微专题6：椭圆的离心率问题

1、微专题6:椭圆的离心率问题、单选题221.已知椭圆x2%1(aab右顶点重合的任意一点,线AC,BD（如图），且两切线斜率之积等于1965A.344B.玄9C.1623.已知椭圆a41ab0的右焦点和上顶点分别为点bFc,0bc和点A,b0）的左、右焦点分别为Fi,F2,P为椭圆上不与左I,G分别为PF1F2的内心和重心,当IGx轴时,椭圆的离心率为B.A.2.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运全满贯”

2、（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切则椭圆的离心率为（）直线l:6x5y280交椭圆于P,Q两点，若F恰好为"PQ的重心，则椭圆的离心率为（）第1页共25页A.C.22直5B.D.J32554.设椭圆2b21ab0的焦点为F1,F2,P是椭圆上一点，且FiPF2F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，当R4r时，椭圆的离心率为A.5.)45已知Fi、F2是椭圆和双曲线的公

3、共焦点,D5p是它们的一个公共交点，且F1PF2则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为3C.2D.2.326.已知Fi(c,0),F2(c,0)为椭圆与a2匕1的两个焦点，P（不在X轴上）为椭圆上b一点，且满足PFiPF2c2,则椭圆离心率的取值范围是（B.113,2c3C.彳13D.0，下7.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2,点Q为椭圆上一点.dQFiF2的重心为G,内心为I且GIF1F2,则该椭圆的离心率为（B.C.二、填空题8.已知椭圆b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆第2页共25页C上不与左右顶点重合的动点，设I,G分别为PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着

4、点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为.9.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“DandelirnoT')；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球Oi,球O2的半径分别为3和1,球心距离OO28,截面分别与球O1，球02切于点E,F,(E,F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于.2210.设椭圆C:今七ab1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,P是椭圆上不同于A,a22B的一点，设直线Ap,Bp的斜率分别为m，n,则当b3痴而3(ln|m|ln|n|)取得最小值时，椭圆C的离心率是.2

5、211.已知椭圆C:、与1(a>b>0)的右焦点为F,经过坐标原点O的直线交椭圆ab于A.B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O,则椭圆的离心率的取值范围为一.2212 .已知斜率为1的直线l经过椭圆M:x241的左焦点，且与椭圆M交于A,ab第3页共25页B两点，若椭圆M上存在点C,使得ABC的重心恰好是坐标原点，则椭圆M的离心率e.13 .已知中心在原点的椭圆C的一个端点为A73,0,直线l：y2x1.若C上存在相异的两点M,N关于l对称，则椭圆C离心率的取值范围是.214 .已知点P为直线axy40上一点，PA,PB是椭圆C:与y21

6、a0的两条切a线，若恰好存在一点P使得PAPB,则椭圆C的离心率为.2215.已知点P是椭圆与与1(ab0)上一点，过点P的一条直线与圆abx2y2a2b2相交于A,B两点，若存在点P,使得|PA|PB|a2b2,则椭圆的离心率取值范围为.2216 .已知椭圆二与1ab0左顶点为A,O为坐标原点，若椭圆上存在点Mab使OMMA,则椭圆的离心率e的取值范围是.17 .已知Fi,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2小4则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.222218 .已知椭圆G:与yr1(abl0)与双曲线C2:与7T1(a20b0)有相同的焦a1bia2b2点F1

7、、F2,点P是两曲线的一个公共点，e，e2分别是两曲线的离心率，若PF1PF2,则4向22的最小值为.第4页共25页参考答案1.A【分析】结合图像，利用P点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件GIx轴，得到I点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到胃的比值，再结合MIN与MPE相似，即可求得I点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于a,b,c的关系式，从而求得椭圆离心率.【解析】如图，令P点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO,显然G点在PO上，连接PI并延长交x轴于点M,连接GI并延长交x轴于点N,GIx轴，过点P作PE垂直于x轴于点E,设点P（x0,y（

8、）,Fi（c,0）,F2（c,0）,则OEx（）,PEV。,因为G为PF1F2的重心，所以G仔,母），因为igx轴，所以I点横坐标也为1|on与，。因为PM为F1PF2的角平分线，则有|PFiPF2|FiN|INF2I（FO|ON）（OF2ON）2ON又因为IPF1+PF2I2a,所以可得|PFi|a子PF2|a三，。2x0第5页共25页又由角平分线的性质可得,F1Ml_|PF1f2mI=|pf2X。aF1M_cOM所以得OMCX0所以MN所以INPE因为SPF1F2ONMNME1gp-(2a2c)OM3ac(ac)Xo3aMEOE(ac)y0X0aF2McOMOM-(PFi|PF2|IF1F

