2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第十六讲 锐角三角函数

1、2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1单调性；2互余三角函数间的关系；3同角三角函数间的关系平方关系：sima+cos2a=1；商数关系：tga=，ctga=；倒数关系：

2、tgactga=1例题求解】【例1】已知在AABC中，ZA、ZB是锐角，且sinA=,tanB=2,AB=29cm,ABC思路点拨过C作CD丄AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA=,tanB=,设CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解题的关键是求出m、n的值.注：设ABC中，a、b、c为ZA、ZB、ZC的对边，R为AABC外接圆的半径，不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1)S二丄besinA=丄acsinB=丄absinC；ABC222（2）.【例2】A.如图，在ABC中.ZACB=90°,ZABC=15°,BC=1,则AC=()B.C

3、.0.3D.思路点拨由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化.注：（1）求（已知）非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形.（2）求（已知）锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换【例3】如图，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,过BC的中点D作DE丄AB于E,连结CE,求sinZACE的值.思路点拨作垂线把ZACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比.【例4】如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosZDAC,(1) 求证:AC=BD；(2) 若sinC=,BC=12，求AD的长.思路点拨(1)把三角

4、函数转化为线段的比，利用比例线段证明(2)sinC=，引入参数可设AD=12，AC=13.【例5】已知：在RtAABC中，ZC=90°,sinA、sinB是方程的两个根.(1) 求实数、应满足的条件；(2) 若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于RtAABC中两锐角A、B的正弦？思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件.学历训练1. 已知a为锐角，下列结论sina+cosa=l；如果a>45°，那么sina>cosa；如果cosa>，那么a60°；.正

5、确的有.2. 如图，在菱形ABCD中，AE丄BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为3. 如图，ZC=90°,ZDBC=30°,AB=BD，利用此图可求得tan75°=.4化简(1)=.(2)sin2l°+sin22°+sin288°+sin289°=.5身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（）A.甲的最高B.丙的最高C.乙的最低D.丙的最低学状甲乙丙放出风筝线长（H1）10010Q90线与地面夹角（°）4045606. 已知

6、sinacosa二，且0°<a45。则coa-sina的值为（）A.B.C.D.7. 如图，在ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,D是AC的中点，则ctgZDBC的值是（）A.B.C.D.8. 如图，在等腰RtAABC中.ZC=90°,AC=6，D是AC上一点，若tanZDBA=，则AD的长为（）A.B.2C.1D.9. 已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值.10. 如图，D是厶ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE丄BC于E,若BD=8，sinZCBD=，求AE的长.11. 若0°<a<45&

7、#176;，且sinacona二，贝Vsina=.12. 已知关于的方程3x2-4x-sina+2（1-cosa）=0有两个不相等的实数根，a为锐角，那么a的取值范围是13. 已知是AABC的三边,a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为.14. 设a为锐角，且满足sina=3cosa，则sinacosa等于（）ABCD15如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A2BC1D16.如图，在ABC中，ZA=30°,tanB=,AC=,则AB的长是(ABC5D17.己在ABC中，a、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对

8、边，且c=，若关于的方程（5、；3+b）x2+2ax+（5*3-b）=0有两个相等的实根，又方程的两实根的平方和为6,求厶ABC的面积.18. 如图，已知AB=CD=1,ZABC=90°,ZCBD°=30。，求AC的长.19. 设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断与的关系，并证明你的结论.20. 如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线滚动.(1)当厶ABC滚动一周到A1B1C的位置，此时A点所运动的路程为,约为(精确到0.1,n=3.14)(2滚动240°,C点的位置为C",ABC滚动480°时，A点的位置在A&quo

9、t;,请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(a+B)=(tana+tanp)三(1-tanatanp)，求出ZCAC"+ZCAA"的度数.参考答案固锐角三角函数【例题求解】145BJD=r?=孚加，二AD=a/AC2_CI?=Z(13yn)2(5m)212zw,从而得AB=AD+BD=12m-ym=2Z£鲁耐，由29=ym,得耐=2,CD=10,Sg=*ABCD=145.选B作ZBAD=15°,交BC于D,则AD二BD，ZADC=30°.过E作EF±BD于F.设BE=a.则BD=CD=2Qa,BC=4y?aDF=EF=QsCF=C

10、D十DF=3竝aCE=2应，cosZECF=sinZACE.(l)tanB=箸,cosZ»C=第，器=器，.AC=BD；由sinC=|,可设AD=】2虹则AC=13趴.CDT.又由(1)知BD=AC=13&,.113上+5方=12,得k=&(1)p、g应满足以下条件4心0sinA+sinB=psinAsinB=g1OVsinAVl0<sinB<l、sin2A+cos2A=1,7><0由此推得0<9<y、p22g=(p24q$0(2)先设方程云+歼+9=0的两个根为a,®若P、g满足(1)的条件，则a"满足<

11、0<a<l,0<<l,故a/必定是L2十处1RtAABC两锐角A、E的正弦.【学力训练】5B6.B7.BOA'1.2.器3.2+V34.cot27-tan27$(2)44豆10.过点D作DH丄BC于H、DH=BDsinZCBD=8X#=6,由DH/AE,得器=y,AAE-yDH=9.r2+y=i11设=贝卜乜=誓，解得工=耳12.0°<a<60°13.由条件得ZC=9O°jr<y14.Dtana-315.A阴影部分是菱形16C17.由=(2£1)2-4(55/1+6)(5箱一6),得/+伊=/=75.ZC

12、=90°,由韦达定理得sinA=¥&nA=舍去)，S仙;5=寺必=&18过C作CE/AB交BD于E,设AC=工,则CB=77r7rT,CE=BCtanZCBE=厶二丄，由DCEsZiDAE,得界=19. 当n=l时，有«4-6>c；当兀=2时，有a2+b2=c2i当川孑3时+证明如下；VsinA=,cosA=,0<sinA<ccl，0VcosAVl,当齐23时，sin”AVsifAcos”AVcos?A.IsinnA+cosnA<sin2A+cos2A=1»即(十)十(*)V】，亦即呂+<1，故/十夕</C”CQ20. 討&4.(2)作C'E±l,A'