2019届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)：专题7.3立体几何中的向量法(A卷)

1、班级姓名学号分数啲问葺t测诃、解答题（本大题共 10 小题，共 160 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）为菱形，.DAB = . DAA点，求平面DCGU与平面ABBA所成锐二面角的余弦值.1答案,证明见解析2）A93【解析】 试题分析： 考虑用向量注来证明，即计算丽疋=0来证明.具体方法是将丽匸币专化为同起点的 向量，即巫.亜=（率+丑）.巫=瓦不2万+丽巫，利用R料二|玄卜如创二如必可求得 垂一乔=0；设线段4月的中点为。以射线OE射线。耳、射线OD为艾轴、玮扒去轴的正方向建立空间直角坐标系o-z、利用向量法求得二面角的余弦值为7（测试时间：120 分钟满分：160 分）

2、1.如图所示，在四棱柱ABCD -ABCQ1中，底面ABCD是梯形，AD/BC,侧面ABBA(1)求证：AB _ AD；(2)若AD=AB=2BC,AB =60ABB1A1上的射影恰为线段AB的中PA=AE =EC=2 , AD =1,M是棱PE中点.试建(1帆标気斤勿所 D7i阿.E5|cOSz； )DO*A 皿腿【设乂乞t = 6C cO1J0-4需cc西由-,所Et 1 _设平面DCGDi的一个法向量为m = Xo, yo，Zo丄J11且B劣为菱形,!立空间直角坐L2由m C C= 0 , m DC 0,得axo_ax03ay0二03i取y = 1，则x亠-ay。-az。=0223,Zo

3、=3.3，所以m二3,1,3 3又平面ABBA的法向量为OS = (0,0, a )，所以cos OD,m蔦:以丞.考点：空间向量证明垂直与求二面角2.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面A BCD，A D/EC，厶E C = 90，(1)求证：/平面？CD;(2) 设点K是线段CD上一动点，且DN = Z.DC,当直线MN与平面PAE所成的角最大时, 求入的值.【答案】(1)证明见解析；(2)人=Z.3【解析】试题分析： 以点/为原点，JDtABtAP为坐标轴建立如團所示的空间直角坐标系，求出平面氏D的法向只需证明即可可设=设妙与平面切所17成的角为可得si詔=,L进而得阿与平面曲所

4、成的角最大时A =-阳沖3试题解析：1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，贝UAO.O,0)3jff (ftioy CtiiO), 2X1 A0):P0:0:2)=M(OX1)则掃二(01J)：ro = lA-2Xc5 =-12,0)设平面PCD的注向量是川= (x,y,z)f则J丽7=0 fx-2z =0,心/ =0即-兀-2令疋=1,则丈口2=一1,于是;=(2,-ld)二AM/V乎面PCD.2)因为点N是线段CD上的一点可设而二 五二兄(120)ANADANAD + + DNDN(1,0,0) +2CL2.0)-(1 +兄,2兄)= (1+2.22,0)-(0.1JL)= (1+

5、2 22 -1,-1)又面PAB的法向遵为(IQ.Q)(IQ.Q)设MNWMNW平面切所成的角为e e1+乂J5(L+好727(l+A)1+ (2/t-l)1+ lE（I ）若 G 为 DC 的中点，求证：EG/平面 BCF;（II ）若DH =2HC,求二面角D - EH -O的余弦值.【答案】（1）详见解析（11）8【解析】试题外析证明线面羽孔一般利月寻找与谴往利用平几知识如本弓GI/ZEF?C似四边形EFMG为平行EJ面EOG/G 这可从两组线线平行;角，苜先直关系建立恰当的空间眉用向量数夹角，最后根据向量夹角试题解祐 证明：连接OE,OG左/.OG/BC/OBEFfi/.四边形EFBO

6、 :/.EO/FIEQG平面FBC,.EG/TiABCD対建以QB丄QC ,又平面ODE四边形03形所臥皿丄平面ABCD设 0(0, 0,0), B戋面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的利用三甬形中位线性质及平行四边形性氐叹医中点.礼刪1形，即EG/FK.本题也可从面面平行出发证线面平行，即先证平发丿得两组线面平行，再得面面平行（ID利用空间向量求二面自坐标系设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利冃二面角之间茉系得结果果件G为中点、平行四边形BCF丄平面ABCD?建立如團的空间直甬坐标系，,0) , E (-1,0,2 ) F (0 , 0 , 2), H (丄30)