9、2)INI-|FiF2|PE(3ac)Xo(ac)y°；(2c)y°,解得c1,所以答案为A.2a33ac【点评】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于a,b,c的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用,属于难题.椭圆离心率求解方法主要有:(1)根据题目条件求出a,c,利用离心率公式直接求解.(2)建立a,b,c的齐次等式，转化为关于e的方程求解，同时注意数形结合.2.B【分析】分别设内外层椭圆方程为y2b71(ab0)、/、2,、2(ma)(mb)1(m1),进而设切线AC、BD分别为yk(xma)、yk2Xmb,联立方程组整理并结合0求k1、k

10、2关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【解析】若内层椭圆方程为11(ab0),由离心率相同，可设b外层椭圆方程为/、2(ma)(mb)21(m1),第6页共25页A(ma,0),B(0,mb),设切线AC为yk(xma),切线BD为yk?xmb.yki(x22xy22abma)1,整理得(a2k；,2.23.224.2b)x2mak1xmak12,2ab0,由知:(2ma3k2)24(a2ki2b2)(m2a4kja2b2)0,整理得k；b2,a1myk?xmb2同理，x2y2,可得k；by(m21),21aab2仕屈）2rrcabaV-a1ab4,9、2b29

11、-4(1)，即f，故ea416a216故选：B.【点评】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.3. C【分析】由题设Fc,0,A0,b,利用F为APQ的重心，求出线段PQ的.3cb.、一5b.一.中点为B3C，b，将B代入直线方程得9c5b280,再利用点差法可得2a25bc,结合a2b2c2,可求出a,b.c,进而求出离心率.【解析】由题设Fc,0,A0,b,Px/,Qxz*,则线段PQ的中点为Bx0,y0,由三角形重心的性质知AF2而，即（c,b）2%c,y0,解得:3cbx0力y。二22第7页共25页即B

12、当，。代入直线l：6x5y280,得9c竺280.222又B为线段PQ的中点，则xiX23c,yiy2b,2222又P,Q为椭圆上两点，斗与i刍丝1,abab以上两式相减得""2"&ayiy2vy2b0,所以kpQyiy2XX2b23KX2ViV2由及a2b2c2,解得:2下F小化简得2a25bcab5a25_b4,即离心率e.c25故选：C.【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c,从而求出e；构造a,c的齐次式，求出e；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲

13、线的统一定义求解.4. B【分析】利用正弦定理得到R逃，再利用椭圆的定义，设PFim,3PF2n得到mn2a结合余弦定理4csinFiPF23i2sinm2n22mncos,得到'3'2a23c2ac0,即得解.【解析】椭圆的焦点为Fic,0,F2c,0,FiF22c根据正弦定理可得2RIFF2I2c4.3c第8页共25页二R23c313cR.46设PFim,PF2n,贝ljmn2a,由余弦定理得4c2m2n22mncos-322mn3mn4a3mn,224acmn3SF1PF21.3a2c2mnsin-233又SF1PF213cacmn2cr26.塞才02百ac即2a23c2

14、ac0,362故3ee20,解得：e鼻或e1（舍）3故选：B.【点评】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题5.A2【分析】设椭圆方程为x2a2%1(ab0),双曲线方程为b1(m0,n0),焦距为2c由椭圆和双曲线的定义，不妨设P在第一象限，求出|PE|,|PF2|,(F1,F2为焦点)，在PF一中利用余弦定理,求出a,m,c关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.22【解析】设椭圆方程为541(ab0),ab22双曲线方程为与41(m0,n0)mn第9页共25页左右焦点分别为E(c,0),F2(

15、c,0)22,222cabmn不妨设P在第一象限,PF1PF22aPF1PF22mPF1PF2在PF1F2中,|FiF2|2|PFi|2amam'|PF2I22|PFi|PF21cosF1PF2,22即4c2a23m2,当空-4cc13设椭圆和双曲线的离心率分别为0©,二二4,eie27设12cos1,cos1,避2sin.3,0sine12e,2一”11-24取053,&e:2cos国sin/in(小当丁时，:取得最大值为述.60e23故选:A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题.6. A【分析】首先根据椭圆定义

16、可知PF1PF22a,根据余弦定理2222PF1PF22PF1PF2cosF1PF2F1F24c,再根据|PFiPF2cosF1PF2c2,根据这三个式子的变形得到2cosF1PF2r21和2a23c2a2,最后求离心率.2a3c【解析】由椭圆的定义，得IpfJ|PF22a,平方得第10页共25页PFiPF22PFiPF24a2.由福可c2,PFiPF2cosF1PF2c2，F1PF2是锐角,由余弦定理得PFi2PF222PFiPF2cosF1PF2F1F2-得2PFiPF21cosF1PF24a24c22由,得8sF1PF2F1PF2是锐角,2c021,2a3c'即2a23c20且c

