .10.三角函数诱

7、导公式（kn+a）的本质是：奇变偶不变2（对 k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把： 一般步骤：（1）负角变正角，再写成看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其 2kn +a , 0<a <2k ; （2）转化为锐角三角函数。 如(1) cos "+ tan(4)sin 21 二的值为（答：4(2 )已知 sin(540 +a)=52sin(180 - ： ) cos(： -360 )2,贝 U cos(270) =,若a为第二象限角，则tan(180 3工)10011、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式如（1）下列各式中,值为

8、、sin15；cos15"tan 22.5-I "21 -tan2 22.5DX1的是22 二 .2 二B、 cos sin 一1212,：1 cos30（答：C）;(2)命题 P： tan( A + B)=0 ,命题 Q： tan A+tan B = 0 ,则 P 是 Q的A、充要条件 R充分不必要条件G必要不充分条件DX既不充分也不必要条件（答：C）;(3)已知 sin( 口 一 P )cos 口cos(u - P )sin 口 =3 ,那么 cos2P 的值为5（答:A；（4）/一前的值是（答：4）;（5）已知tan1100=a,求tan 500的值（用a表示）甲求得

9、的结果是 a3 ,乙求得的结果是1 .3a1za2,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是2a（答：甲、乙都对）12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 是：一角二名三结构。即首先观察 角与角之间的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称 之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有：（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如 ot =（a + P） 一 P = （口 一 P） + P , 2a = （a + P） + （口 P ） , 2a = （P +口）一（P

10、一口）， "P=2 与上 =2）-信一P）等），如(D已知 tan(久 + B) = 2 , tan( P -) =1,那么 tan(u +)的值是 5444(2)(3)<H ,且 COS(U2(答:)；221：2,sin(口)=一,求cos(£+B)的值923已知j P为锐角,(答：至0)；729sina =x,cos P = y , cos(u+P) = -3、则 y 与 x 的函数关系为5（2）三角函数名互化（切割化弦），如（1）求值 sin50'（1+6tan10）(2)已知 sinCtc0s0t =1,tan(ot _P) = _2 ,求 tan(

11、P 2口)的值 1 -cos2：3(3)公式变形使用 (tan c(± tan P = tan (口 ± P )(1 + tana tan P )。(1)已知A、B为锐角，且满足tanAtan B = tanA + tanB+1 ,y = -3 11x254 ,3十一 x( 一 < x < 1)5 5如贝U cos(A+ B)=（答:1）；.2(2)设 &ABC 中，tanA + tanB+>/3 = J3tanAtan B , sin Acos A =虫，则此三角形是 三角 4（4）三角函数次数的降升（降幕公式：cos% ="的2口 ,

12、 sin2a =上空空与开幕公式: 221+cos2£ =2cos2 a , 1cos2a =2sin 2 a ）。如（1）若口n,3n），化简1十1J1十cos2a为sin 2 20cos2 20（答：sin上）;2(2)函数 f (x) =5sin xcosx _ 5v/3cos2 x+573(x w R)的单调递增区间为,2（答:k二卜二 , 1212(ZZ)式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。如(1)sin ：s -tan ：tan : (cos：. 一sin 二)cot工二 csc二（答：sina ）；(2)求证：sin?Ct1 tan 2；(3)2 ：1-2si

13、n 1 - tan224212cos x - 2cos x化简：2二2 二2tan( x)sin (，x)44,»1(答：一cos2x)2(6)常值变换主要指 “ 1” 的变换(1 =sin2 x+cos2 x = sec2 x-tan2 x = tan x cotx= tan 工=sin 三=| 等)，如已知 tana =2,求 sin2a+sin a cosa3cos2c(答 42 正余弦“三兄妹一sinx±cosx、sinxcosx”的内存联系(1)若 sinx ±cosx=t,贝Usinxcosx =t2 -1，皿廿士丁），特别提醒：这里 tw -72,7

14、2；(2)若二 (0,二),sin .工 / cos ;=2 ,求tan«的值。47、丁;(3)_2已知sin22sin ' k（一 仪一），试用k表示sins-cos 的值 42（答：Vik ）013、辅助角公式中辅助角的确定：asinx +bcosx = Ja2+b2 sin（x十日）（其中8角所在的象限由a, b的符号确定，8角的值由tan8=b确定）在求最值、化简时起着重要作用。 如 a(1)若方程sin x -出cosx = c有实数解，则c的取值范围是(答：2,2);(2)当函数y =2cosx -3sinx取得最大值时，tanx的值是(3)如果f （x ） =

15、sin（x +中）+2cos（x +中）是奇函数，贝U tan中三(4)求值:264sin 20(答:32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y = sinx和余弦函数y = cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0, l,n, ,2n的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正22弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数y=sinx(xwR)、余弦函数y =cosx(x w R)的性质：(1)定义域：都是R。(2)值域：都是-1,1,对y=sinx,当x = 2 E k w Z时，y取最大值1;当3 二x =2 E +( k运Z时，y取取小值-1;对y = c

