2019学年高一数学北师大版必修4学案：2.2从位移的合成到向量的加法

1、殳从位移的合成到向量的加法2. 1 向量的加法2. 2 向量的减法学习目标导航i.掌握向量的加法、减法运算.（重点）2.理解向量加法与减法的几何意义及加法、减法的关系.（难点）-1基础初探教材整理 1 向量加法阅读教材 P76-P77“例 2”以上部分，完成下列问题. 向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和 的法 则三角形法则已知向量 a, b,在平面内任取一点A,作 AB = a, BC= b,再作向量 AC, 则向量 AC 叫作 a 与 b 的和，记作 a+ b, 即卩 a+ b =AB+BC=AC向量求和 的法 则平行四边形法则已知向量 a, b,作AB=a, AD= b, 再作平

2、行 AD 的 BC= b,连接 DC,则 四边形 ABCD 为平行四边形，向量 AC 叫作向量 a 与 b 的和,表示为 AC=a+ b向量交换律a+ b= b+ a加法的运算律结合律(a+ b) + c= a+ (b+ c)-徽体验-判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 两向量的和，可能是一个数量.()两向量相加，就是两向量的模相加.()矩形 ABCD 中，E3A+ BC= BD.()【解析】(1)两向量之和，仍是向量，(1)错；不共线两向量相加，遵循平 行四边形法则；由向量加法的三角形法则可知(3)正确；由向量的平行四边形法则 可知(4)正确.【答案】XxVV教材整理 2 向量减法

3、阅读教材 P79P80“练习”以上部分，完成下列问题.1 .相反向量定义把与 a 长度相等、方向相反的向量，叫 作 a的相反向量，记作一 a性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是-(-0)=0；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即 a+ ( a) = ( a) + a = 0；若 a+ b 0，贝 U a b， b a2.向量减法定义向量 a 加上 b 的相反向量，叫作 a 与 b 的差，即 a b a+ ( b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法(3)CD +DE = CE.(几何意义如图，设 OA a， OB b，贝 UBA a b，即卩 a b 表示为从向量 b 的终点指向向量

4、 a 的终点的向量-锻体鉴-判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 两个向量的差仍是一个向量.()(2) BA= OAOB.()(3) a b 的相反向量是 b a.()(4) |ab|v|b+a|.()【解析】 正确.两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量，是向量.(2) 正确.根据向量减法的几何意义可知BA=OAOB.(3) 正确.(a b) + (b a) 0.错误.|a+ b|与|a b|的大小关系不确定.【答案】 V(2)V(3)V(4)X质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1: _解惑：_疑问 2: _解惑：_疑问 3: _解惑：_小组合

5、作型向量的加法、减法运算阶段2介作探究通茉洌 (1)在平行四边形 ABCD 中，AB+ CB DC 等于()A. BCB.ACD. BD化简：AAB+DA+BD BC-CA=_.如图 2 2 1 已知向量 a, b, c,求作向量 a+ b c.【精彩点拨】 利用向量的三角形法则或平行四边形法则求解.【自主解答】 在?ABCD 中，AB= DC,CB=DA,A A A A AA AAB+ CB DC= (AB DC) + CB= DA.法一：原式=AB+ BD+ IDA(BC+CA)=o-AA=AB.法二：在平面内任取一点 0,连接 OA, OB, OC, OD,贝 U原式=(0B 0A)+(

6、0AOD)+(OD 0B) (OC0B)(oA0C)=oB oA+ oAOD + OD OB-OC+OB oA+ OC= OB-OA=AB【答案】(1)C (2)AB作法：1作 OA= a, AB= b；2作 OC = c；3连接 CB,则 CB= a+ b c.C.DA图 2 21A. BCB.AC名丿助1. 求解这类问题，要灵活应用向量加法、减法的三角形法则与平行四边形法 则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减 法的三角形法则时，两向量起点一定相同.2.运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为 加法；(2)引入点 0,将向量起点统

7、一.3运用向量加法、 减法运算法则作图时， 应注意是“首尾相连”还是“首首 相连”等.再练一题1.(1)如图 2-2-2,已知？ABCD, 0 是两条对角线的交点，E 是 CD 的一个三等分点，求作：图 2-2-21A0+AC；2DE+BA.如图 2-2-3,已知向量 a，b，c,求作 a+ b+ c.图 2-2-3【解】 延长 AC,在延长线上截取 CF = A0,则向量 AF 即为所求.1 在 AB 上取点 G,使 AG = 3AB,贝 U 向量 BG 即为所求.在平面内任取一点 0,作向量 0A= a,再作 AB= c,则 0B= a+ c,然后再作BC= b,连接 0C,于是向量 0C

