2019-2020年高中数学第二章参数方程2.2.1直线的参数方程学案新人教B版选修

1、2019-20202019-2020 年高中数学第二章参数方程年高中数学第二章参数方程 2.2.12.2.1 直线的参数方程学案新人教直线的参数方程学案新人教B B 版选修版选修对应学生用书 P25读教材填要点1.直线的参数方程：经过点 M(x,y)，倾斜角为a的直线 l 的参数方程为000，x=x+tcosa,0(t 为参数).y=y+tsina,k0参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 M 到定点 M 的距离.，x=x+lt2.过点 M(x,y)且与平面向量 a a=(l,m)平行的直线 l 的参数方程为0 0, ,t000y=y+mt0R R当M0M一与a a同向时，七取正数；当M

2、0M与& &反向时，t 取负数-小问题大思维1.经过点 M(1,5)且倾斜角为3 的直线，以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程是什么？提示：根据直线参数方程的定义，易得x=1+1cosn3x=1+21,值？、y=5+1sin*y=5+%.x=T-七，2.已知直线 l 的参数方程为提示：直线 l 的参数方程可化为x=1+tcos，、y=2+tsin(t 为参数),则直线 l 的斜率为何3n43nT故直线的斜率为 tan3n=4=高频考点题组化，名师_点就通对应学生用书 P25直线参数方程的求法例 1已知直线 l 的方程为 3x4y+l=0,点 P(l,l)在直线

3、l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5,4)和点 N(2,6)的距离.思路点拨本题考查直线参数方程的求法及其简单应用解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角a，然后写出直线 l 的参数方程.3精解详析由直线方程 3x4y+1=0 可知，直线的斜率为 4设直线的倾斜角为a,34sina=匚，cosa=755又点 P(1,1)在直线 l 上,因为 3X54X4+1=0，所以点 M 在直线 l 上.4由 1+5t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.5因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式,可得|PN|=；十 22+厂2=；34.直线的参数方程可以从它的

4、普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为yy0=k(xx).其中 k=tana，a为直线的倾斜角，代入上式，得$=池 2任x),a工号，即-二鼻=-y.cosa2cosasina记上式的比值为 t,整理后得fx=x+tcosa,0则 tana3=4所以直线 l 的参数方程为4Jx=1+5 七，3ly=+51.y=y+tsina.I07则 2 乜=tt=12n1.一直线过 P0(3,4),倾斜角 a=4，求此直线与直线 3x+2y=6 的交点 M 与 P。之间的距离将它代入 3x2y6=0得3l3+解得 t=直线的参数方程的应用(直线与圆)fx=1+31,例2已知直线的参数方程为|y=2七，它与曲

5、线(y2)2x2=】交于 AB 两点.(1)求|AB|的长；(2)求点 P(1,2)到线段 AB 中点 C 的距离.思路点拨本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用.解答本题需先求出直线 l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可.精解详析(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2+612=0.设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2所以，线段|AB|的长为i3+2tt|=5：t+t24tt=厂1212127解：x=3设直线的参数方程为y=4+t,t.=6，|MP|t|=11-J25tt3(2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为飞2=亍所以，由 t 的几何

6、意义可得点 P(1,2)到线段 AB 中点 C 的距离为冷 32+厶2157不用求出 A,B 两点的坐标，根据直线参数方程中 t 的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出 AB 及点 P 到 AB 中点 C 的距离.2.已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 a=n.6(1)写出直线 l 的参数方程设 l 与圆 X2+y2=4 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积.y=1+tsin.6x=1+t,2即1ly=1+t.t1t2=2，则点P到 A,B两点的距离之积为 2.X=1+tcos解：(1)直线的参数方程为n6(2)把x=1+t,ly=1+2t代入 x2+y2=4,得

7、(1+t)2+(1+t)2=4,t2+(ij3+1)t2=0,直线的参数方程的应用(直线与圆锥曲线)例 3过点 P（亠尹，0）作倾斜角为a的直线与曲线 x2+2y2=l 交于点 M,N,求|PM|PN|的最小值及相应的a的值.思路点拨本题考查直线与椭圆的位置关系解答本题需要先确定直线的参数方程然后利用参数的几何意义求解精解详析设直线的参数方程为ly=tsina代入曲线方程并整理得3(1+sima)t2+CjlOcosa)t+=0,x=xtcosa，直线的参数方程0,+.中，参数 t 具有明显的几何意义，搞清参数 t 的y=ytsina几何意义是解决此类问题的关键，x=3cosQ,3已知椭圆的参

