人教版高一数学必修一知识点与习题讲解

1、必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1.1.1集合的含义与表示。知识要点：1 .把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2 .集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，基本形式为肌a2©,aj,适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为xA|P(x),既要关注代表元素X,也要把握其属性P(x),适用于无限集.3 .通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N,正整数集N*或N,整数集Z,有理数集Q,实数

2、集R4 .元素与集合之间的关系是属于(belongto)与不属于(notbelongto),分别用符号、表示，例如3N,2N.。例题精讲:【例U试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x22x3)0的所有实数根组成的集合;(2)大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为：xR|x(xy|yx24y|y4.2x3)0;用列举法表示为0,1,3.(2)用描述法表示为：xZ|2x7;用列举法表示为3,4,5,6.【例2】用适当的符号填空：已知Ax|x3k2,kZ,Bx|x6m1,mZ,则有:17A；-5A；17B.解：由3k217,解得k5Z,所以17A;由3k25,解得k7Z,所以

3、5A;3由6m117,解得m3Z,所以17B.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：(教材P6练习题2,P13A组题4)(1)一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合；(2)二次函数yx24的函数值组成的集合；(3)反比例函数y2的自变量的值组成的集合.xyx3解：1)(x,y)|y°J(1,4).y2x6/c2（3）x|y-x|x0.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为1,4,也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合Aall1有唯一实数解,试用列举法表示集合A

4、.x2解：化方程1为：x2x（a2）0.应分以下三种情况：x2方程有等根且不是应：由=。，彳4a2,此时的解为x工，合.42方程有一解为&，而另一解不是碎：将x隹代入得a22，此时另一解x1理,合.方程有一解为应，而另一解不是:将x或代入得a短,此时另一解为x夜1,合.综上可知，A9,22,22.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§1.1.2集合间的基本关系。知识要点:1 .一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset）,

5、记作AB（或BA）,读作“A含于B”（或"包含人”）.2 .如果集合A是集合B的子集（AB）,且集合B是集合A的子集（BA）,即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作AB.3 .如果集合AB，但存在元素xB,且xA,则称集合A是集合B的真子集（propersubset）,记作AB（或BA）.4 .不含任何元素的集合叫作空集（emptyset）,记作，并规定空集是任何集合的子集.5 .性质：AA;若AB,BC,则AC;若AIBA,贝IjAB;若AUBA,贝IjBA.。例题精讲：【例U用适当的符号填空：（1） 菱形平行四边形:等腰三角形等边三角形.（2） xR|x22

6、0;0J0;0;N0.解：（1）品，量；（2） =,汽室.系的【例2】设集合Ax|x2,nZ,BZ,则下列图形能表示A与B关1_X|xn-,n解：简单列举两个集合的一些元素，A1,1c1.33113,0,1,B,，,2222222易知BA,故答案选A.另解：由Bx|x空,nZ,易知BA,故答案选A.2【例3】若集合Mx|x2x60,Nx|ax10,且NM,求实数a的值.解：由x2x60x2或3,因此，M2,3.(i)若a0时，得N,此时，NM;(ii)若a0时，得N口.若NM,满足二2或工3,解得a3或a-.aaa23故所求实数a的值为0或3或1.23点评：在考察“AB”这一关系时，不要忘记“

7、”，因为A时存在AB.从而需要分t#况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ax,ax2.若A=B,求实数x的值.解：若bax22baxa+ax2-2ax=0,所以a(x-1)2=0,即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0,故舍去;当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.2若ab2ax-ax-a=0.a2bax因为aw0,所以2x2-x-1=0,即（x-1）（2x+1）=0.又xwl,所以只有x-.2经检验，此时A=B成立.综上所述xL2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲

8、§1.1.3集合的基本运算（一）。知识要点:集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相的并集(unionset)交集(intersectionset)对于全集U的补集(complementaryset)记号AUB(读作“A并B')AIB(读作“A交B')euA（读作“

9、A的补集”）符号图形表不。例题精讲:【例1】设集合UR,A解：在数轴上表小出集合AIBx|3x5,Cu(AUB)x|x1,或x<【例2】设AxZ|x|(1)AI(BIC);(2)解：QA6,5,4,3,2,(1)又QBIC3,；x|1x5,Bx|3x9,求AIB,eU(AUB).A、B,如右图所示：11gd),6,B1,2,3,C3,4,5,6,求：AIeA(BUC).1,0,1,2,3,4,5,6.AI(BIC)3；(2)又QBUC1,2,3,4,5,6得Ca(BUC)6,5,4,3,2,1,0AICa(BUC)6,5,4,3,2,1,0【例3】已知集合Ax|2x4,Bx|xm,且AI

