《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案详解

1、第五章方差分析课后习题参考答案5.1下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：(a=0.01)解：(1)手工计算解答过程提出原假设：H0：卩广0(i二陀3)S=TLx2-Tiji=1j=1Y区XnIi=1j=1j丿2=208.167S=Y丄1YAni=1iXj丿j=i丿YYxnIi=1j=1j丿2=70.467S二S-S二137.7eTA当H0成立时,=SA牛-*FC-1,n-SAn-r)本题中r=3经过计算，得方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值菌型A70.467235.23356.909误差137.7275.1.总和208.16729F(r1nr)=F(227)=335

2、查表得F1-a1n=F0.95，2=且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。(2)软件计算解答过程组建效应检验DependenVariable存活日数方差来源平方和白由度均值F值P值菌型误差总和a70.429137.737208.1672272935.2155.1016.903.004a-RSquared=.338(AdjustedRSquared=.289)从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F的观测值为6.903,对应的检验概率p值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有

3、显著影响。5.2现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：工厂寿命(小时)甲4048384245乙2634302832丙3940435050试在显著水平u=°°5下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求叫一巴,叫_叫及巴气的95%置信区间。这里假定第i种电池的寿命X口N(卩Q2)(i=1,2,3)ii解：手工计算过程1. 计算平方和S=ZZ(XX)2=ns2=(n1)(s*)2=14*59.429=832TijS=XZ(XX)2=lnS2=(n1)(S*)2=4*(158+10+28.3)=2

4、16.4eijiiiiiS=为(XX)2=Aii=1i=1另n(X一X)2=4*(42.639)2+(3039)2+(44.4一39)2=615.6iii=1其检验假设为：H0：2. 假设检验：S/(r-1)615.6/2F=AS/(nr)e307.8216.4/1218.0333=17.0684F>F(r一1,n一r)=F(2,12)=3.891a0.95所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。3. 对于各组之间的均值进行检验。对于各组之间的均值进行检验有LSD-t检验和q检验。SPSS选取LSD检验(最小显著差t检验)，原理如下：其检验假设为：H0：知二如方法为：首先计算拒绝H

5、0,接受H1所需样本均数差值的最小值山一心I，即LSD(theleast与相应的LSD比较,只要对比组的Ijfsignificantdifference，LSD)。然后各对比组的A大于或等于LSD，即拒绝HO,接受Hl；否则，得到相反的推断结论。LSD-t检验通过计算各对比组的与其标准误之比值是否达到t检验的界值lx一x|1XA“B1>t(N-r)i11i-yMS(+)2ennAB由此推算出最小显著差LSD，而不必计算每一对比组的t值11LSD=lx一xl>t(N一r)MS(+)ABi-yenn2AB如果两对比组的样本含量相同，即%时，则LSD=1X-xl>t(N-r)MS-

6、AB1-场VenA-g的置信区间为:AB(I元x吐t(N-r)：MS2)AB1-<2'en严I*18033=2.686则本题中、nV52t(N-r)MS-=t(12)*2.686=2.1788*2.686=5.8521-yen0.975g-g的置信区间所以12为：(l2.6-5.852,l2.6+5.852),即：(6.748，l8.452)同理可得g2-g3,g1一巴的置信区间为：-2O.252，-8.548)，(-7.652，4.O52)从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异(l.8<5.852)。而甲和乙之间(12.6>5.852),乙和丙之间(14.4

7、>5.852)有显著差异(显著水平为0.05)。SPSS软件计算结果1.方差齐性检验方差齐性检验结果Levene统计量df1df2Sig.1.735212.218从表中可以看出，Levene统计量为1.735,P值为0.218>0.05,说明各水平之间的方差齐。即方差相等的假设成立。2.计算样本均值和样本方差。（可用计算器计算）描述性统计量N均值标准化方差标准差均值的95%置信区间最小值最大值下限上限1542.603.9751.77837.6647.5438482530.003.1621.41426.0733.9326343544.405.3202.37937.7951.01395

8、0Total1539.007.7091.99034.7343.2726503.TestsofBetween-SubjectsEffectsDepndenVariable寿命，SourceTypeIIISumofSiuaresdfMeanSquareFSig.CorrectedModel615.602307.80017.068.000Intercept22815.000122815.0001265.157.000factory615.6002307.80017.068.000Error216.4001218.033Total23647.00015CorrectedTotal832.00014a.

