(整理)逐步回归分析计算法

1、精品文档前面我们介绍了通过回归的基本思想是将变量逐一引入回归方程，先建立与 y y 相关最密切的一元线性回归方程，然后再找出第二个变量，建立二元线性回归方程，。在每一步中都要对引入变量的显著性作检验，仅当其显著时才引入，而每引入一个新变量后，对前面已引进的变量又要逐一检验，一旦发现某变量变得不显著了，就要将它剔除。这些步骤反复进行，直到引入的变量都是显著的而没有引入的变量都是不显著的时，就结束挑选变量的工作，利用所选变量建立多元线性回归方程。为实现上述思想，我们必须在解方程组的同时，求出其系数矩阵的逆矩阵。为节约内存，计算过程中在消去 x xk时用了如下变换公式求解求k逆紧凑变换。一、求解求逆

2、紧凑变换求解求逆紧凑变换记作 L Lk，其基本变换关系式为：k依次作 L2,，L“变换后，所得矩阵的前 m-1m-1 列，便是系数矩12m-1阵的逆矩阵，最后一列便是(2-3-27)(2-3-27)的解，即C1151C22HLYn%?IIIIIIfnt-Ll(2-3-31)当对(2-3-27)(2-3-27)的增广矩阵精品文档CM-UCM-1,2求解求逆紧凑变换具有以下性质：(1)(1)若对舅作了 L Lki，L Lk2,L LkL变换，则得如下子方程组Y上1甩色股十尸俎忠如2+十了帧叽=yklm彳尸盟和錶 1 1 十F阴临鸟朋十十y也少&=丫呱(2332)了顷 0 仪+丫跟纵 w+丫

3、a加=厂伽的解及相应的系数矩阵的逆矩阵，其中 k ki,k,k2,k,kl互不相同，若记紀L LkiLk2Lki4b，则y-1尸佻2曲J弘葩rSfciY盘心囁:(2-3-33)F翻畑J尸甌(2)L(2)L.L总二 L L.L丘，即求解求逆紧凑变换结果与变换顺序无关。|jJ|LkLk左二喪(4)(4)若冷=叶，口=1,2,m-1,记刘=砂叫1匚5 5 砂则克打中的元素具有以下性质:式中上行为对豆作了变换Li，Lj或两个变换均未作过；下行为对总精品文档作过变换L和 L.之一。ij二、逐步回归的计算过程逐步回归计算过程就是反复对增广矩阵豆作 L Lk变换，并利用变换性质将选变量与作检验等步骤结合起来

4、。为了检验方便，对左再增加一行，使其变成对称方阵，并记作 R R(o), ,即1 1选第一个变量选第一个变量就是从 m-1m-1 个一兀线性回归方程氏二即 Z(i=12,m-1)(2-3-35)中找一个回归平方和最大的方程。这里为了符号明确起见，以卅记作回归系数，上标(1)(1)表示第一步计算。由变换性质 1 1 可知，对 R R(0作了 L L.变换后，有i(2-3-36)(2-3-37)因此 Z Z.的偏回归平方和为i51比1712Y-1仏1IIIIF-1,1111y盘-n,爲1T7ffljw-L(2-3-34)选变量具体步骤如下：Yu精品文档精品文档由第二章偏回归平方和的意义可知， 此一

5、元线性回归方程对应的剩余平方和为(2-3-39)只要找出齐叫 i=1,2,i=1,2, ,m-1m-1 的最大值即可。则只需对VK1(1)计算Fki，对给定的 a a,当Fki(1) Fa(1，n n-2)时，引入变量Zk1。引入第一个变量的步骤可总结如下R(1)=Lk1R(0)=C(1b1) 对 i=1,2,.,m-1i=1,2,.,m-1，计算由于 F F 是叭的单调递增函数，故要找耳比 i=1,2,i=1,2, ,m-1m-1 的最大值,从而对 Z ZI的系数作显著性检验的 F F 比是令2 2)精品文档2 2选第二个变量这一步相当于从 m-2m-2 个方程i=i2，m-1,iMj(2-