16、osx，当x = 2依(kw Z)时，y取取大值 1,当x =2kn+兀(kw Z )时，y取最小值一1。如一 一 .31(1)右函数y =a bsin(3x+)的最大值为一，取小值为，贝U a =, b = _622-1(答：a =_ ,b =1 或 b = 1);2(2)函数 f (x) =sin x + cosx (x-,)的值域是2 2(答：1,2)；(3)若2a +P = n ,则y = cosP -6 sin a的最大值和最小值分别是 、(答:7; 5);(4)函数 f (x) =2cos xsin(x +) - v3sin2x +sin xcosx 的最小值是,此时 x =(答：

17、2; M + 二(kw Z);12(5)己知sina cos P =1,求t =sin 口 cos。的变化范围2,1(答：0,-)；2(6)若sin2a+2sin2 P =2cosa ,求 y = sin2a +sin2 P 的最大、最小值(答：ymax=1, ymin= 2/2)。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？(3)周期性：y = sin x、y = cosx的最小正周期都是2 n ;f (x) = Asin® x +中)和f (x) = Acos(x十中)的最小正周期都是T = o如|"|x(1)若 f (x) =sin ,则

18、f(1)+ f(2) +f (3) +111+ f (2003)=3(答:0)；(2)函数 f(x)=cos4x 2sin xcosxsin4 x 的最小正周期为 (答：)；(3)设函数 f (x) =2sin(x +'),若对任意 xe R都有 f (x1) E f (x) W f (x2)成立，则 |x1 -x2 | 的 25最小值为(答:2)(4)奇偶性与对称性：正弦函数y =sin x(xw R)是奇函数，对称中心是(依,0)(kWZ),对称k-：轴是直线x=kn+g（kwZ ）;余弦函数y = cosx（xw R）是偶函数，对称中心是对称轴是直线x = kn（kwZ）（正（余

19、）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x轴的直线, 对称中心为图象与x轴的交点）。如(1)(2)(3)(4)函数y =sin四2x 1的奇偶性是、2（答：偶函数）；已知函数 f（ x） =ax+bsin3 x+1（ a,b 为常数），且 f（5）=7,贝1jf（5）=（答:5）;函数y =2cosx（sinx +cosx）的图象的对称中心和对称轴分别是 > （答：碍-"（旧）、已知f （x） =sin（ x+B ）+73cos（ x + 8 ）为偶函数，求e的值。k 二x =+2n _ 、-(k-Z);8（答：8=kn+5（kWZ）6（5）单调性：y =sin x在尿冗

20、-三,2巾+-k= Z ）上单调递增，在12M + ,2k +k= Z ） _22 ,<-:.22单调递减；y =cosx在12k%2kn +冗（k w Z ）上单调递减，在l2kn+兀,2k冗+2冗J（k w Z ）上单调递增。 特别提醒，别忘了 k w Z !16、形如y = Asingx +平）的函数：1 .23题图（1）几个物理量：A一振幅；f =一频率（周期的倒数）；cox 十中一相位；中一初相； ，.二一. ',. .二（2）函数y =Asingx+中）表达式的确定：A由最值确定；。由周期确定；冗中由图象上的特殊点确定，如f （x） = Asin（0x +中）（A a

21、 Op A0 , |中|<；）的图象.一一 .一.',1 ,H如图所小，则 f（x）= （答：f（x）=2sin（ x+）;23函数y = Asin（ox +平）图象的画法：“五点法”设X =8x +中,令X =0,三产，邺,2冗22求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； 图象变换法：这是作函数简图常用方（4）函数y = Asin（0x +中）+k的图象与y=sinx图象间的关系：函数y = sin x的图象纵坐标不变，横坐标向左（中>0）或向右（< <0）平移|中|个单位得y =sin（x +中）的图象；函数y = sin（x+中）1图象的纵坐标

22、不变，横坐标变为原来的一，得到函数y =sin（cox +中）的图象；函数y = singx+中）图象的横坐标不变，纵坐标 变为原来 的A倍，得 到函数y= Asin（0 x+中）的图象；函数y = Asin（« x+中 图象的横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0）,得到y = Asin（s x+）+ k ，皿，一、一 中的图象。要特别注息，右由y =singx ）得到y =sin（cox +平）的图象，则向左或向右平移应平移|一 | 个单位，如（1）函数y =2sin（2x -巴）-1的图象经过怎样的变换才能得到 y = sinx的图象？4（答：y = 2si

23、n（2x乙）-1向上平移1个单位得y=2sin（2x二）的图象，再向左平移 三个单位 448得y =2sin 2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y = 2sin x的图象，最后将纵坐标缩小到原来的-2即得y =sin x的图象）；（2）要得到函数y= cos（二三）的图象，只需把函数y = sin的图象向 平移 个单位2 42（答:左;三）；2（3）将函数y=2sin（2x空）+1图像，按向量:平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的 向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 a = （-,-1）;6（4）若函数f （x ）=cosx+sinx