9、RSquared=.740(AdjustedRSquared=.697)从表中可以看出，F值为17.068,P值为0,拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。4. 方差分析表单因素方差分析表总平方和平方和/自由度FSig.BetweenGroups615.6002307.80017.068.000WithinGroups216.4001218.033Total832.00014从表中可以看出，F值为17.068,P值为0,拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。5.最小显著性差异法（LSD）结果多重均值比较(MultipleComparisons)(I)厂工(J)工厂MeanDiffere

10、nce(I-J)标准差Sig.95%置信区间下限上限1212.600(*)2.686.0016.7518.453-1.8002.686.515-7.654.0521-12.600(*)2.686.001-18.45-6.753-14.400(*)2.686.000-20.25-8.55311.8002.686.515-4.057.65214.400(*)2.686.0008.5520.25*Themeandifferenceissignificantatthe.05level.从表中可以看出叫巴的置信区间为：(12.6-5.852,12.6+5.852),即：(6.748，18.452)同理可

11、得片-气,巴巴的置信区间为：操作法A1A2A3A4A5节约额4.36.16.59.39.57.87.38.38.78.83.24.28.67.211.46.54.18.210.17.8(-7.652，4.052)，(-20.252，-8.548)从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异(sig=0.515)。而甲和乙之间(sig=0.001),乙和丙之间(sig=O.OOO)有显著差异(显著水平为0.05)。5.3对用5种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下各就四批试样测得原料节约额数据如下表：假定原料节约额服从方差相等的正态分布，试问：操作法对原料节约额

12、的影响差异是否显著？哪些水平间的差异是显的？(a二°01)解：(1)手工计算解答过程提出原假设：H:r二0(i=1,2,3,4,5)0iS=ZZx2_-Tiji=1j=1nIi=1j=1j丿2=89.910ni=1iXj丿j=1ZZxnIi=1j=1j丿2=55.537S=S_S=34.373eTA厂S心_1)(.)当H0成立时F=rFV一1,n一r丿S/(n-r)e本题中r=5，经过计算，得方差分析表如下:方差来源平方和自由度均方F值菌型A55.537413.8846.058误差34.373152.292.总和89.91019查表得壮-1，n-亠F0.95(4,15)=3.06且f

13、=6.058>3.06，在95%的置信度下，拒绝原假设,认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。(2)软件计算解答过程组建效应检验DendenVariable节约额1自由度均方F值P值方差来源平方和/7<1/1、I/J、a操作法55.537413.8846.059.004误差34.373152.292总和8991019a.RSquared=.618(AdjustedRSquared=.516)从上表可以看出，工厂使用的操作法这个因素的检验统计量F的观测值为6.059，对应的检验概率p值为0.004,小于0.01，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著

14、影响。(3)判断各种操作方法之间的差异的显著，使用SPSS软件中最小显著性差异法(LSD)计算。多重比较DefendenVariable节约额LSDMeanDifference(I-J)标准差P值95%的置信区间下限上限12.0251.0704.982-2.2562.3063-2.450*1.0704.037-4.731-.1694-3.375*1.0704.007-5.656-1.0945-3.925*1.0704.002-6.206-1.64421-.0251.0704.982-2.3062.2563-2.475*1.0704.035-4.756-.1944-3.400*1.0704.00

15、6-5.681-1.1195-3.950*1.0704.002-6.231-1.669312.450*1.0704.037.1694.73122.475*1.0704.035.1944.7564-.9251.0704.401-3.2061.3565-1.4751.0704.188-3.756.806413.375*1.0704.0071.0945.65623.400*1.0704.0061.1195.6813.9251.0704.401-1.3563.2065-.5501.0704.615-2.8311.731513.925*1.0704.0021.6446.20623.950*1.0704.