17、22a23c2,2e.2由可知PFi|2|PF2|26c2由可得|PFPF2|2a23c2,PF1PF2PFi|IPF2_2-22a3ca2，即a23c2，e1则椭圆离心率的取值范围是故选：A.【点评】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和尊形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于a,c的不等式关系.7. A【分析】由题意，设Q(xo,yo),由G为F1QF2的重心，得G点第11页共25页坐标为(9，1)，利用面积相等可得，1x2c?M：(2a+2c)|4|,33223从而求椭圆的离心率.22【解析】椭圆与七1a>b>0的左右焦点分别为Fi

18、(-c,0),F2ab(c,0),设Q(Xo,y°),G为F1QF2的重心,.G点坐标为G(§,-y0-),33.GT瓦，则GT/而，.I的纵坐标为,3又.心巳|+&52|=22,下干2|二25iS,、FiQF2=3?|FF2|?|y)|,又.I为FiQFz的内心，.|比|即为内切圆的半径，3'内心I把FaFz分为三个底分别为4F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，.S,fiqf2=1(|QFi|+|FiF2|+|QF2|)|?|,即；x2c?0y=2(2a+2c)吟|,.2c=a,椭圆C的离心率为e=：,、一、i.该椭圆的离心率-，2故选：A.【点评

19、】的性质、算能力,本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计属于难题.8.【分析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：第i2页共25页GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为w,再利用等面积法列3ac式解方程可得：C1.a3【解析】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，设P在第一象限，坐标为:设内切圆与边的切点分别为Q,N,A,如图所示：（%,V。）连接

20、PO,则重心G在PO上,连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N,则GN，x轴，作PE垂直于x轴交于E,可得重心G（最，半）所以I的横坐标也为|ON|由内切圆的性质可得，PG=FA,FiQ=FiN,NF2=AF2,2x0所以PFi-PF2=(PG+QFi)-(FA+AF2)=FiN-NF2=(FiO+ON)(OF2ON)=2ON而PFi+PF2=2a,所以PFi=a胃，PF2=aga&由角平分线的性质可得瞿瞿3J0M，所以可得OM詈PF2MF2x。cOM3aaa3第i3页共25页所以可得MN=ON-OM上/acXo33a3a所以ME=OEOM=Xoa3aCXo3a3a所以合

21、MNOEac3ac即IN111一一S.,PF1F22(PF1+F1F2+PF2)IN2F1F2PE,即3(2a+2c)ac3acVo所以整理为：a3,故答案为：3.【点评】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于a,b,c的齐次式，化简可得.本题属于难题.9迪5【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率.【解析】如图，圆锥面与其内切球。1,。2分别相切与A,B,连接O1AQ2B,则O1AAB,O2BAB,过。2作OzD，O1A垂直于D,连接O1EQ2F,EF交O1O2于点

22、C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为.第14页共25页在飞小口.中，DOi=3-1=2,o2D=，82-22=2压.costQD215i55O1O284vO1O28.CO1=8-O2CAEO1C-AFO2C,8-O2C_O2CO1EO2F解得O?C=2-CF=O2C2-FO；=.22-12=.3即cos,-里-"3O2C23_则椭圆的离心率e=cos7=_27=25cos泛1554【点评】双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos与圆锥母线与轴的夹角的余弦第15页共25页cos之比，即e=cos.cosv10 .2【分析】设出P的坐标，得到mn(用a,b表示)，求出a-

23、b令azb-an2a-bnmIna-bnInmIna-b*7屈63t21L231L2一31LfHu贝1利用导数求得使ft取最小值的t,可得ab2,则椭圆离心率可求【解析】解:a,0,Ba,0,设P（x。，yo）,则y02,222baXoy。y。mnxoaXo2y。2Xob2a22一33InmInnb3mnmn23b2-2a2b2a61nba3；6lna，1,则-23_2ft-t2t3t6lnt3322t4t3t6t_2一t22t3t当t2时，函数ft取得最小值f2.故答案为：交.【点评】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值.11 .(,1)第16

24、页共25页【分析】设AB方程为ykx,联立方程组求出A,B坐标，进而得出M,N的坐标，由OMON列方程得到关于k的方程，令此方程有解得出a,b,c的关系，从而得出离心率的范围.【解析】设直线AB的方程为ykx,ykx联立方程组x2y2，消元得(a2k2b2)x2a2b2,1-12.21aba/abA(_a2k2b2'abk、ababk、一a2kb2)，(a2kb2，a2kb2)，又C(c,0),M,N是AF,BF的中点,一,abcabk、abcabk、M()N()2-22O、2-222-22n、2-222.akb22akb2,akb22,akb.以MN为直径的圆恰经过坐标原点O,OMO