8、数方程!y=2sinQ心2n），求椭圆上一点P到直线解：由题意，得P(3cosQ,2sinQ)，直线：2x+3y10=0.1|6cosQ+6sinQ10|d=X=2+tcosa,t 为参数,则|PM|PN|=|tj2|=21sin2a所以当 sin2a=1 时，即a=号时,|PM|PN|的最小值为 4 此时a=亍fx=2-31,、y=2+2t的最短距离6 也 sin。10而 6 迈 sin(Q10W-6 迈一 10,6 边一 10,解析：选 C 题目所给的直线的斜率为 2,选项 A 中直线斜率为 1,选项 D 中直线斜率106 边 10+6 迈勺価，飞.d课下们练经典化贵在触类痔通对应学生用书

9、 P27、选择题，x=1+21,1若直线的参数方程为 A?航，则直线的斜率为（）A3BC-2D解析：选 Dky2_31_3=x1=21=2，x=a+1,2直线 l 的参数方程为+、y=b+1,之间的距离为（）A|t1|l 上的点 P对应的参数是，则点匚与 P（a,b）B2|t|1必岁 tj解析：选 C 点 P对应的点的坐标为（a+1,b+t 丿，|PPJ=；a+1a2+b+t】b2=“.J212=,;211J.3.下列可以作为直线 2xy+1=0 的参数方程的是（）x=1+1,A.、y=3+1，x=1t,c.y=32t，X=1t,B.y=52tD.厂x=2+-15ly=5+5tmin为 2，所

10、以可以排除 A、D 两项；B、C 两项中直线斜率均为 2,但 B 项中直线的普通方程为2xy+3=0,故选 C.数).二、填空题5.直线 l 过点 M/1,5),倾斜角是专，且与直线 xy/3=0 交于 M,则|MM|的长为tx=i+2，ly=5+.代入 xy=0,得(1 一-加)t=8+.3.解得|MM0|=11|=10+6 冷 3.答案：10+；36.直线 F=2阮，ly=3+p2t上与点 A(2,3)的距离等于迪的点的坐标是解析：设 P(221,3+边 t)是直线上满足条件的点，则(一 V2t)2+(./2t)2=(边)2,|x=2+1,4.过点(0,2)且与直线互相垂直的直线的参数方程

11、为()ly=2+tB-ly=rC.”=一阮ly=2tD.”=2-3tly=t|x=2+1,解析：选 B 直线化为普通方程为 y=Q3x+l2 寸 3，其斜率气=羽,设所求直线的斜率为 k, 由 kk=1,得 k=故参数方程为x=,，31,y=2t(t 为参解析：直线 l 的方程为1t2=25厂fx=一 4+t,离为寸 2,若该直线的参数方程改写成(t 为参数)，则在这个方程中点P对、y=t应的 t 值为解析：由|PMO|=2知，t=土爲，代入第一个参数方程，得点 P 的坐标分别为(一 3,1)或(一 5,1),再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得 t=1 或 t=一 1.答案：土 1，x=

12、3+at,8直线 1=一 1+4 七过定点x3a解析：消去 t 得 1=4,即一(y+1)a+4x-12=0,则 x=3,且 y=T 时，对于任何 a 都成立.答案：(3,一 1)三、解答题9.直线 1过点 M(1,2),且与向量 a=(3,1)共线.(1)写出该直线的参数方程；(2)直线 12的方程为 2x+y1=0,且 t 交 12于 N,求|MN|.，x=1+31,解：(1)直线 1 的参数方程为c+1y=2t.(2)把 11的参数方程代入 12的方程中,得2(1+31)+2 一 t 一 1=0.3(413、解得 t=5，N的坐标为(一 5，斤.7设直线的参数方程为x=4+半t,2ly2

