向量共线的条件与轴上向量坐标运算ppt课件

1、 引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。或互相平行。 应注意，这里说的向量平应注意，这里说的向量平行包含向量基线重合的情形，行包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点与两条直线平行的概念有点不同不同a ab bc cd d由向量平行和向量数乘的定义可以推知：平行向量基本定理平行向量基本定理 假假如如 ，那么那么 ；反之，假如；反之，假如 ( ) ( ) ，则存在一个实数则存在一个实数 ，使，使 ba ababobba

2、为什么要为什么要求求ob 假如 那么 假如 那么 ，假如 的长度是 长的一半，并且方向相反，那么 ba2;babc2bcbddbbd21abb2b2cdb21a aa aa aa a1 10 0a a或或如果向量如果向量 的单位向量记作的单位向量记作 ，由数乘向量定义可知，由数乘向量定义可知 0 0a a0 0a aa aaa aaa0 0a a单位向量单位向量 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确（）（）（）（）（）（1向量向量 与向量与向量 平行，则向量平行，则向量 与向量与向量 方向相同方向相同或相反。或相反。ABCDABCD（2向量向量 与向量与向量 是共线向量则是共线向量则A、

3、B 、C 、D四点必在四点必在一条直线上。一条直线上。ABCD（3若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。零向量。（4起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。（） CABMN证明：证明：M、N分别是分别是 AB、AC边上的中点边上的中点例题讲解一）例题讲解一）例例1、如下图，、如下图， 、 是是 的中位线。求证：的中位线。求证： , 且且 MBCMN21BCMNABCNACAMABAM21,21ABACAMANMN2121BCABAC21)(21BCMNBCMN2

4、1,例题讲解二）例题讲解二）例例2、知、知 试问向量试问向量 与向量与向量 是否是否平行平行并求并求 .2,3ebeaabba :解：由解：由 得得 ，代入，代入 得得 因而，因而， 与与 平行且平行且eb2be21ea3ba23a b23:ba定理的实质是向量相等，即存在唯一实数 使 ，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助实数 沟通了两个向量 与 的联系ab)(oa ba轴的概念轴的概念 规定了方向和长度单位的直规定了方向和长度单位的直 线叫做轴线叫做轴已知轴已知轴 取单位向量取单位向量 ,使使 的方向与的方向与 同方向，根据平行同方向，根据平行的条件，对于轴的条件，对于轴 上任意向量上任

5、意向量 一定存在唯一数一定存在唯一数 ，使，使反过来，任意给定一个实数反过来，任意给定一个实数 ，我们总能作一个向量，我们总能作一个向量 ，使它的长度等于这个实数使它的长度等于这个实数 的绝对值，方向与实数的绝对值，方向与实数的符号一致。的符号一致。lelexexa xaxl轴和数轴轴和数轴 的区别的区别想一想想一想le当 与 同方向时， 是正 数当 与 反方向时， 是负数aaexex 给定一向量 能生成与它平行的所有向量的集合 这里的向量 叫做轴 的基向量。 叫做 在 上的坐标或数量） eRxexelxal（其中（其中 ） exa 轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量相等的条

6、件是他们的坐标相等； 轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设设 于是于是 ，得，得 假如假如 那么那么 反之，假如反之，假如 ，那么，那么 ,21exbexa, ba 21xx 21xx , ba exxba)(21OABCle设设 是轴是轴 上的一个基向量上的一个基向量,显然，显然， ， 与与 绝对值相同，绝对值相同，符号相反，即符号相反，即eleABAB eBABA0 BAABBAABACBCABeACeBCeABeACeBCAB)(因为因为 oe 所以所以ACBCABOx 设设 向量向量 平行于平行于 轴，以原点轴，以原点 为始点作为始

7、点作 则点则点 的位置被向量的位置被向量 所唯一确定，由平行向量基本所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数定理知，存在唯一的实数 使使 ，数值，数值 是点是点 的位置向量在的位置向量在 轴上的坐标，也就是点轴上的坐标，也就是点 在在 轴上的坐标。轴上的坐标。axaOP PaxexOP xPxPxPxa在数轴在数轴 上，已知点上，已知点 的坐标为的坐标为 ，点，点 的坐标的坐标为为 x1xAB2x12xxAB即即数轴上两点距离公式数轴上两点距离公式为为12xxABoA1x302xBPxOBOAOBAOAB12xx 于是得到于是得到 例题讲解三例题讲解三 例例3、 已知数轴上三点已知数轴