24、|（xw b,2n】）的图象与直线y = k有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是（答：1”）（5）研究函数y = Asin（cox十中）性质的方法：类比于研究y = sin x的性质，只需将 y = Asin（切x +中）中的Ex +中看成y =sin x中的x ,但在 求y = Asin（0x +平）的单调区间时，要特别 注意A和缶的符号，通过诱导公式先将 伊化正。如（1）函数y=sin（二x+三）的递减区间是35二_、（答：。一冗水冗+（kwZ）;1212一x（2） y =log1 cos（ 一十 一）的递减区间是23 43 3 二、（答：6。一冗，6依 +（ k= Z ）；4 4（

25、3）设函数f （x） = Asin（cox +中）（A /0声A0,-三 邛 三）的图象关于直线x=空1对称，它的周期是223I r兀，则1 .A、f（x）的图象过点I。,？）B、f（x）在区|可上是减函数12 3C、f （x）的图象的一个对称中心是（包,0）12D f（x）的最大值是A（答:C）;图象关于原点成中心对称；图象关于直线x=J成轴对称；12图象可由函数y =2sin 2x的图像向左平移土个单位得到3;图像向左平移 三个单位，即得到函数y = 2cos2x的图像。12其中正确结论是(答：)；(5)已知函数f(x) =2sin(ox+<P)图象与直线y=1的交点中，距离最近两点

26、间的距离为那么此函数的周期是 3(答：n )17、正切函数y=tanx的图象和性质：(1)定义域：x|x=巴+k*kwZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域2了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3)周期性：是周期函数且周期是冗，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期 兀。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其 周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变， 其它不定。如y =sin2 x y =|sinx的周期都是n，但y = |sinx11+ |cosx 的周期为一

27、,而 y =|2sin(3 x-)+ |, y =|2sin(3 x-)+2 |, y =| tan x |的周期不变；1262 6(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是偿,o(kwz),特别提醒：正(余)切型函数2的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是 与正弦、余弦函数的不同之处。(5)单调性：正切函数在开区间 Cl+knA + k l(kw Z )内都是增函数。但 要注意在整个定 122) f义域上不具有单调性。如下图：18.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为江，这是三角形中三角函数问题的特殊性， 解题可不能忘记！ 任意

28、两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形u三内角都是 锐角.三三内角.的余弦值为正值三任预角利都是钝角甘任意西边的乎方和大于第三边的平方(2)正弦定理：*K =±=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些 sin A sin B sinCa . b .变式：(i)a :b ：c = sinA :sinB :sinC ; (ii )sin a =,sin B= ,sin C2R 2Rc=；(iii )a =2Rsin A b =2Rsin B,b =2RsinC ;已知二角形两边一对角，求解二角形时，右运 2R用正弦定理，则务必注意可能有两解.

29、222(3)余弦定理：a2 =b2 +c2 -2bccosA,cosA=b Ma等,常选用余弦定理鉴定三角形的形 2bc状.(4)面积公式：S = 2aha = 2absinC =1(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径).如&ABC中, 若sin2 Acos2 B -cos2 Asin2 B = sin2 C ,判断AABC的形状(答:直角三角形)。特别提醒：(1)求解三角形中的问题时，一定要注意A + B+C =n这个特殊性：A B CA+B =冗-C, si rA(+B弓 Ci n , si n = c02)求解二角形中含有边角混合关系的问题时，22常运用正弦定理、余弦定理实现

30、边角互化。如（D 有一个解(2)(3)MBC中，A、B的对边分别是a、b,且A60 c,a £/b4 =,那么满足条件的AABC A、B、有两个解C、无解 D 、不能确定（答：C）;在AABC中，A> B是sinAsinB成立的条件（答：充要）；在 AABC 中，(1+tan A)( 1+tanB)=2,贝Ulog2sinC =,1(答:-)；2(4)在 AABC 中，a,b,c 分别是角 A B、C所对的边，若(a+b+c)(sin A + sin B sinC ) = 3asin B , 则 CC =(5)在AABC中,若其面积S2.22a b -c产一，贝1J /C 二4.3(6)在AABC中,（答:30）;A=60，b=1,这个三角形的面积为 由,则AABC外接圆的直径是 (答：2 39在 ABC中,1a、b、c th角 A、B、C 的对边，a = J3,cos A =，则 32 B C,22cos = , b + c的最大值为（答:。沙（8）在4ABC中AB=1, BC=2则角C的取值范围是.（答：0<C <-）;6（9）设O是锐角三角形 ABC的外心，若/C=75,且AAOBiBOCJCOA的面积满足关系式S2ob+Saoc=Szcoa,求/A （19.反三角函数：（1）反三角