2020中考数学专题2——几何模型之K型相似-含答案

1、图1图2图32020中考专题2几何模型之“K”型相似班级姓名【模型解析】条件：B,C,E三点共线条B=ZACD=ZE=90°结论：ABOCED【例题分析】例1.(1)问题：如图1,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，/DPC=/A=/B=90°,求证:AD.BC=AP.BP;(2)探究：如图2,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当/DPC=/A=/B=。时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3,在4ABD中，AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足/CPD=/A,

2、设点P的运动时间为t(秒)，当DC=4BC时，求t的值.例2.如图，在等边/ABC中,将ABC沿着MN折叠。使点A落在边BC上的点D处。(1)若AB=4,当4BMD为直角三角形时，求AM的长。(2)当BD:CD=1:3时，求AM:AN的值。例3.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(4,8),将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为1.如图1,已知ABC和ADE均为等边三角形,图1图2例3图例4图例5图例4.如图，矩形ABCD中，AB=2AD,点A(0,1)，点C、D在反比仞函数y_k(k0)的图象上,XAB与

3、x轴的正半轴相交于点E,若E为AB的中点，则k的值为.例5.如图，直线a/b/c,a与b之间的距离为3,b与c之间的距离为6,a、b、c分别经过等边三角形ABC的三个顶点，则三角形的边长为.【巩固训练】D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=2.如图2坐标系中,O(0,0),A(6,633),B(12,0),WAOAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=24,则CE:DE的值是53 .如图3,直线li/12/13,等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分另J在li,I3上，ZACB=90°,AC交12于点D,已知11与12的距离为1,12与13的距

4、离为3,则ABC的面积为.4 .如图4,边长为5勺正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比仞函数y=fx>0)的图象上,4x已知点B的坐标是f-,，则k的值为。445 .如图5,在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16,4点D与点A关于y轴对称，tan/ACB,/CDE=/CAO,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合)，且/CEF=/ACB.(1)求AC的长和点D的坐标；(2)证明：AEFADCE;(3)当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.图56 .如图6,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点，A

5、B/x轴，OA=5,AB=2.点E在线段OC上，彳MEN=/AOC,使/MEN的一边始终经过点A,另一边交线段BC于点F,连接AF.(1)求抛物线的解析式；(2)当点F是BC的中点时，求点E的坐标；(3)当4AEF是等腰三角形时，求点E的坐标.7 .如图7,已知抛物线y=mx23mx4m与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,当/ACB=90°时，(1)求抛物线解析式；(2)当抛物线开口向下时，在第一象限的抛物线上有一点P,横坐标为a,当/BPC=90°时，求a的值.图78 .如图8,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交

6、于点C,直线BC的解析式为y=kx+3.(1)求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得/CBP=90°,求P点坐标；(3)若点Q是第一象限的抛物线上一动点，当/CQB=90°时，求Q点的坐标.9 .小明是一个喜欢探究钻研的学生，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题:(1)小明测得OA=OB=4J2(如图1),求a的值；(2)对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF，x轴于点F,测得OF=2,

7、写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；(3)对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.2020中考专题2几何模型之"K'型相似参考答案例1.解：(1)如图1, .ZDPC=ZA=ZB=90°,.ADP+/APD=90°,/BPC+/APD=90°, ./ADP=/BPC,ADPABPC,，巫=阳，.AD?BC=AP?BP;BPBC图1图2(2)结论AD?BC=AP?BP仍然成立.理由：如图2, /BPD=/DPC+/BPC,/BPD=ZA+/ADP,./DPC+/BP

8、C=/A+ZADP. ./DPC=/A=/B=Q/BPC=/ADP, .ADPABPC,.AD?BC=AP?BP;BPBC(3)如图3, DC=4BC,又.AD=BD=5,，DC=4,BC=1,由(1)、(2)的经验可知AD?BC=AP?BP, 1-5X1=t(6-t),解得：t1=1,t2=5,t的值为1秒或5秒.例2.解：(1)如图1,设BM=k,AM=DM-j3k.可得方程k+,3k=4,得k=2+?3,得AM=2(33)._同理，如图2,可求得AM=8；312.(2)如图3,设BD=m,CD=3m,可得BDM与CDN的周长比即相似比为5:7.可得AM:AN=DM:DN=5:7.例3.解

9、：如图，过D作DF，x轴于F,点B的坐标为(4,8),，AO=4,AB=8,根据折叠可知：CD=OA,而/D=/AOE=90°,/DEC=/AEO,.,.CDEAAOE,OE=DE,OA=CD=4,设OE=x,那么CE=8x,DE=x,在RtDCE中，CE2=DE2+CD2,(8-x)2=x2+42,x=3,又DFAF,DF/EO,/.AAEOAADF,而AD=AB=8,AE=CE=8-3=5,二.D的坐标为（-）.故答案是：5）.5例4.解：如图，作DFy轴于F,过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G,CG交x轴于K,作BH±x轴于H, .四边形ABCD是矩形

10、，/BAD=90°, ./DAF+ZOAE=90°,.ZAEO+ZOAE=90°,.DAF=/AEO, AB=2AD,E为AB的中点，AD=AE,在ADF和EAO中，rZDAF=ZAE01ZAFD=ZA0E=90oadfaeao(aas),AD=AE.DF=OA=1,AF=OE,D(1,k),AF=k1,同理；AOEABHE,ADFACBG,BH=BG=DF=OA=1,EH=CG=OE=AF=k-1,.OK=2(k1)+1=2k-1,CK=k-2.C(2k-1,k-2),(2k1)(k2)=1?k,解-k-1>0,k="无故答案是:2例5.简解：构