13、t，点 P 在直线上，且与点 M0(4,0)的距5|MN|2=(9)2+(3)2=90|MN|=310断 l1与 l2的位置关系解：法一：将直线 1勺参数方程化为普通方程，得 y=2x+i；将 12的参数方程化为普通方程，得 y=x2.因为匕k2=2xf-|j=-1,所以两直线垂直.法二：由参数方程知 1与向量 a a1=(2,4)平行，12与向量 a a2=(2,-1)平行.又2X2+4X(1)=0,.1 丄 1,12即两条直线垂直y=3+tsin 乎=3+jt.62(2) 消去曲线 C 中的参数， 得 4x2+y216=0,把直线的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 4、一 3J2+A+

14、|tj2=16,化简为 13 匕+收仃+傀勺)t+116=0.由 t 的几何意义，知|PA|PB|=|tt2|,116|PA|PB|=|t12|=iy.(3)由 t 的几何意义知，中点 M 对应的参数为乎,x=1+21,10-已知直线 1 的参数方程为y=1+41,l 的参数方程为试判11.设直线 1 过点 P(3,3)，且倾斜角为5n丁.(1)写出直线 1 的参数方程；，x=2cosQ,(2)设此直线与曲线 C：门、y=4sinQ设 A,B 中点为 M,求|PM|.解： (1)直线1 的参数方程是(oweW2n)交于 A,B 两点，求|PA|PB|；x=1+21,5x=3+tcos=3620

15、19-20202019-2020 年高中数学第二章参数方程年高中数学第二章参数方程 2 22 22 2 圆的参数方程学案新人教圆的参数方程学案新人教 B B版选修版选修对应学生用书 P28读教材填要点如图，质点以匀角速度w做圆周运动，圆心在原点，半径为 R,记 t 为时间，运动开始时 t=0,质点位于点 A 处，在时刻 t,质点位于点 M(x,y)处，e=wt，e为 Ox 轴正向，x=Rcoswt，到向径所成的角，则圆的参数方程为|y=Rsinwt(OWeW2n).，x=x+Rcose,若圆心在点 M(x,y)处，半径为 R,则圆的参数方程为0iTD门000y=y+Rsine0(OWeW2n)

16、.小问题大思维，x=Rcose,1.方程口门(OWeW2n)是以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的参数、y=Rsine方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=R2，即(x)2+(y)=1.，x=Rcose，E),也可写成|=只$讪e20，x=r+r20，x=r+rcos20，y=rsin20.，x=2cose,2参数方程门（OWeWn）表示什么曲线？、y=l+2sine提示：表示圆心为（0,1），半径为 2 的圆的上半部分即半圆（包括端点）高频考点题组化，名师一点就通对应学生用书 P29求圆的参数方程例 1点 M 在圆（xr）

17、2+y2=r2（r0）上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到0M 形成的角为0以0为参数，求圆的参数方程.思路点拨本题考查圆的参数方程的求法.解答此题需要借助图形分析圆上点 M（x,y）的坐标与0之间的关系，然后写出参数方程.1当 M 在 x 轴上方时,ZMOZx=20.x=rrcos20，y=rsin20.2当 M 在 x 轴下方时,ZMOZx=20，y=rcossmxR=COSI 討 sin，x=Rcose,则y=Rsine.精解详3当 M 在 x 轴上时,对应申=0 或申=2综上得圆的参数方程为x=r+rcos2(p,nnly=rsin2,飞呵勺（1）由于选取的参数不同，圆有不同的参

18、数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围（2）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把fx=r+rcos,参数方程写成（的意义就改变了.y=rsin,1._ 设 y=tx （t 为参数） ，则圆 x2+y24y=0 的参数方程是解析：把丫=七乂代入 X2+y24y=0,h4t4t2得x=i+t2,y=1+t2，4tx=1+t2,：参数方程为一4t2ly=k4tX=1+t2,4t2ly=1Tt2圆的参数方程的应用，

19、x=a21,答案：例2（福建高考）已知直线1的参数方程为jy=牡（t为参数），圆 C 的参数，x=4cosQ,方程为|y=4sin6&为参数).(1)求直线 I 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围.思路点拨(1)化参数方程为普通方程利用圆心到直线的距离 dW4 可求.精解详析(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0,圆 C 的普通方程为 x2+y2=16.(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，|-2a|故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d=|W4,5解得一；,r5a.5.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解2.