7、, D (-1 ,0, 0)2 2 3TDH=(, ,0)DE = (0,0,2)3 35(1, 0 , 0) , C( 0 ,3设n =（为，乙）是面DEG的一个法向量,E同理取平面OEH的一个法向量是朋=af：1)二面角D-EH-0的余弦倩为|c考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直4 .已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB=1 ,ADC =60 ,AF =a(a

8、 0),(I)求证：AC 丄 BF；(II )若二面角 F BD-A 的大小为 60,求 a 的值DHDH n n = = Q QDEDE n n = = Q Qh 2 Vs即I計+丁F】 = zx0AD=2,【答案】略【解析】解: 以 CD 为 x 轴,CA 为 y 轴，以 CE 为 z 轴建立空间坐标系,D(1,0,0),A(0, J3,O),F(O j3,a),B(1,0,0)H亦:J : 量=H 11法向:!为AB上一点，AB =4AN,M ,S分别为PB, BC的中点.(1)证明：CM _ SN.(1)C(0J5.如图:P -ABC中,PA_ 面ABC,AB _ AC,PA = AC

9、AB =22(2)求面MNC与面NCB所成的锐面角的余弦值(3)在线段PA(包括端点)上是否存在一点Q，使SQ丄平 若不存在，说明理由MNC?若存在，确定Q的位置;【答案】 略【解析】解: 以 CD 为 x 轴,CA 为 y 轴，以 CE 为 z 轴建立空间坐标系,【解析】(1)如图建立空间直角坐标系：则(3)求平面 PQA 与平面BCA所成角的余P(0,0,2),C(0,2,0), B(4,0,0)M(2,0, i ), N( i ,0,0), S(2, i ,0),SN =(-i，- i ,0) CM =(2,-2, i )CM SN =0CM _ SNn =(2,1,一2)面NCB的法向

10、量为n (0,0,1)內锐三在_6如图所示, 在边长为cc)/2 2使12的正方形 ADD*中，点 B,C 在线段AD上,且AB =3,BC =4,作 BBi灯 AAi，分别交 ADi，ADi于点 B，P，作 CCiAA，分别交 ADi，ADi于点 Ci，Q，将该正方形沿 BBi，CCi折叠，使得DDi与 AA 重合，构成如图所示的三棱柱ABC -ABC.(i)求证：AB_平面 BCCiBi；(2)求四棱锥 A-BCQP 的体积;(2)面MNC的法向量为则*3), Jr(O, 0, 0), 7(4所以丽队3.-3)，淹讯4, 7设平面 PQA 的一个法向量为 n =(x, y, z).【解析】

11、(1)在正方形 ADD.A所以三棱柱 ABC - ABG 的底面三角形ABC的边AC二5.因为AB =3,BC =4,所以AB2所以 AB _ BBi，而 BC BBi= B ,所以AB_平面 BCCiBi.(2)因：奶丄平面Mq斗丿所心 因为四泄说QP为直角梯形，且馳梯节的面积所以四村=A-3C0P的体积中 由！)可知,肋,恥，码四A-BCOP的高.百CQ=ABBC=1 ,7O)x5C=20 ,s 乂AB=签 *相垂直以B为原点，建立如图所示的空间直鬲坐标系叫、,F 350). 0(4, 7. 0) ),【答案】略，因为CD = AD _AB _ BC =5,nAP =03y3z =0则AP

12、 0，即nAQ =04x 7y _3z =0令 x =_1，贝Uy =z=1 所以 口 =(_1, 1, 1).显然平面BCA的一个法向量为 n2=(0, 1, 0).设平面 PQA 与平面BCA所成锐二面角为日，测anin23贝UcosB =cos ,亚=7.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45,F是PB的中点，E是BC上的动点.(I)证明：PE _ AF;(H)若BC =2BE二2 3AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小【答案】略n1n23所以平面 PQA 与平面BCAPEBC设I则!:a于j ；I则；(n)若BC=2BE=2.3AB，则D(4