6、3-41)中去选一个方程出来，使加入的 Z Z.具有最大的偏回归平方和。由变i换性质 1 1 可知，这时需对 R R(0作 Lki变换，故不论选那个方程，均需对 R(0)R(0)作 Lki变换，因而引入 Z Zki后就已作好这一变换。与选第一个变量相似，这一步的计算可如下进行：(1(1)对 i=1,2,i=1,2, ,m-1,2m-1,2 比计算L Lk2RdRd)；如果 FXFagn-3)FXFagn-3)，则选变量工作结束，这时只能建立元线性回归方程。3 3.当引入第二个变量 Z Zk2后,需对原已引入的变量 Z Zki的显著性重新作k2k1检验。由于已对 R R(0作了变换 L Lk1，

7、L Lk2,故从 R R(2可直接写出二元线性回归方2)令3)计算(4(4)当Fi(2) Fa(1，n n-3)，引进变量Zk2，并对R(1作变换Lk2，且记R(2)= =精品文档程：精品文档2誰=盘吃咼+止:忆也=+厂空比？(2-3-44)此时 Z Zk1的偏回归平方和为瞥)=同少(2-3-45)此二元线性回归方程的剩余平方和为因而对 Z Zki作检验的 F F 比为耳严=务仗一可(2-3-47)了曲酬若 F F2(2)F(1,m-3)F(1,m-3),则保留，可进一步考虑选入新变量;若F2(2)VF(1,(1,n-3)n-3)则应剔除 Z Zki,即只需要建立含 Z Zk2的回归方程。根据

8、变换性质 2 2 和 3 3 可k1k2知，为此只要对 R R(2作 Lki变换即可。综上所述，这一步的步骤是：若 F2(2)F(1,n-3)，贝烤虑引入第三个变量；若 F2(2)VF(1,n-3)，贝V对 R(2作变换22k14 4.一般地，假设经过l步变换后引人了变量 Z ZkiZ Zk2ZZkl，紧接着又引入了Z Zkl+1，其中 k k1k k2kki+i互不相同，而 R R(o)经过 L Lki，L Lki，L Lk/+1后变成3)(2)计算呼)=务仗-可精品文档接下去我们需对原已引入的变量 z zki,z zk2，z zkl重新检验，看有无需剔除的，步骤如下：其他变量要剔除；若片严

9、兔（1,7-21,7-2），贝振下去考虑能否引入新变量。引入新变量步骤如下：工见局，虬 1（2-3-50）(2)（3）计算 F 严）=曲；吋认-_2）（2-3-51）（4）若F严）瞪（1 1 用7-3），则对 R R（l+1l+1作变换Lk，再考虑旧变量是否要剔除；若用7-刁则结束选变量的工作。如果选上 Z Zki，Z Zk2，Z Zkl变量后，没有变量可剔除，也没有变量(1)（i+i）沪1,2，.(2-3-48)(1)(2)(4)呼咱；若月尸叫兀（1 1 卫- -；-2-2），则对 R R（l+1l+1作变换 L Lk k，重新考虑还有无令即精品文档可引入，且 R R(o)经过变换 L Lk

10、i,L Lk2，L Lkl后变成 R(l)=R(l)=(尸) )，贝【J此时可求出 y y 关于 x xki,x xk2，x xk|的回归方程。按(2-3-24(2-3-24) )式：从而得回归方程=o 十给心1 1十十如1%1%此方程对应的忌=此彳务=鹅(2-3-53)复相关系数:R=J】-心(2-3-54)三、举例例2-3-2-3-1 1表是某种水泥凝固时放出热量( (卡/ /克) )与水泥四种成分: :3Ca3CaO OAIAI2O O3(X(X) )、3CaO3CaOSiOSiO2(x(x2) )、4CaOAl4CaOAl2O O3FeOFeO3(x(x3) )、2CaO2CaOSiO