11、造/BDC=/AEC=60°,可得BCDCAE.可求得AC=221.【巩固训练】1 .解：如图，.ABC和4ADE均为等边三角形， ./B=ZBAC=60°, .ZBAD+ZADB=120°,/ADB+/FDC=120° ./BAD=ZFDC又./B=/C=60°,.ABDCDF,.AB:BD=CD:CF,即9:3=(9-3):CF,，CF=2.2.解：过A作AFXOB于F,.A(6,6点,B(12,0),.AF=6、几，OF=6,OB=12,BF=6,OF=BF,.1.AO=AB, .tan/AOB=需=49/AOB=60°，.二A

12、OB是等边三角形， ./AOB=/ABO=60°, 将OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处, .ZCED=ZOAB=60°,/OCE=/DEB,/.ACEOADBE,一一-上工设CE=a,贝UCA=a,CO=12-a,ED=b,贝UAD=b,DB=12-b,24匚由泽24b=60a-5ab,12-bb.36a=60b5ab,-得：36a-24b=60b-60a,CE：DE=京答案为:3.简解：构造一对直角三角形全等，可得BC=AC=5.4.解：如图，作DEXOA于E,BFXOA于F,O四边形ABCD是正方形，AD=AB,/DAB=90°,.ZE

13、AD+ZFAB=90°,/FAB+/ABF=90°,./EAD=ZABF,在AADE和BAF中，4ZEAD=ZA£K,ADEABAF,DA=ABAF=ED,AE=BF,B点坐标OF=*AF=DE=号产-号产1.OE=4,点D坐标(1,4),k=4.|435.解：(1)由题意tan/ACB=W，cos/ACB=,35四边形ABCO为矩形，AB=16,.BC=12,AC=20,tanZACBIcosZAjCB.A(-12,0),点D与点A关于y轴对称，D(12,0);(2) .点D与点A关于y轴对称, ./CDE=ZCAO, /CEF=/ACB,/ACB=/CAO,

14、./CDE=ZCEF,又./AEC=/AEF+/CEF=ZCDE+ZDCE, ./AEF=/DCE,AEFADCE;(3)当EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF时，aefadce,AEFADCE,AE=CD=20,OE=AE-OA=20-12=8,E(8,0);当EF=FC时，过点F作FM±CE于M,aefadce,.CE=2ME=2EF?cosZCEF=2EF?cosZACB=AE=503.DE=AE-OA=典-12='33.E14，0);当CE=CF时，则有/CFE=/CEF,./CEF=ZACB=ZCAO,，/CFE=CAO,即此时点E与点D重合，这与已知

15、条件矛盾,综上所述，E(8,0)或(丝，0).6.解：(1)如图， .该抛物线经过原点和点C(8,0),，设该抛物线的解析式为：y=ax(x-8)(aw。). 点C(8,0),该抛物线的对称轴是x=4.,.AB=2,AB/x轴，.设A(3,t),B(5,t),又OA=5,t=4,即A(3,4),B(5,4), 把点A的坐标代入解析式，得一一一、一4I4=3ax(38),斛得a=,15Iq.该抛物线的斛析式是：y=-"7=x(x-8)(或y=(2).AB/x轴,，根据抛物线的对称性知OA=CB=5,/AOC=/BCO,点F是BC的中点，CF=芋.ZMEN=ZAOC,即/AEF=/AOC

16、,ZAEC=ZAEF+ZCEF=ZAOC+ZOAE,./CEF=/OAE,AOEAECF,.=01,即工=詈，CECF8-0EA2解得，oe=jlWOL,或of=即vn则e（、士vh0）；222（3）当AE=EF时，可证AOEA236易证ABFFKE,求得OE=21,则E(上j0);66综上所述，点E的坐标是：（3,0）、（2之，0）或（2,0）时，AEF是等腰三角形.6设Q（a,b）则类似第6题，可得QC(0,3)，抛物线为y=(x+1)(x3)=x2+2x+3.直线BC为y=x+3，取BC的中点M(吃)MP=1/2BC=3/22,得P(33±32)222221+55+51、2,2

17、J9.解：（1）设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点,.OA=OB=4V2,/AOB=90°,AC=OC=BC=4,ECF.贝UOA=CE=5,OE=3,贝UE(3,当AF=EF时，过点F作FK/AO.当AE=AF时，在AO上取点Q,使得EQ=a(4-a)=一'-4)(a+1)(-a2+3a),得a=3(-1,0,3舍去)222B(4,-4),OE.易证ABFAEQA,贝UEQ=AB=2,.OE=2.则E(2,0);6.解：(1)A(1,0),B(4,0),C(0,4m).利用AOBO1=CO2列方程可得m=2(2)构造基本图形，设P(a,b)，其中12b=-2,NP=4-a.,a-3a-4),CM=b-2,BN=b,PN=4-a可得方程a(4-a)=b(b-2)即,(4,-4)代入抛物线y=ax2(a<0)得，a=-(2)丁点过点A作AE±x轴于点巳B的横坐标为2,B(2,-1),(-m,-m2)(m>0),则Ob2=22+12=5,OA2=m2+-i-m4,AB2=(2+m)2+-1+Jj-m2)2,/AOB=90°,AB2=OA2+OB2,(2+m)2+(-1+im2)2=m2+-m4+5,416解得