2019-2020年高中数学 2.4《平面向量的数量积》教案 新人教A版必修4

1、2019-2020年高中数学2.4平面向量的数量积教案新人教A版必修4本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和

2、方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.（让学生对整章有个初步的、全面的了解.）§2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4. 掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的

3、关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1. 向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入,使=入.2平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1,入2使=入+入23平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向

4、量的（直角）坐标，记作4平面向量的坐标运算若，则，.若，则5. （）的充要条件是xiy2-x2yi=06. 线段的定比分点及入P1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数入，使=入，入叫做点P分所成的比，有三种情况：立二圜当击二臣入0（内分）（外分）入0（入-1）（外分）入0（-1入0）7. 定比分点坐标公式：若点P（X,yi），P2（x2，y2），A为实数，且=人，则点P的坐标为（），我们称A为点P分所成的比.&点P的位置与A的范围的关系： 当A0时，与同向共线，这时称点P为的内分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：角. 当AV0（）时，与反向共线，这时

5、称点P为的外分点.在平面内任取一点0,设=a,=b,/a+XB1X可得二=a+B.1+X1+X1+X10.力做的功：W=|F|.|s|cos，是F与s的夹、讲解新课：1. 两个非零向量夹角的概念（OWeWn）叫8与b的夹角.已知非零向量a与b,作=a，=b，则ZAOB=0说明：（1）当e=0时，a与b同向;（2）当e=n时，a与b反向；（3）当e=时，a与b垂直，记alb；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0OW9W180O2. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角是e，则数量|a|b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有a-b=|a|b|c

6、os,(oweWn).并规定0与任何向量的数量积为0.-探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.(2) 两个向量的数量积称为内积，写成a-b；今后要学到两个向量的外积axb，而a-b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“X”代替.(3) 在实数中，若a0,且a-b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0,且a-b=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.(4) 已知实数a、b、c(b0),则ab=bcna=c.但是a-b=b-ca=c如右图：a-b=|a|b|c

7、os=|b|OA|,b-c=|b|c|cos=|b|OA|na-b=b-c但ac在实数中，有(a-b)c=a(b-c)，但是(a-b)ca(b-c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积a-b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1

8、 e-a=a-e=|a|cos2 aba-b=03 当a与b同向时，a-b=|a|b|；当a与b反向时，a-b=|a|b|.特别的a-a=|a|24 cos=5|ab|W|a|b|三、讲解范例：例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角0=120o,求ab.例2已知|a|=6.|b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b)(a-3b).例3已知|a|=3.|b|=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.例4判断正误，并简要说明理由.a0=0；0a=0；0=；|ab|=|a|b|；若a工0,则对任一非零b有abM0；ab=0,则a与b中至少有一个为0；对任意向量a,b，

9、c都有(ab)c=a(bc)；a与b是两个单位向量，则a2=b2.解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0a=0；对于：应有0a=0；对于：由数量积定义有丨ab|=|a丨|b|丨coseIWIa|b|,这里e是a与b的夹角，只有e=0或e=n时，才有|ab|=|a|b|；对于：若非零向量a、b垂直，有ab=0；对于：由ab=0可知a丄b可以都非零;对于：若a与c共线，记a=人c.则ab=(人c)b=A(cb)=人(bc)，ab)c=A(bc)c=(bc)c=(bc)a若a与c不共线，贝9(ab)c工(bc)a.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、

10、运算律.例6已知|a|=3,|b|=6，当ab，a丄b,a与b的夹角是60°时,分别求ab.解：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角e=0°,.ab=|a|b|cos0°=3X6Xl=18；若a与b反向，则它们的夹角e=180°,.ab=|a|b|cosl80°=3X6X(T)=18； 当a丄b时，它们的夹角e=90°,.ab=0； 当a与b的夹角是60°时，有ab=|a|b|cos60°=3X6X=9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是】0°,180°,因此，当ab时，有0

11、6;或180°两种可能.四、课堂练习：1. 已知|a|=l,|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°2. 已知|a|=2,|b|=l,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）A.2B.2C.6D.123. 已知a、b是非零向量，贝9|a|=|b|是（a+b）与（a-b）垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,贝|a+b|a-b|二.5. 已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j

12、,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab=.6. 已知a丄b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3，贝ij（a+2b-c）2=.7. 已知|a|=1,|b|=,（1）若ab,求ab；（2）若a、b的夹角为60°,求|a+b|；（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角.&设m、n是两个单位向量，其夹角为60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.9.对于两个非零向量a、b,求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：2019-2020年高中数学