25、N,abc、，abc、abkabk()()2,a2k2b222a2k2b222.a2k2b22、a2k2b222.22.2.2cababk即44(a2k2b2)4(a2k2b2)，222222222c(akb)ababk0)222222222422224(acab)kabbcb)即a(cb)kb)丫存在符合条件的直线AB,使得OMON,关于k的方程a2(c2b2)k2b4有解,2222222cb)即cac)2ca)又e1,-e1.2故答案为：")第17页共25页【点评】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构

26、造出关于e的不等式，从而求出e的范围.12.且5【分析】设点A,B,C坐标分别为x,yii1,2,3,则根据题意有x1x2x301 23c,分别将点A,B,C的坐标代入椭圆方程得yiy2y30空警J,然后联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理得到XX2和ab2yiy2的值，代入衅誓J得到关于a,b,c的齐次式，然后解出离心ab2率.【解析】设A,B,C坐标分别为为,i1,2,3,因为&ABC的重心恰好是坐标原点，则X1x2x30V1y2y30'VVV22则y3Iyi,代入椭圆方程可得一1,22x1"A2.2 1其中a2b2，所以华誓1血£1ab22.3 1ab因

27、为直线l的斜率为1,且过左焦点，则l的方程为：xyc,xyc联立方程x2y2消去x可得：a2b2y22b2cyb40,221ab所以yy22bc2,丫佻abb4第18页共25页c44所以X1X2yicy2cyiy2cyy2c22ab将代人得e”，从而e当故答案为：-f【点评】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时，注意A,B,C三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用13.55丁122【分析】由题意，设椭圆C:-y-10,3,MXi,yi,NX2,y2,322M，勺中点为PX0,y0，由"，在。内，可得不等式告出从而得到关于的不等式，解不等式可得的取值范围，从而求得离心

28、率的范围.22【解析】由题意，设椭圆C:10,3,MXi,yi,NX2,y2,32222M,N的中点为PX0,y0,则十正1,2五1,两式相减得,XiX2yiV2y。一XiX2XiX2yiy2yiy20,而X。3，所以，MN所在直线的斜率kMNy2yixx2X2Xi3yiy2J，由M,N关于l对称，直线MNl,故X03y01-3，又PX),Y0在l上,所以y°2X01，联立与的方程，解得,3X0-,V0；263第19页共25页2 2由题意，PX0,4在C内，可得包迎1化简4228330,即33,、11232110,解得0万或万.令椭圆C的离心率为e,当0|时，C的焦点在x上，e2即3

29、3e2,故033e2：,所以e1;22当?时，C的焦点在y上，e2二，即二，故岛9,所以叵e1.1e1e211由于迤e,所以c的离心率的取值范围是李,1.11211故答案为:55.TT1【点评】本题考查椭圆与直线方程、离心率等综合知识以及推理论证与运算求解能力.14.立3【分析】首先设P（m,n）,过点P切线为ynk（xm）,根据直线与椭圆相切，联立0得到（a2m2）k22mnk1n20,因为PAPB,得到k1*21,即m2n21a2.从而得到（0,0）到直线axy40的距离为6T,利用点到距离的公式即可求出a6,再求离心率即可.【解析】设P（m，n）,过点p切线为ynk（xm）,由题知：第2

30、0页共25页ynk(xm)联立x22(k2a21)x22ka2(nkm)xa2(nkm)210,y1a因为直线与椭圆相切，所以=4k2a4(nkm)24a2(k2a21)(nkm)210,整理得：(a2m2)k22mnk1n20.设切线PA,PB的斜率分别为K,k2,因为PAPB,所以k/k2=-2n-1,即m2n21a2.am所以点p在以(0,0)为圆心，jTm为半径的圆上，即(0,0)到直线axy40的距离为行7.d/2«21,解得aV3.一a1又因为b1,所以c3,3故答案为：上【点评】本题主要考查离心率的求法,同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.15.【分析】设p%,y

31、。，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得|PA|PB|b2,a2曲题意得到a与2b2,据此求得离心率的取值范围.xx0tcos【解析】设PM,y0,直线AB的参数方程为.，（t为参数）yy0tsin第21页共25页代入圆x2y2a2b2,化简得：t22X0COSy0sintx2y2a2b20,22222222|PA|PB|也|x2y2a2b2a2b2x2y2,h-Xoy2b2,a2,|PA|PB|b2,a2,丫存在点P,使得|PA|PB|a2b2,2,22ab3b,即a2>2b2,22a<2c,病2，且e1,2故答案为:【点评】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题,2