四章向量组的线相关ppt课件

1、第四章向量组的线性相关性1 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义：n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量备注：本书普通只讨论实向量特别阐明的除外 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量那么用 aT, bT, aT, bT 表示定义：假设干个同维数的列向量行向量所组成的集合称定义：假设干个同维数的列向量行

2、向量所组成的集合称为为向量组向量组当当R(A) n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量的全体解组成的向量组含有无穷多个向量组含有无穷多个向量11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234, 123TTT 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组定义：给定向量组定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A

3、的一个线性组合的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数称为这个线性组合的系数定义：给定向量组定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，假设存在一，假设存在一组组实数实数 l1, l2, , lm ，使得，使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam那么向量那么向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称向量的线性组合，这时称向量 b 能由向量能由向量组组 A 的线性表示的线性表示例：设例：设 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee 237b 那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1,

4、e2, e3的的线性线性组组合合普通地，对于恣意的普通地，对于恣意的 n 维向量维向量b ，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 1000010000100001nE 回想：线性方程组的表达式n普通方式n 向量方程的方式n增广矩阵的方式n向量组线性组合的方式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 方程组有解？方程组有解？向

5、量向量 能否能用能否能用 线性表示？线性表示？341,112 51 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax 1122mmbaaa 11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaa ( )( , )R AR A b 向量向量b b 能由能由向量组向量组 A A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：定义：设有向量组定义：设有向量组 A：a

6、1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 假设假设向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，那么称向线性表示，那么称向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示假设向量组假设向量组 A 与向量组与向量组 B 能相互线性表示，那么称这两个向能相互线性表示，那么称这两个向量量组等价组等价 设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 假设向假设向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak

7、 akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 假设向假设向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即对于对于 b1 ，存在一组实数，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；对于对于 b2 ，存在一组实数，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k1

8、2a1 + k22 a2 + + km2 am ；对于对于 bl ，存在一组实数，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am假设假设 Cmn = Aml Bln ，即，即那么那么 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 结论：矩阵结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmn

9、mmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 假设假设 Cmn = Aml Bln ，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 那么那么1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 结论：矩阵结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵口诀：左行右列定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一

10、次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：假设 C = AB ，那么矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵A 在左边矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵B 在右边cABA 经过有限次初等列变换变成经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使得，使得 AP = B矩阵矩阵 B 的列向量

11、组与矩阵的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价的列向量组等价rAB矩阵矩阵 B 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价的行向量组等价 同理可得同理可得 口诀：左行右列口诀：左行右列.把把 P 看成看成是是线性表示线性表示的的系数矩阵系数矩阵向量组向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组能由向量组 A：a1, a2, , am 线性线性表示表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK = B 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) P.84 定理定理2R(B) R(A) P.85 定理定理3推论：向量组推论：向量组 A：a1, a2, , am

12、及及 B：b1, b2, , bl 等价的等价的充分充分必要条件是必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)证明：向量组证明：向量组 A 和和 B 等价等价 向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示从而有从而有R(A) = R(B) = R(A, B) 由于由于 R(B) R(A, B) R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)例：设例：设证明向量证明向量 b 能由向量组能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示线性表示，并求出表示式式123111

13、11210, , , 21432301aaab 解：向量解：向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )2143000023010000rA b 由于由于R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表线性表示示1111103212100121( , )2143000023010000rA b 行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 1323

14、3221xxxx 3232212110cxccc n 阶单位矩阵的列向量叫做阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量设有设有nm 矩阵矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：，试证：n 维单位坐标向维单位坐标向量组能由矩阵量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = n 分析：分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n 留意到：留意到：R(A, E) = n 一定成立一定成立小结( )( , )R AR A b

15、 向量向量 b b 能由能由向量组向量组 A A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b Ax = b 有解有解( )( ,)R AR A B 向量组向量组 B B 能能由向量组由向量组 A A线性表示线性表示矩阵方程组矩阵方程组AX = B AX = B 有解有解( )( )R BR A ( )( )( ,)R AR BR A B 向量组向量组 A A 与与向量组向量组 B B等价等价知识构造图知识构造图n维向量维向量向量组向量组向量组与矩阵的对应向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的等价向量组的等价断定定理及必要条件断定定理及必