13、2.4抛物线教案1新人教A版选修2-1一、教学目标：（一）、教学知识点1、抛物线的定义2、抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。（二）、能力要求1、掌握抛物线定义及其标准方程2、理解标准方程中参数P的几何意义，能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程,焦点坐标,画出其图形。3、进一步掌握解析几何坐标法思想,会用坐标法建立抛物线的方程。4、培养学生主动探索精神,提高学生分析、对比、概括等方面能力,渗透数形结合,函数方程分类讨论等数学思想。（三）、德育渗透目标根据圆锥曲线的统一定义,可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辨证唯物主义思想教育。二、教学重点：1、抛物线的

14、定义2、标准方程的建立三、教学难点:1、抛物线的标准方程的推导及四种图形。2、抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用四、教学方法诱思探究法通过回忆椭圆及双曲线定义引入抛物线并引导学生主动分析探索其标准方程等相关知识。五、教学设计（一）、课题导入前面我们学习了椭圆和双曲线，我们共同顾一下椭圆和双曲线的第二定义，也即（如图示）平面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离的比是常数e的点M的轨迹，当0VeVl时是椭圆，当e=l时是双曲线。那么当e=1时它是什么曲线呢？（1）同学们注意观察动画演示，回答问题。如图示，把一根直尺固定在图上直线L的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细

15、绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点到直角顶点C的长，并且把绳子的另一端固定在图上一定点F。用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出一条曲线。问题笔尖（设为动点M）在运动过程中满足的条件是什么？此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是猜想它是什么？（2）观察、讨论总结 动点M在运动过程中满足的几何条件是到定点F的距离和它到定直线L的距离相等。即|mf|=|mc|,即=6=1 点M轨迹不是椭圆或双曲线，因为它不符合其定义，它就是我们曾经知道并且从今天开始深入研究的抛物线，这一节我们研究的课题是“抛物线及其标准

16、方程（一）”。二、讲授新课1、抛物线的定义通过前面分析讨论，让学生自行下定义。定义：平面内与一个定F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫抛物线，（其中点F不在直线L上）。2、抛物线标准方程的探究（1）、回顾坐标法求平面内切点M的轨迹方程的方法步骤。（2）、引导学生自行建立适当坐标系，求出抛物线的方程。（设定点F到定直线L的距离为常数p）通过练习演板，表达学生的一些不同求法：如:解法一：以L为Y轴，过点F垂直于L的直线为X轴，建点直角坐标系（如图示）则F（P,0）设动点M（X,Y）,由抛物线定义得:，化简得y2=2px-p2（p>0）解法二：以定点F为原点，过点F垂直于L的直线为X轴建立如

17、图示坐标系，则F（O,O）,L的方程为X=-P，设点M（x,y）,由定义得化简得y2=2pxp2(p0)解法三：建立直角坐标系XOY,使X轴经过点F且垂直于直线1,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合，设|KF|=p(p>0)，那么F(),准线1方程：，设点M(x,y)为抛物线上任一点,由定义得：4ym(x,y)，化简得：y2=2px(p>0)X(3) 引导学生分析对比可以看出解法三的答案不仅形式较简单而且方程中一次项系数是焦点到准线距离的2倍，我们把这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示的抛物线的焦点在x的正半轴上，坐标是()，它的准线方程是，抛物线开口方向向右。(4) 引导学生

18、注意观察联想抛物线的不同位置。如焦点可在x轴的负半轴上或y轴的正半轴上或y轴的负半轴上，因此类似于椭圆或双曲线，抛物线标准方程有如下四种形式：因此，求抛物线标准方程时，一要确定形式，二要求出参数P.标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(,0)(p>0)x=y2=2px(,0)(p>0)x=x2=2py(0,)(p>0)y=x2=2py(0,)(p>0)y=3、例题研讨例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。解（1）因为P=3，所以焦点坐标是（，0），准线方程是x=-（2）因为焦点在y轴的负轴上，并且=2,P=4,所以所求抛物线的标准方程是x2=-8y.例2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。（1）经过点（2，2）。（2）焦点在直线x-y+1=0上。解（1）依题意，设标准方程为y2=2px或x2=2py,将（2,2）分别代入都得P=1，故所求标准方程为y2=2x或x2=2y（2）焦点是直线x-y+1=0与坐标轴的交点故焦点F（0,1）或（T,0）从而标准方程为x2=4y或y2=4x.4、课堂练习（一）（课本练习第3、4题）