13、 3,0,0), PD = (4 3,0,-2), PE = (2.3,2,-2),设平面PDE的法向量为n = (x, y, z),r -r由n卩叮，得：43x-2z = 0，令=1，则z = 2 3,y=V3,5 PE =03x +2y -2z =0于是n = (1, 3,2 3)，而AP = (0,0,2)设AP与平面PDE所成角为日，所以sin日=ln”竺1=,|n |AP|2所以AP与平面PDE所成角日为60=.n8 .如图，在三棱柱ABCABQ中，已知BC = 1,BB1=2，乂BCC1 =?,AB丄侧面BB1C1C.(I)求直线C1B与底面ABC所成角正切值；_T3J（n）在棱C

14、Ci（不包含端点）上确定一点E的位置，使得EA_ EBi（要求说明理由）；【答案】略【解折】解八【）在亶三按卒心中,01亡丄平刼G；3 在平面如匕上的射影沟CB”二ZC07旳竣qs与底面ABCiABCi咸角.vCC = Jt8j=2.BC =1- /,tanZQ3C = 2i即雄申与底而曲c所成角正切值为2* -4C(II)当卫为中点时，皿丄期】vCE=CE=ECY= = KBCKBC = = 1=45f f一 ZSZS 码=9CT,=9CT,即场E丄RE*RE*又 VJB 丄平面肋iGC, v E&! u平面BBGC /.ABAB EBEBX X. .BE(AB=BBE(AB=B J

15、.EBJ.EB】丄平面QE,瓦lu平面血昭EAEA 丄 EBEB“(HD取码的中点G , 4百的中点八贝MG 必且FGFG 今辱丁3丄 EBEB“FGJLEBFGJLEB，连结吗3,肋】，设4月门/坯=0,连结OFQG/GOFQG/G , ,-1III III1则OG/AE,且OG=一AE；AE丄ER二0G丄EB1的条件下，若AB = . 2，求面角A - EB|- A 的大小.（川）在（n）1Bi21，ABCD ,AD=1 , AB二BC =4.OGF为二面角A-EB -A的平面角面角A - EB| - A的大小为 45另解：以B为原点，BC, BB1, BA所在直线为x, y, z轴建立空

16、间直角坐标系则B(0,0,0),C(1,0,0),B(0,2,0),CI(1,2,0).(1 )(-1-2,0),面仙C的一个法向量亟=(020)(设EQjEQj , ,損QO.Xh则瓦=(-1厂尹，丽=2-=2-皿由FC=90%DF二屈CH=3 , tan ZFDG = y/3 ,/.ZJG = 60即直线AB与平庖卩DC所成角为60.(3)连结EF,TDF/AB,二DF/平面PAB.设点E在棱PC上,=PC若DE/平面PAB，求，的值.求直线AB与平面PDC所成的角;过点F作巩?丄CD交仞于G,则ZFDG为直线AB与平面所成的角.（12 分）平面DEF/平面PAB , EF/AB.又AD

17、=1,BCB4, F =1,PEPCBFBCPE =lpC，即，444C又：DE/平面PAB,【方法二】如图，在平面ABCD內过D作直线DF/AB,交BJ于F,分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、:轴建立空间直角坐标系.(1)设PD = a,则BD=(-l-yl3PC=(-3-a),(2)由(1)知丄面PDC；DB就是平面PD(的法向董由条件知A (1, 0, 0), B (1，屁0),Zff =(0,0) =(1,0).设曲与面加C所成角大小为0 ,则 2 帯磊=希=雾0。&903 .6 = 60即直线肋与平面MC所成角为60。(3)由(2)知C (-3,sf3,0),记P (

18、0, 0, a),则IB=(0,0),丽=(讥0卫)，S = (l, 0,7，PC=(-39y/39-d),BD PC = 33 =0:.BD丄PC.而M*-9-L LE=.设：=耶?=由 6(iff a s10.如图，在三棱锥P ABC中，AB丄BC,AB =BC =kPA，点 O,D 分别是 AC, PC 的中 点，OP丄底面ABC.(1) 求证：ODII平面PAB1(2) 当 k=时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；2【答案】(1)证明见解析。210(2)sinv30(3)k =1【解析】(1)证明：TOP_平面 ABC, OA=OC, AB=BC ,/OA_OB, OA_OP, OB _ OP .