11、SiO2(x(x4) )含量(%)(%)测定结果，现在我们用逐步回归法建立其关系式。表 2-3-1 某种水泥凝固时放出热量(卡/克)与四种成分关系精品文档式计算偏差平方和的算术根 q(i=1,2,3,4,5)q(i=1,2,3,4,5),结果列于下表:由(2-3-26)(2-3-26)式计算出相关系数矩阵：R R(o)= =10.2286-0.8241-0.24540.73070.22861-0.1392-0.97300.S163-0.8241-0.139210.0295-0.5347-0.2454-0.97300.02951-0.82130.73070.S163-0.5347-0.S2131

12、下面进行选变量与作检验：第一步：上 0 0(这里 l l 表示开始时计算方程中所含变量的个数)首先用( (2-3-38)2-3-38)式计算四个变量的偏回归平方和炉)，i=1,2,3,4i=1,2,3,4得：=0.53992=0.66634=0.28590=0.28590叩=0.67453精品文档即歼盛何叫=0.仍为对其作 F F 检验。由(2-3-40)(2-3-40)式2)=22.797FOIO(1,11)=3.231.0641-0.0109-0.86930.26120.56310.01090.0532-0.11940.97560.02290.8693-0.H940.2S910.1838-

13、0.05050.2612-0.9756-0.1E3E1.0641-0.6331-0.5613-0.56130.0229-0.0505-0.05050.68310.0275第三步：l=2=2故可引入 X X4，对 R R(0作 L L4变换,由(2-3-30)(2-3-30)式，得 R R(1)= =0.9389-0.0102-0.81690.5291-0.01020.0534-0.1105-0.11050.0172-0.8169-0.11050.9991-0.51040.24540.9730-0.0295O.E2130.529110.01720.0172-0.51040.3254第二步：1=1

14、=1i=1,2,3 计算眄，由(2-3-42)式得fC2)=0.2979=0.0055,磚)0.2607即=max(2)=0.2979对其作 F F 检验，由(2-3-43)(2-3-43)由(2-3-30)(2-3-30)式得R R(2)= =故可引入 X X1，对 R R作L1变换,精品文档由于引入新变量，需先对 x x4重新作检验，由(2-3-45(2-3-45) )式得故保留 x x4，继续引入新变量对 i=2,3i=2,3 计算叶)，由(2-3-50)(2-3-50)式得冬=0.00936=0.00852叩=mamax x忆叫Q=2,Q=2,R R对其作F F检验， 由(2-3-51

15、)(2-3-51)式1.06630.2044-0.89370.46060.56770.204418.78018.7803 3-2.242318.32260.43040.89372.24230.02132.37140.00090.460&18.3226-2.371418.9401-0.2632-0.5677-0.43040.00090.26320.0177第四步：1=31=3由于引入了 x x2，故需对 x xi，x x4重作检验，首先由(2-3-48)(2-3-48)式对 i=1,i=1,4 4计算卩严=0.4385(-0.6S31)31.0641对其作 F F 检验， 由(2-3-4

16、7(2-3-47) )式得故引入 x x2，对 R R(2作 L L2变换:精品文档咱二普棉叫(j=1,4)故对丁严作 F 检验，由式(2-3-49)得皆曙()=巴竺注记？0.0177F3(3)0.10(1.10)=3.28故无变量剔除。注意，在这一步的剔除检验中所用I实际为1-1-1。罗)=Q6S5=0.444721.0551其中叭卩)最小，故对它作 F F 检验。由(2-3-49)(2-3-49)式0-5741=0.312371.0551精品文档再考虑能否引入新变量，计算罗）（i=3,4i=3,4）由（2-3-502-3-50）得=（OOW=0.00361030.3133C2）=（-oW=00365940