16、要条件断定定理断定定理2 向量组的线性相关性回想：向量组的线性组合定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，假设存在一组实数 l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam那么称向量 b 能由向量组 A 的线性表示引言问题1：给定向量组 A，零向量能否可以由向量组 A 线性表 示？问题2：假设零向量可以由向量组 A 线性表示

17、，线性组合的 系数能否不全为零？( )( , )R AR A b 向量向量b b 能由能由向量组向量组 A A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：问题问题1：给定向量组：给定向量组 A，零向量能否可以由向量组，零向量能否可以由向量组 A 线性表示？线性表示？问题问题1：齐次线性方程组：齐次线性方程组 Ax = 0 能否存在解？能否存在解？回答：齐次线性方程组回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解一定存在解现实上，可令现实上，可令k1 = k2 = = km =0 ，那么，那么k1a1 + k2a2 + + kma

18、m =0零向量零向量问题问题2：假设零向量可以由向量组：假设零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数线性表示，线性组合的系数 能否不全为零？能否不全为零？问题问题2：齐次线性方程组：齐次线性方程组 Ax = 0 能否存在非零解？能否存在非零解？回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零不一定全等于零例：设例：设 123100,010001Ee e e11 1223312323100001000010kk ek ek ekkkkk 假设假设那么那么 k1 = k2 = k3 =0 向量组的线性相关性定义：给

19、定向量组 A：a1, a2, , am ，假设存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0零向量那么称向量组 A 是线性相关的，否那么称它是线性无关的向量组向量组A：a1, a2, , am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0有非零解有非零解R(A) m备注：备注：给定向量组给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一一向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 m 2 的情形的情形.假设向量组只包含一个向量：当假设向量组只

20、包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关；是零向量时，线性相关；当当 a 不是零向量时，线性无关不是零向量时，线性无关向量组向量组 A：a1, a2, , am (m 2) 线性相关，也就是向量组线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其他中，至少有一个向量能由其他 m1 个向量线性表示个向量线性表示特别地，特别地，a1, a2 线性相关当且仅当线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几何意的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线义是两向量共线a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面向量组线性相关性的断定重点、难点向量组线性

21、相关性的断定重点、难点向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在不全为零的实数存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0零向量零向量 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其他中至少有一个向量能由其他 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的断定重点、难点向量组线性无关性的断定重点、难点向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无

22、关假设假设 k1a1 + k2a2 + + kmam =0零向量，那么必零向量，那么必有有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只需零解只需零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其他中任何一个向量都不能由其他 m1 个向量线个向量线性表示性表示向量组线性相关性的断定重点、难点向量组线性相关性的断定重点、难点向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在不全为零的实数存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1

23、+ k2a2 + + kmam =0零向量零向量 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其他中至少有一个向量能由其他 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的断定重点、难点向量组线性无关性的断定重点、难点向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关假设假设 k1a1 + k2a2 + + kmam =0零向量，那么必零向量，那么必有有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax

24、 = 0 只需零解只需零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其他中任何一个向量都不能由其他 m1 个向量线个向量线性表示性表示例：试讨论例：试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性例：知例：知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；线性相关；同时，同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a

25、1, a2 线性无关线性无关1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 022157000r例：知向量组例：知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解题思绪：解题思绪：转化为齐次线性方程组的问题；转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题例：知向量组例：知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向

26、量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解法解法1：转化为齐次线性方程组的问题：转化为齐次线性方程组的问题知知 ，记作，记作 B = AK 设设 Bx = 0 ，那么，那么(AK)x = A(Kx) = 0 由于向量组由于向量组 a1, a2, a3 线性无关，所以线性无关，所以Kx = 0 又又 |K| = 2 0，那么，那么Kx = 0 只需零解只需零解 x = 0 ，从而向量组从而向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关123123101(,)(,) 110011b b ba a a 例：知向量组例：知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2，

27、 b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解法解法2：转化为矩阵的秩的问题：转化为矩阵的秩的问题知知 ，记作，记作 B = AK 由于由于|K| = 2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A) = R(B)，又向量组又向量组 a1, a2, a3 线性无关，线性无关， R(A) = 3，从而从而R(B) = 3，向量组，向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关123123101(,)(,) 110011b b ba a a 定理定理P.89定理定理5 假设向量组假设向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关，线性