8、上三点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是4、-2、-6，求求 的坐标和长度。的坐标和长度。CABCAB,O4-2-6l解：解：, 64)2(AB66 AB, 4)2(6BC44 BC,10)6(4CA1010 CA基础知识形成性练习基础知识形成性练习ab（1） ebea6,3（2）ebea31,8ebea31,32（3）ebea32,43（4）得得aee3)6(21ba21（1） 由由（2）aee8)16(21由由得得ea21（3）aee32)31(2由由得得ba2（4）由由得得aee43)32(89ba89答案：答案：3、在数轴上，知、在数轴上，知 求求,BCABAC（1） ; 5, 3BC

9、AB（2）; 7, 5BCAB;23, 8BCAB（3）（4）; 8, 7BCAB (1) AB+BC=AC AC=3+5=8 (1) AB+BC=AC AC=3+5=8 (2) AC=AB+BC=5+(-7)=-2 (2) AC=AB+BC=5+(-7)=-2 (3) AC=AB+BC=(-8)+23=15 (3) AC=AB+BC=(-8)+23=15 (4) AC=AB+BC=-7+(-8)=-15 (4) AC=AB+BC=-7+(-8)=-154、已知数轴上三点、已知数轴上三点 、 、 的坐标分别为的坐标分别为 求求 、 、 的坐标和长度的坐标和长度ABC, 5 , 2, 8 ABB

10、CCA设设 、 、 的坐标分别为的坐标分别为 ABCxxx3,2, 16)8(212xxAB6AB7)2(523xxBC7BC135831xxCA13CA 提提 高高 练练 习习已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 不共线，假如不共线，假如 求证：求证： 三点共线三点共线1e2e,3221eeAB,23621eeBC.8421eeCDDBA,ABeeeeeeeeeeCDBCABAD6)32(6181284236322121212121向量向量 与向量与向量 共线，且有共同起点共线，且有共同起点 故故三点共线。三点共线。 ADAB,ADBA,解：解：变式引申变式引申已知非零向量已知非零向量 和

11、和 不共线，欲使不共线，欲使 和和 共线，是确定共线，是确定 的值。的值。1e2e21eek21eke k解解 ：因为：因为 和和 共线共线 21eek21eke )(2121ekeeek所以存在实数所以存在实数 ，使，使 21) 1()(ekek那么那么由于由于 与与 不共线，不共线，1e2e010kk1k只能有只能有 ，那么，那么向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数 使使 = = a本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。同学们要认真

12、体会这些思维方法，提高理性思维的能力。轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找唯一实数看能否找唯一实数 ，使两向量相等，把向量平行的，使两向量相等，把向量平行的问题转化问题转化 为寻求实数为寻求实数 使向量使向量 相等问题。相等问题。 b)(oa 作业

13、：练习册作业：练习册已知向量已知向量 ，其中，其中 不共不共线，向量线，向量 问是否存在这样的实数问是否存在这样的实数 ，使向，使向量量 与与 共线？共线？212132,32eebeea21,ee2192eec,badc解：假设存在这样的实数解：假设存在这样的实数 使使 与与 共共 线线 ， ,badc)32()32(2121eeeebad21)33()22(ee要使要使 与与 共线，则应共线，则应有有实数实数 ，使，使 即即ckd kdc212192)33()22(ekekee由由kk9332222得得故存在这样的故存在这样的 使使 与与 共线共线,dc 某人骑车以每小时某人骑车以每小时a公

14、里的速度向东行驶，感到风从正北公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来，公里时，感到风从东北方向吹来， 试问实际风速和风向。试问实际风速和风向。vaa解解: :设设 表示人以每小时表示人以每小时 a a 公里的速度向东行驶的向量。在公里的速度向东行驶的向量。在无无 风时此人感到的风速为风时此人感到的风速为 。设实际风速为。设实际风速为 , ,那么此那么此人所人所 感到的风速向量为感到的风速向量为 . .设设 ，由于，由于 从而从而aaavaOBaOA2,PAOAPOavPABOPAv这就是感到这就是感到从正北方向从正北方向吹来得风速。吹来得风速。 由于由于 ，从而，从而 于是，当此人的速度是原来的于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是