10、BA,求实数m的取值范围.解：由AIBA,可得AB.一在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示：由图形可知，m4.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集Ux|x10,且xN*,A2,4,5,8,B1,3,5,8,求Cu(AUB),Cu(AIB),(CuA)I(CuB),(CuA)U(CuB),并比较它们的关系解：由AUB1,2,3,4,5,8,则Cu(AUB)6,7,9.由AIB5,8,贝UCu(AIB)1,2,3,4,6,7,9由CuA1,3,6,7,9,CuB2,4,6,7,9,则(CuA)I(CuB)6,7

11、,9,(CuA)U(CuB)1,2,3,4,6,7,9由计算结果可以知道，(CuA)U(CuB)Cu(AIB),(CuA)I(CuB)Cu(AUB).另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn图研究(CuA)u(CuB)Cu(aib)与(CuA)i(CuB)Cu(aub)，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲§1.1.3集合的基本运算(二)。知识要点：1 .含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们

12、还可以发现一些集合性质：Cu(AIB)(CuA)U(CuB),Cu(AUB)(Cua)i(Cub).2 .集合元素个数公式：n(AUB)n(A)n(B)n(AIB).3 .在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.。例题精讲：【例U设集合A4,2a1,a2,B9,a5,1a,若AlB9,求实数a的值.解：由于A4,2a1,a2,B9,a5,1a,且AlB9,则有：当2a1=9时,解得a=5,止匕时A=4,9,25,B=9,0,4,不合题意，故舍去;当a2=9时，解得a=3或一3.a=3时，A=-4,5,9,B=9,2,2,不合题意，故舍去；a=3,A=

13、-4,7,9,B=9,-8,4,合题意.所以，a=-3.【例2】设集合Ax|(x3)(xa)0,aR,Bx|(x4)(x1)0,求AUB,AIB.(教材P14B组题2)解：B1,4.当a3时，A3,贝UAUB1,3,4,AIB;当a1时，A1,3,则AUB1,3,4,AIB1;当a4时，A3,4,则AUB1,3,4,AIB4;当a3且a1且a4时，A3,a,则AUB1,3,4,a,AIB.点评：集合A含有参数a,需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则【例3】设集合A=x|x24x0,B=x|x22(a1)xa21

14、0,aR,若AIB=B,求实数a的值.解：先化简集合A=4,0.由AIB=B,则BA,可知集合B可为,或为0,或4,或4,0.(1)若3=，则4(a1)24(a21)0,解得a<1;(ii)若0B,代入得a21=02=1或2=1,当a=1时，&A,符合题意；当2=1时，B=0A,也符合题意.(iii)若一4B,代入得a28a70a=7或a=1,当a=1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B=-12,4,不符合题意.综上可得，a=1或a01.点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数

15、学中的化归思想，是重要数学思想方法.解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=BftB=的情形，从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B,若定义ABx|xA,且xB,当集合Ax|x8,xN*,集合Bx|x(x2)(x5)(x6)0时，有AB=.(由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为CuAx|xU,且xA”而拓展)解：根据题意可知，A1,2,3,4,5,6,7,8,B0,2,5,6由定义ABx|xA,且xB,则AB1,3,4,7,8).点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中

16、排除B的元素.如果再给定全集U,则AB也相当于AI(CuB).第5讲§1.2.1函数的概念。知识要点：1 .设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),xA.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域(range).2 .设a、b是两个实数，且a<b,则：x|a<x<b=a,b叫闭区间；x|a<x<b=(a,b)叫开区间

17、；x|awx<b=a,b),x|a<x&b=(a,b,都叫半开半闭区间.符号：“8”读“无穷大”；“8”读“负无穷大”；“+8”读“正无穷大”.则x|xa(a,),x|xaa,),x|xb(,b),x|xb(,b,R(,).3 .决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.。例题精讲:【例1】求下列函数的定义域：(1)y,1,;(2)y3巴3.x213x12解：(1)由x2|10,解得x1且x3,所以原函数定义域为(，3)U(3,1)U(1,).,x30-一一(2)由3，解得x3且x9,3x120所以原函数定义域为3

18、,9)U(9,).【例2】求下列函数的定义域与值域：(1)y丝_2；(2)yx2x2.54x解：(1)要使函数有意义，则54x0,解得x-4所以原函数白定义域是x|x-.43x2112x813(4x5)23y-54x454x454x解：(1)由三2,解得x3,所以监)i.3卫30,所以值域为y|y当.454x444(2)yx2x2(x1)2-.所以原函数白定义域是R,值域是(鸟.244【例3】已知函数f(3)x.求：(1)f(2)的值；(2)f(x)的表达式1x(2)设3t,解得x，所以f(t)，即f(x)1x1t1t1x点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽

19、象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等【例4】2已知函数f(x)X2,xR.1X(1)求f(x)f(1)的值；(2)X计算:f(1)f(2)f(3)f(4)心吟心.解：（1）由f(x)f(3x2X21X1FX_1FX2X21X2XFX1.(2)原式f(1)(f(2),1f(2)(f(3)(f(4),1f)4点评：对规律的发现，能使我们实施巧算正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲§1.2.2函数的表示法。知识要点:1 .函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点:简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系

20、，优点：直观形象,反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2 .分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x,对应法则不同）3 .一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作“判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.。例题精讲:【例11如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数

21、式是,这个函数白定义域为解：盒子的图为x,长、宽为a2x,所以体积为V=x(a-2x)2.又由a-2x0,解得xa.2所以，体积V以x为自变量的函数式是Vx(a-2x)2,定义域为x|0x1.【例2】已知f(x)=3x3xx:1,;求ff(0)的值.解：:0(,i),f(0)=V2f(V2)=(3+(彷-3=2+2=5，即ff”【例3】画出下列函数的图象:(1) y|x2|；(教材P26练习题3)(2)y|x1|2x4|.解：(1)由绝对值的概念，有y|x2|x2,x22x,x2所以，函数y|x2|的图象如右图所示.3x3,x1(2)y|x1|2x4|x5,2x1,3x3,x2所以，函数y|x

22、1|2x4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f(x)x的函数值表示不超过x的最大整数，例如3.54,2.12,当x(2.5,3时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.解：f(x)3,2.5x22,2x11, 1x00,0x11,1x22, 2x33, x3函数图象如右:点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲§1.3.1函数的单调性。知识要点:1 .增函数：设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内

23、的任意两个自变量Xi,X2,当Xi<X2时,都有f(Xi)<f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasingfunction).仿照增函数的定义可定义减函数2 .如果函数f(X)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(X)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫f(X)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数的图象从左向右是下降的(如右图2).由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，彳#到函数的单调区间及单调性.3 .判断单调性的步骤：设Xi、XzC给定区间，且Xi<X2；一计算f(Xjf(X2)一判断符号一下

24、结论.-在区间(0,i)上的单调性.i【例i】试用函数单调性的定义判断函数f(X)/X解：任取Xi,X2(0,i)，且XiX2.则f(Xi)f(X2)2Xi2X22(X2Xi)XiiX2i(X)i)(X2i)由于0Xix2i,x10,%i0,X280,故f(Xi)f(X2)0,即f(Xi)f(X2).所以，函数f(X)上上xi(0,i)上是减函数.【例2】求二次函数f(X)aX2bXc(a0)的单调区间及单调性.解：设任意x1,x2R,且x1x2,则b(x1x2)(x1x2)a(x1x2)b.2222、f(x1)f(xz)(axbx1c)(ax2bx?c)a(xx2)右a0,当xx2-b-时，

25、有x1x0,x1x22ax2)b0,从而同理可得f(x)在f(xjf(x2)0,即f(n)f(x2),所以£(男在(，-b上单调递增.2a卷)上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间:(Dy|x1|2x4|;(2)y2|x|3.解：(1)y|xi|2x3x4|x3,x5,23x3,x1x1,其图象如右.2由图可知,函数在2,)上是增函数，在(，2上是减函数.(2)y2-x2|x|3x22x3,x0,其图象如右.x2x3,x0由图可知,函数在(，1、0,1上是增函数，在1,0、1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也

26、可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(|x|)的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象第8讲§1.3.1函数最大(小)值。知识要点:1 .定义最大值：设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的xI,都有f(x)<M；存在XoCI,使得f(xo)=M那么，称M是函数yf(x)的最大值(MaximumValue).仿照最大值定义，可以给出最小值(MinimumValue)的定义.2 .配方法：研究二次函数yax2bxc(a0)的最大(小)值，先配方成.2.2ya(x)2丝/后，当a0时，函数取最小值为竺c上；当a

27、0时，函数取最大值2a4a4a24acb.4a3 .单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4 .图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值。例题精讲:【例11求函数y的最大值.xx13-4X83-426)y1-2X/ko得3一43一421-2由所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了(x10)元，减少了10g(x10)件，所赚得的利润为y(x8)g10010ax10).即y10x2280x160010(x14)2360.当x14时，ymax360.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元.【例3】求函数y2x的最小值.解：此函数的定义域为1,且函数在定义域上是增函数，所以当x1时，ymin22,函数的最小值为2.yminxt21,点评：形如yaxbkd的函数最大值或最小值，可以用单调性【另解】令jx_7t,则t0,c2cc,1、y2tt22(t-)4215,在t