28、相关， 那么向量组那么向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关也线性相关其逆否命题也成立，即假设向量组其逆否命题也成立，即假设向量组 B 线性无关，那么向线性无关，那么向量组量组 A 也线性无关也线性无关m 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时，时，一定线性相关一定线性相关特别地，特别地， n + 1个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关设向量组设向量组 A ：a1, a2, , am 线性无关，线性无关， 而向量组而向量组 B ：a1, a2, , am, b 线性相关，那么向量线性相关，那么向量

29、b 必能由向量组必能由向量组 A 线性线性表示，且表示式是独一的表示，且表示式是独一的3 向量组的秩矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A的列向量组线性表示的列向量组线性表示课本课本P. 88定理定理4：向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关的充要条件是矩阵线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m ；向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关的充

30、要条件是矩阵线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列行向量组的秩矩阵的秩等于列行向量组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示向量组与本人的向量组与本人的最大无关组等价最大无关组等价 n元线性方程组 Ax = b其中 A 是 nm 矩阵矩阵 (A, b)向量组 A: a1, a2, ,an 及向量 b是否存

31、在解？R(A) = R(A, b) 成立？向量 b 能否由向量组 A线性表示？无解R(A) R(A, b) NO有解R(A) = R(A, b) YESx 的分量是线性组合的系数唯一解R(A) = R(A, b) = 未知数个数表达式唯一无穷解R(A) = R(A, b) 未知数个数表达式不唯一回想：矩阵的秩定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改动它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式规定：零矩阵的秩等于零定义：设矩阵定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶

32、子式 D，且一切，且一切r +1 阶子式假设存在的话全等于零，那么阶子式假设存在的话全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵称为矩阵 A 的秩，记作的秩，记作 R(A)结论：结论： 矩阵的秩矩阵的秩= 矩阵中最高阶非零子式的阶数矩阵中最高阶非零子式的阶数= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念定义：设有向量组 A ，假设在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中恣意 r + 1个向量假设 A 中有r + 1个

33、向量的话都线性相关；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA 例：求矩阵例：求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵解：第一步先用初等行变换把矩阵化成

34、行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B 01240211111111011(,)462001367000rAa a aB R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式21111180462 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式结论：矩阵的最高阶非零子式普通不是独一的，但矩阵的秩结论：矩阵的最高阶非零子式普通不是独一的，但

35、矩阵的秩是独一的是独一的现实上，现实上，根据根据 R(A0) = 3 可知：可知： A0的的 3 个列向量就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线的列向量组的一个线性无关的部分组性无关的部分组在矩阵在矩阵 A 任取任取 4 个列向量，根据个列向量，根据 R(A) = 3 可知：可知：A中一切中一切4 阶子式都等阶子式都等于零，从而这于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这，即这 4 个列向个列向量线性相关量线性相关A0的的 3 个列向量就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组的列向量组的一个最大线性无关组矩阵矩阵 A 的列

36、向量组的秩等于的列向量组的秩等于 3同理可证，矩阵同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于 301240211111111011(,)462001367000rAa a aB 矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列行向量组的秩矩阵的秩等于列行向量组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示普通地，普通地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的

37、秩P.90 定理定理6普通地，普通地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩P.90 定理定理6今后，向量组今后，向量组 a1, a2, , am 的秩也记作的秩也记作 R(a1, a2, , am ) 假设假设Dr 是矩阵是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，那么的一个最高阶非零子式，那么Dr 所在的所在的 r 列列是是 A 的列向量组的一个最大无关组，的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行向量组的一个最大无关组的行向量组的一个最大无关组向量组的最大无关组普通是不独一的向量组的最大无关组普通

38、是不独一的例：知例：知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2 线性无关，线性无关，同时，同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，线性相关，从而从而 a1, a2 是向量组是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组的一个最大无关组现实上，现实上， a1, a3 和和 a2, a3 也是最大无关组也是最大无关组1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 02215700

39、0r最大无关组的等价定义结论：向量组 A 和它本人的最大无关组 A0 是等价的定义：设有向量组 A ，假设在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中恣意 r + 1个向量假设 A 中有 r + 1个向量的话都线性相关；向量组 A 中恣意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列行向量组的秩矩阵的秩等于列行向量