16、0021.6696.23131.4751.0704.188-.8063.7564.5501.0704.615-1.7312.831Basedonobservedmeans.*Themeandifferenceissignificantatthe.05level.以看出，在给定的置信水平Q二°.°1时，操作法A1和A4,A1和A5,A2和A4,A2和A5的P值都小于0.01，因此可以认为他们之间的差异显著。5.5在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度，四种不同温度情况做实验。为了考虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种水平组合下做两次实验，其得率数据如下面的表所示(

17、数据均以减去75)：温度浓度B1B2B3B4A114，1011，1113，910，12A29，710，87，116,10A35，1113，1412，1314，10假定数据来自方差相等的正态分布，试在a二°.°5的显著水平下检验不同浓度、不同温度以及他们之间的交互作用对得率有无显著影响。解：(1)手工计算解答过程提出原假设：H:a=0(i=1,2,3)01iH:B二0(j二1,2,3,4)02jH:y二00二1,2,3;j=1,2,3,4)03ij为了便于计算，记T=1Lx=tXjijkjk=1=工Yx=stX;(T=90,T=6&T=92)i123Tij=1k=1i

18、jk=YYx=rtX;(T=56,T=67,T=65,T=62)jTjijki=1k=1234T=ZSX=rstX=Tii=1ijki=1j=1k=1=工T=250jj=1W=工另艺X2=2752ijki=1j=1k=1则有：S=W-=147.833Trst1rT2S=£T2-一=44.333Astzrsti=1=丄工T2rtjj=1=11.5rstS=-££t2-匚-S-S=27.000AxBtijrstABi=1j=1S=S-S-S-S=65.000eTAxBAB当H01成立时，F=SA'(-1)F(r-1,rs(-1)AS/rs(t-1)e当H02成

19、立时，F=SB'(-1)F(s-1,rs(-1)BS/rs(t-1)e当H03成立时F飞uyf(C-必-】)rs(t-】)方差来源平方和自由度均方F值浓度A44.333222.1674.092温度B11.50033.8330.708交互作用AxB27.00064.5000.831误差65.000125.417总和147.83323AxBe本题中r=3,s=4,t=2，经过计算，得方差分析表如下:查表得F(r-1,rs(t-1)=1-aF(2,12)=3.890.95且FA=4.092>3.06，在95%的置信度下,拒绝原假设，认为浓度的差异对化工得率有显著影响。F(s-1,rs(

20、t-1)=F(3,12)=3.491-a0.95F且B=0.708<3.49在95%的置信度下，接受原假设，认为温度的差异对化工得率无显著影响。F(r-1)(s-1),rs(t-1)=F(6,12)=3.00F1七0-95且C=0.831<3.00在95%的置信度下，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。(2)软件计算解答过程组间效应检查DeendenWriable化工得率方差来源平方和白由度均方F值P值CorrectedModel82.83®117.5301.390.290Intercept2604.16712604.167480.769.

21、000浓度A44.333222.1674.092.044温度B11.50033.833.708.566浓度A*温度B27.00064.500.831.568误差65.000125.417全部总和2752.00024总和147.83323a.RSquared=.560(AdjustedRSquared=.157)从上表可以看出，因素A浓度的检验统计量F的观测值为4.092,对应的检验概率p值为0.044，小于0.05，拒绝原假设，认为浓度之间的差异对化工得率有显著影响。因素B温度的检验统计量F的观测值为0.708，对应的检验概率p值为0.566，大于0.05，接受原假设，认为温度之间的差异对化工

22、得率无显著影响。交互作用的检验统计量F的观测值为0.831,对应的检验概率p值为0.568，大于0.05，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。5.6下表记录三位工人分别在四台不同机器上三天的日产量。工人机器B1B2B3A115,15,1719,19,1616,18,21A217,17,1715,15,1519,22,22A315,17,1618,17,1618,18,18A418,20,2215,16,1717,17,17假定数据来自方差相等的正态分布，问(1) 工人之间的差异是否显著(2) 机器之间的差异是否显著(3)交互作用是不是显著(a二°.&#