8、 = a+ b+ c 即为所求(如图所示).fljl 在五边形 ABCDE 中，设 AB a, AE b, BC c, ED d,用 a, b, c, d表示 CD.【精彩点拨】 先表示出向量 AD,然后用向量加法表示出CD.【自主解答】 因为ADAE+ED,ADAB+ BC+CD,所以 AE+ ED = AB+ BC+ CD,即 b + d a+ c+ CD,所以 CD b + d a c.名师疑1.用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减 法的几何意义.2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为:观察待表示的向量位置； 寻找相应的平行四边形或三角形； 运用法则 找关

9、系，化简得结果.再练一题2.如图 2 2 4 所示，已知 0 为平行四边形 ABCD 内的一点，OA a, OB b,利用已知向量表示其它向【解析】 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB DC,所以 OB OA OCOC c,则 OD 可以用 a, b,图 2-2-4-OD, 所以 OD = OA OB+ OC = a b+ c.【答案】a-b+ c探究共研型ITS向量加法、减法的综合应用探究 1 向量减法的实质是什么?【提示】 加法的逆运算.探究 2 |a b 与|a|, |b|之间的大小关系如何？【提示】当 a 与 b 不共线时，有|a| |b| |a b|b| 时，有 |a b

10、|= |a| |b|；当 a 与 b 同向且 |a| |b|时，有 |a b|= |b| |a|.卜例 EJ 已知?ABCD 中，/ ABC = 60 设 AB= a, AD = b, 若 |a|= |a+ b|= 2, 求|a b|的值.【精彩点拨】根据题设条件结合向量的加法、减法运算求解.【自主解答】 依题意，|AC|= |a+ b|= 2,如图所示.而 |AB|= |a|= 2.因为/ ABC = 60所以 ABC 是等边三角形， 所以 BC = AB.所以？ABCD 为菱形，AC 丄 BD，1 1所以|af= 2|a+ b|2+ 2|a b|2, 刚 |a bf即 4 二 1+4，所以

11、 |a b|= 2.3.本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a, b 是两个不名厕共线的向量，在平面内任取一点 A 作AB=a, AD = b,以 AB, AD 为邻边作?ABCD, 那么AC = a+ b, DB = a b.恰当地构造平行四边形，寻找|a, |b|, |a |的关系，灵 活运用平面图形的性质是解答本题的关键.L_J再练一题3.已知非零向量 a, b 满足|a 匸,7+ 1, |b 匸J1,且|a b 匸 4,求|a+ b| 的值则 |BA|= |a b|.以 0A 与 0B 为邻边作平行四边形 OACB,则 |0 牛 |a+ b|.由于（.7+ 1）2+

12、C.7 1）2= 42,即 |0A|2+ |0B|2= |BAf,所以 OAB 是以/ AOB 为直角的直角三角形,从而 0A 丄 0B,所以?0ACB 是矩形.根据矩形的对角线相等有|0C|= |BA| = 4,即 |a+ b|= 4.构建体系【解】如图，设 OA=a,I向量的加法运算向量加法、减法的综合运用豳銅体验裁实评价1.若 O, E, F 是不共线的任意二点，则以下各式成立的是（）A. EF= 0F+ OEB. EF= 0F+EOC.EF= FO+ OED. EF=FO+EO【解析】 由向量三角形法则知 EF = EO+ OF.【答案】B2. 正方形 ABCD 的边长为 1,则 AB + AD|为()B.2D. 2 2【解析】TAB+ AD =AC,A|AB + AD|= |AC 匸.2,故选 B.【答案】B3. 设 a 表示向东走 4 km, b 表示向南走 3 km,则|a+ b| = _【解析】|a+ b|= .|a|2+ |b|2= 5.【答案】54.化简：(1)_PB+OP-0B=；(2)_0B-OA-OC-CO=.【解析】(1)PB+ OP- 0B=PB+(0P0B)=PB+BP= o.(2) OB- OA OC- C0= (OB OA) (OC+