40、组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示向量组与本人的向量组与本人的最大无关组等价最大无关组等价最大无关组的意义结论：向量组 A 和它本人的最大无关组 A0 是等价的用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立刻可推行到无限向量组的情形中去例：例： 全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn，求，求 Rn 的一个最大的一个最大无关组及无关组及 Rn 的秩的秩解：解： n 阶单位矩阵阶单位矩

41、阵 的列向的列向量组是量组是 Rn 的一个最大无关组，的一个最大无关组，Rn 的秩等于的秩等于n 思索：上三角形矩阵思索：上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的的一个最大无关组吗？一个最大无关组吗？ 12100010,001nEe ee111011001A 例：设齐次线性方程组例：设齐次线性方程组 的通解是的通解是试求全体解向量构成的向量组试求全体解向量构成的向量组 S 的秩的秩1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx 12123434231001xxccxx 例：求矩阵例：求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式21112

42、112144622436979A 例：设矩阵例：设矩阵求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯

43、形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式21111180462 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式A0的的 3 个列向量就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组01240211111111011(,)462001367000rAa a aB 12345

44、2111211214(,)4622436979Aa a a a a 思索：如何把思索：如何把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的线性组合？的线性组合？思绪思绪1：利用：利用P.83 定理定理1 的结论的结论思绪思绪2：利用矩阵：利用矩阵 A 的行最简形矩阵的行最简形矩阵向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解 令令 A0 = (a1, a2, a4)求解求解 A0 x = a3 A0 x = a5解续：为把解续：为把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵的线性组合，把矩阵 A 再变成行最简形

45、矩阵再变成行最简形矩阵2111210104112140110346224000133697900000rAB 于是于是 Ax = 0 与与 Bx = 0 ，即，即x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解同解即矩阵即矩阵 A 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B 的列向量组有一样的线性关系的列向量组有一样的线性关系.2111210104112140110346224000133697900000rAB 可以看出：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以所

46、以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a44 线性方程组解的构造回想：线性方程组的解的断定w包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n w包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且w当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有独一解；w当R(A) = R(A, b) n时，方程组有无限多个解引言问题：什么是线性方程组的解的构造？答：所谓线性方程组的解的构造，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系备注：当方程组存在独一解时

47、，无须讨论解的构造下面的讨论都是假设线性方程组有解解向量的定义定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，假设x1 = x11， x2 = x21，.， xn = xn1为该方程组的解，那么称为方程组的解向量11211n 齐次线性方程组的解的性质性质1：假设 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 那么 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 性质2：假设 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 那么 x = kx 还是 Ax = 0 的解证明： A( kx

48、 ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 结论：假设 x = x1, x = x2, ., x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 那么 x = k1x1 + k2x2 + + ktxt 还是 Ax = 0 的解.结论：假设结论：假设 x = x1, x = x2, ., x = xt 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 那么那么 x = k1x1 + k2x2 + + ktxt 还是还是 Ax = 0 的解的解.知齐次方程组知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以经过这些解向量的几个解向量，可以经过这些解向量的线性组合给出更多的解的线性组合

49、给出更多的解能否经过有限个解向量的线性组合把能否经过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表示的解全部表示出来？出来？把把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作的全体解组成的集合记作 S，假设求得，假设求得 S 的一个的一个最大无关组最大无关组S0：x = x1, x = x2, ., x = xt ，那么，那么Ax = 0 的通解可表示为的通解可表示为 x = k1x1 + k2x2 + + ktxt 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的根底解系不独一的根底解系不独一回想：向量组的秩的概念定义：设有向量组 A ，

50、假设在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关； 向量组 A 中恣意 r + 1个向量假设 A 中有r + 1个向量的 话都线性相关； 向量组 A 中恣意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组向量组的最大无关组普通是不独一的根底解系的概念定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ., xr假设满足 x1，x2，.，xr 线性无关；方程组中恣意一个解都可以表示x1, x2, ., xr 的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个根底解系后后 n - r

51、 列列 前前 r 列列 设 R(A) = r ，为表达方便，无妨设 A 行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令 xr+1, , xn 作自在变量，那么111,212,1,100010001000000000000000n rn rrr n rm nbbbbbbB 11111,22112,11,0,0,0.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx 11111,22112,11,.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx 111 11,1 1,11n rn rrrr n rn rrnn rxb cbcxb cbcxcxc 令令 xr