23、176;5)解：(1)手工计算解答过程提出原假设：H=0(i二1,2,3,4)01iH:B二0(j1,2,3)02jH:y0(z1,2,3,4;j1,2,3)03ij为了便于计算，记T=£XtXjijkjk1，Wxiijkj=1k=1=stX;(i”T1“=156,T=159,T2”3“，=佥tX=rtX;(T=206,T=198,Tjijki=1k=1j123、=另刀X=rstX=T=EsT=627ijki”ji=1j=1k=1i=1j=1153,T=159)4“=223)W=ZSKX2=11065ijki=1j=1k=1则有：=W-仝=144.75rst=工T2st'i=

24、1仝=2.75rst丄工T2rtjj=1三=27.167rstSAxB=-ZSt2-Il-S-StijrstABi=1j=1=73.500S=S-S-S-S=41.333eTAxBAB当H01成立时匸S/(r-1)a=S/rS(t-1)eF(r-1,rs(t-1)当H02成立时S/(s-1)Fb=EReF(s-1,rs(t-1)当H03成立时FAxBF(r-1)(s-1),rs(t-1)S/(r-1)(s-1)AxxBS/rs-1)e本题中r=4,s=3,t=3经过计算，得方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值机器A2.75030.9170.532工人B27.167213.5837.887

25、交互作用AxB73.500612.2507.113误差41.333241.722总和144.75035查表得FgChrsSt"LFo.95G，24)=3°1且FA=o.532<3.oi,在95%的置信度下，接受原假设，认为机器的差异对日产量无显著影响。且FB=7.887>3.40在95%的置信度下，拒绝原F(s-1,rs(t-1=F(2,24)=3.401-a0.95假设，认为工人的差异对日产量有显著影响。匚-少-"二尸%'24)=2.51且FC=7.113>2.51，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为机器和工人的交互作用之间的差异对日

26、产量有显著影响。(2)软件计算解答过程组间效应检査DeendenWriahle方差来源平方和白由度均方F值P值CorrectedModel103.41a119.4025.459.000Intercept10920.250110920.2506340.790.000机器A2.7503.917.532.665工人B27.167213.5837.887.002机器A*工人B73.500612.2507.113.000误差41.333241.722全部总和11065.00036总和144.75035a.RSquared=.714(AdjustedRSquared=.584)从上表可以看出，因素A机器的

27、检验统计量F的观测值为0.532,对应的检验概率p值为0.665，大于0.05，接受原假设，认为机器之间的差异对日产量无显著影响。因素B温度的检验统计量F的观测值为7.887，对应的检验概率p值为0.002,小于0.05,拒绝原假设，认为工人之间的差异对日产量有显著影响。交互作用的检验统计量F的观测值为7.113,对应的检验概率p值为0.000,小于0.05,拒绝原假设，认为工人和机器的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。5.4一位老师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。过一段时间后，这位教师给这15位同学进

28、行统考，成绩如下：方法成绩甲7562715873乙8185689290丙7379607581试问，在显著性水平Q二°.1°下，这三种教学方法的效果有显著差异？这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布。解：一、手工计算结果1.计算平方和S=SE(XX)2=ns2=(nl)(s*)2=604.933TijS=SE(XX)2丄nS2=1L(n1)(S*)2=852.800eijiiiiii=1i=1S=SE(XX)2=lLn(XX)2=1457.733Aiiii=l其检验原假设为：H0：卩甲=卩乙二卩丙2.假设检验：S/(r1)604.933/2302.467F=r=4.256S/

29、(nr)852.800/1271.067eF>F(r一1,n一r)=F(2,12)=3.89i-a0.95所以拒绝原假设，即认为学生成绩和教学方法显著相关二、软件结果1.首先检验方差是否齐，如下表：LeveneStatisticdf1df2Sig.097212.908从上表可以看出，P值为0.908>0.05,说明三个样本方差齐。2.进行方差分析如下表：方差分析表SumofSquaresdfMeanSquareFSig.BetweenGroups604.9332302.4674.256.040WithinGroups852.8001271.067Total1457.73314P值为