20、设点 M(x,y)在圆 x2+y2=1 上移动，求点 Q(x(x+y),y(x+y)的轨迹的参数方程.解：设M(cosQ,sinQ)(OWB2n)，点 Q(x1，yj,=cosQQ+sinQ,贝卅1OWQW2n,y=sinQcosQ+sinQ,I1即为所求的参数方程.，x=cosQ,例 3已知点 P(x,y)是圆OWQW2n 上的动点.y=1+sinQ求叩 3x+y 的取值范围；(2)若 x+y+a20 恒成立，求实数 a 的取值范围.思路点拨本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题.解决本题需要正确求出圆 x2y2=2y 的参数方程，然后利用参数方程求解.，x=cosQ,精解详析(1)

21、TP 在剛.门上,、y=1+sinQp3x+y=：3cosQ+sinQ+1=2sin(Q+号)+1.：2+lW；3x+yW2+1,即；3x+y 的取值范围为-1,3.(2)x+y+a=cosQ+sinQ+1+a 三 0,.a 三一(cos0+sin0)1.又一(cos0+sin0)1=、;2sin(0+丁)一 1W21,.a2j21,即 a 的取值范围为*21,+).(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标， 并正确确定参数的取值范围(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性，x=1+cos0,3.将参数方程门(0W0W2n)转化为直角坐标方程

22、是、y=sin0，该曲线上的点与定点 A(1,1)的距离的最小值为解析：易得直角坐标方程是(x1)2+y2=1,所求距离的最小值应为圆心到点 A 的距离减去半径，易求得为、51.答案：(x1)2+y2=1.；51一、选择题，x=2+2cos0,1.圆的参数方程为门 0W0W2n.则圆的圆心坐标为()、y=2sin0A.(0,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,0)解析：选 D 圆的普通方程为(x2”+y2=4.故圆心坐标为(2,0).Ix=/5cos0,2. 若直线 2xy3+c=0 与曲线(厂(0W0W2n)相切，则实数 cly=P5sin0等于()A.2 或8B.6 或4C.2 或

23、8D.4 或6Ix=/5cose,解析：选 C 将曲线lly=：5sinQ直线 2x-y-3+c=0 与圆 X2+y2=5 相切,的最大值为()A.36C.26解析：选 A 设 P(2cosa,sina),代入得(2cosa5)2(sina4)2=25sin2acos2a-6cosa8sina3=26+10sin(a0)(tan0=4,0为锐角).:最大值为 36.为实数)，若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1,则 b=()B.2D.土电解析：选 D 将曲线 C 和直线 l 的参数方程分别化为普通方程为 x2+y2=4 和 y=x+b.依题意，若要使圆上有 3 个点到直线 l

24、 的距离为 1,只要满足圆心到直线的距离为 1 即可,、填空题5.把圆 X2+y2+2x4y+1=0 化为参数方程为.解析：圆 X2+y2+2x4y+1=0 的标准方程是(x+1)2+(y2”=4,圆心为(一 1,2),半径为 2,(OWeW2n)化为普通方程为 X2+y2=5，由-,;5,解得 c=2 或&3.P(x,y)是曲线，x=2+cosa,y=sinaOWaW2n 上任意一点，则(x5)2+(y+4)2B.6D.254.已知曲线 C：Ix=2cose,y=2sinQ心)和直线，x=t,y=t+b(t 为参数,bA.C.0故参数方程为x=12cosey=22sine(OWQW2n).=1,解得 b=；2.为解析：将圆 C 的方程代入直线方程，得cose1sinea=0，即 a=1(sinQ+cosQ)=1J2sine+普.-lWsine+书 Wl,：l-V2WaWl+边.答案：1；2,1+2Q=.解析：直线为 y=xtanQ，圆为(x4)2+y2=4,作出图形，相切时，易知倾斜角为 65n8.已知动圆 X2+y22axcosQ2bysinQ=0(a，b 是正常数，且 aMb,Q为参数),则圆心的轨迹的参数方程为解