52、+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，那么，那么11121,12,11110000001n rrrr n rn rbbbbbbccc 齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx 记作记作 x = c1x1 + c2x2 + + cn-rxn-r 满足根底解系满足根底解系 11121,21222,1,2,12(,)100010001n rn rrrr n rn rbbbbbbbbb n r 列列前前 r 行行后后 n r 行

53、行故故 R(x1, x2 , , xn-r ) = n r ，即即 x1, x2 , , xn-r 线性无关线性无关 满足根底解系满足根底解系于是于是 x1, x2 , , xn-r 就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组 Ax = 0 的根底解的根底解系系111 11,1 1,1122n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcxb cbcxcxcxc 令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，那么，那么11121,12,11110000001n rrrr n rn rbbbbbbccc 线性方程组线性方程组的通解的通解11111221,22112

54、222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx 记作记作 x = c1x1 + c2x2 + + cn-rxn-r 满足根底解系满足根底解系 12100010,001rrnxxx 11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx 此即为此即为 Ax = 0 的根底解系的根底解系通解为通解为 x = c1x1 + c2x2 + + cn-rxn-r 1,111122,22122,12,n rn rr n rrrrbxbbbx

55、bbbxbb 11121,12,12,110000001n rrrr n rn rbbbbbb ，那么，那么令令定理：设定理：设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A) = r，那么，那么 n 元齐次线性方程元齐次线性方程组组Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 根底解系的求解例：求齐次线性方程组 的根底解系方法1：先求出通解，再从通解求得根底解系1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx 121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx 1342343423xxxxxx 即即令令x3 = c1， x4 =

56、 c2， 得通解表达式得通解表达式1122121211223142343423231001xccxccccccxcxc 由于由于方程组的恣意一个解都可以表示为方程组的恣意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合的线性组合x1, x2 的四个分量不成比例，所以的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关线性无关所以所以x1, x2 是原方程组的根底解系是原方程组的根底解系方法方法2：先求出根底解系，再写出通解：先求出根底解系，再写出通解121210342301 012311570000rA134234 340 230 xxxxxx 1342343423xxxxxx 即即令令3410,01x

57、x 1234,23xx 123423, 1001 合起来便得到根底解系合起来便得到根底解系，得，得还能找出其还能找出其它根底解系它根底解系吗？吗？问题：能否可以把问题：能否可以把 x1 选作自在变量？选作自在变量？答：可以，由于能否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并答：可以，由于能否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵不影响方程组的求解当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解为系数矩阵的齐次线性方程组同解121210342301 012311570000rA313221253( 1)212121212230123011157

58、6903121234102301230100000000rrrrrrrA 令令 x1 = c1， x2 = c2， 得通解表达式得通解表达式121234102301 230111570000rA123124340230 xxxxxx 3124123423xxxxxx 即即1122121122312412100134342323xcxcccccxccxcc 从而可得另一个根底解系：从而可得另一个根底解系：h1和和 h2 定理：设定理：设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A) = r，那么，那么 n 元齐次线性方程元齐次线性方程组组Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 例：设例：

59、设AmnBnl = O 零矩阵，证明零矩阵，证明R(A) + R(B) n 例：证明例：证明 R(ATA) = R(A) 例：设例：设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 与与Bx = 0 同解，证明同解，证明R(A) = R(B) 非齐次线性方程组的解的性质性质3：假设 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，那么 x = h1 h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 导出组的解证明： A(h1 h2 ) = Ah1 Ah2 = b b = 0 性质4：假设 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是导出组 Ax =

60、 0 的解，那么 x = x + h 还是 Ax = b 的解证明： A(x + h ) = Ax + Ah = 0 + b = b 根据性质根据性质3 和性质和性质4 可知可知假设假设 x = h* 是是 Ax = b 的解，的解， x = x 是是 Ax = 0 的解，那么的解，那么 x = x + h* 也是也是 Ax = b 的解的解设设 Ax = 0 的通解为的通解为 x = c1x1+c2x2+cn-rxn-r 于是于是 Ax = b 的通解为的通解为h = c1x1+c2x2+cn-rxn-r +h*例：求线性方程组例：求线性方程组 的通解的通解 1234124123422323