30、0.04>0.1,F0.9.(2,12)=2.81v4.256拒绝原假设，说明三种教学方法有显著差异。3.进一步分析有下表，多重比较方(J)方MeanDifference(I-J)Std.ErrorSig.95%ConfidenceInterval法法UpperBoundLowerBoundTukeyHSD12-15.400(*)5.332.034-29.62-1.183-5.8005.332.539-20.028.422115.400(*)5.332.0341.1829.6239.6005.332.211-4.6223.82315.8005.332.539-8.4220.022-9.6

31、005.332.211-23.824.62Scheffe12-15.400(*)5.332.042-30.26-.543-5.8005.332.569-20.669.062115.400(*)5.332.042.5430.2639.6005.332.238-5.2624.46315.8005.332.569-9.0620.662-9.6005.332.238-24.465.26LSD12-15.400(*)5.332.014-27.02-3.783-5.8005.332.298-17.425.822115.400(*)5.332.0143.7827.0239.6005.332.097-2.02

32、21.22315.8005.332.298-5.8217.422-9.6005.332.097-21.222.02从上表可以看出，甲方法和乙方法在显著水平0.05下有显著差异（卩值=0.034V0.05）,而甲方法和丙方法，乙方法和丙方法之间没有显著差异5.7一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料与每种推进器的组合作一次试验（假定不存在交互作用），得火箭射程如下表（单位：海里）推进器燃料BlB2B3Al58.256.265.3A249.154.151.6A360.170.939.2A475.858.248.7假定数据来自方差相等的正态分布，问燃料之间、推进器之间有无显著差异（a二&

33、#176;05）.解：（1）手工计算解答过程提出原假设：H=oG二1,2,3,4)01iH:B二0（j二1,2,3）02j为了便于计算，记T=X=sX.(T=179.7,T=154.&T=170.2,T=182.7)/ij234j=1T=£X=rX(T=15155.7,T=14499.3,T=10834.98)jijj23i=1T=工X=rsX=687.4iji=1j=1W=工为X2=40489.98iji=1j=1S=W-T2=1113.417则有：Trs1rT2S二一丫T2-一=157.590As"rsi=11sT2S=-£T2=223.847Brjr

34、sj=1S=S-S-S=731.980eTA当H01成立时当H02成立时，本题中r=4,s=3S8血JjF(r-1,(r-1)C-1)eSk-1)jF(s-1,(r-1)C-1)e经过计算，得方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方F值燃料A157.590352.5300.739推进器B223.8472111.9230.449误差731.9806121.997.总和1113.41711查表得FgC-人C-1"-1=Fo.95G6=4.76且FA=0.739v4.76，在95%的置信度下，接受原假设，认为燃料的差异对射程无显著影响。F(s-1,(r-1)C-1)=F(2,6)=5.14

35、口F1-a0.95且FB=0.449v5.14,在95%的置信度下，接受原假设，认为推进器的差异对射程无显著影响。(2)软件计算解答过程组间效应检査Dependenvariablei程i方差来源平方和自由度均方F值P值CorrectedModel381.43员576.287.625.689Intercept39376.563139376.563322.768.000燃料A157.590352.530.431.739推进器B223.8472111.923.917.449误差731.9806121.997全部总和40489.98012总和1113.41711aRSquared=.343(AdjustedRSquared=-.205)从上表可以看出，因素A燃料的检验统计量F的观测值为0.431,对应的检验概率p值为0.739，大于0.05，接受原假设，认为燃料之间的差异对射程无显著影响。因素B推进器的检验统计量F的观测值为0.917，对应的检验概率p值为0.449，大于0.05,接受原假设，认为推进器之间的差异对射程无显著影响。5.8为了考察蒸馏水的PH值与硫酸铜溶液的浓度（