第三讲平均数、标准差和变异系数ppt课件

1、x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均数平均数 = 5平均数平均数 = 6 1 2 3 4 5 6 7 14 中位数中位数: 将资料内一切察看值从大到小排序，居中间位置的察看将资料内一切察看值从大到小排序，居中间位置的察看值称为中数值称为中数(median)，计作，计作Md。当观测值的个数是偶数时，那么以中。当观测值的个数是偶数时，那么以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料能否分组而有所不同。对于未分组资料

2、，中位数的计算方法因资料能否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次陈列，找到中间的先将各观测值由小到大依次陈列，找到中间的1个数个数n为奇数或为奇数或2个个数数 n为偶数，之后求平均即可。为偶数，之后求平均即可。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10中位数中位数= 5中位数中位数= 5众数众数: 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数为众数(mode)，记为，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。为众数。 众

3、数能够不存在众数能够不存在 能够有多个众数能够有多个众数 多用于属性数据多用于属性数据0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 众数众数 = 9没有众数没有众数nnnnxxxxxxxxG1)(321321 为了计算方便，可将各观测值取对数后相加为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以除以n，得，得lgG，再求，再求lgG的反对数，即得的反对数，即得G值，值，即：即： )lglg(lg1lg211nxxxnG 调和平均数调和平均数:harmonic mean各观测各观测值倒数的值倒数的 算术平均数算术平均数 的倒数，称为调和平均的倒数，称为调和平均数，记为数，记为H

4、。即。即 4.6xnxxxnnH1111111)(121对于同一资料：对于同一资料： 算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。采用直接法或加权法计算。( (一一) )直接法直接法主要用于未经分组资料平均数的计算。主要用于未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含设某一资料包含n个观测值：个观测值： x1、x2、xn， 那么样本平均数可经过下式计算：那么样本平均数可经过下式计算：nxnxxxxniin1

5、21nxx4.1简写：简写： 【例【例1】 某植保站测得某植保站测得10只某类害虫的体重分别为只某类害虫的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490mg，求其平均数。，求其平均数。.5(mg)528105285nxx由于由于 x = 500 + 520 + 535 + 560 + 585 + 600 + 480 + 510 + 505 + 490 = 5285， n =10得：得：即即 10只害虫的平均体重为只害虫的平均体重为528.5 mg。二加权法二加权法ffxfxffffxfxfxfxkiikiiikkk112122114.2式中：式中： x

6、i -第第i 组的组中值；组的组中值； fi -第第i组的次数；组的次数；k -分组数分组数 第第i组的次数组的次数 fi 是权衡第是权衡第i组组中值组组中值 xi 在资料中所在资料中所占比艰苦小的数量，因此将占比艰苦小的数量，因此将 fi 称为是称为是 xi 的的“权，加权，加权法也由此而得名。权法也由此而得名。 对于样本含量对于样本含量 n30 以上且已分组的资料，可以以上且已分组的资料，可以在次数分布表的根底上采用加权法计算平均数，计算在次数分布表的根底上采用加权法计算平均数，计算公式为：公式为：【例【例2】 从从A、B两小区分别抽取两小区分别抽取4个和个和5个小麦麦穗，个小麦麦穗，测得

7、其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计算结果。算结果。 小区 每穗小穗数 平均数（ x） xf A 13 14 15 17 14.75 59 B 16 16 17 18 18 17.00 85 144 144 144 / 9 = 16 144 / 9 = 16 【例【例3】 140行水稻产量行水稻产量P38，用两种方法求其，用两种方法求其平均数，并比较计算结果。平均数，并比较计算结果。1直接法：直接法：)(48.15714022047140159.215177gnxx分 组 数 列 组 中 值 (x ) 次 数 (f ) fx 6 7 .5

8、 8 2 .5 7 5 2 1 5 0 8 2 .5 9 7 .5 9 0 7 6 3 0 9 7 .5 11 2 .5 1 0 5 7 7 3 5 11 2 .5 1 2 7 .5 1 2 0 1 4 1 6 8 0 1 2 7 .5 1 4 2 .5 1 3 5 1 7 2 2 9 5 1 4 2 .5 1 5 7 .5 1 5 0 2 0 3 0 0 0 1 5 7 .5 1 7 2 .5 1 6 5 2 4 3 9 6 0 1 7 2 .5 1 8 7 .5 1 8 0 2 1 3 7 8 0 1 8 7 .5 2 0 2 .5 1 9 5 1 3 2 5 3 5 2 0 2 .5 2

9、 1 7 .5 2 1 0 9 1 8 9 0 2 1 7 .5 2 3 2 .5 2 2 5 3 6 7 5 2 3 2 .5 2 4 7 .5 2 4 0 2 4 8 0 2 4 7 .5 2 6 2 .5 2 5 5 1 2 5 5 1 4 0 2 2 0 6 5 2 2 0 6 5 / 1 4 0 = 1 5 7 .6 1 1、算术平均数的计算与每一个数值都有关。、算术平均数的计算与每一个数值都有关。 2、假设、假设 是是n1个值的平均数个值的平均数, 是是n2个值的平均数，那么全部个值的平均数，那么全部n1n2个值的算术平均数是个值的算术平均数是 加权平均数加权平均数 1x2x212

10、211nnxnxnx0)(1xxnii0)(xx2121)()(niiniixxx常数常数 x22)()(xxx或简写为：或简写为：5、假设、假设A为恣意常数，为恣意常数，甲村 乙村 面积 单产 面积 单产 山地 100 100 900 160 丘陵 500 400 600 500 平地 400 500 500 600 6、平均数是有单位的数值，与原资料单位一样。、平均数是有单位的数值，与原资料单位一样。留意：必需性状同质时，留意：必需性状同质时， 才有代表性。才有代表性。x S AY SAY S AY SAY 山地 100 100 10000 900 160 144000 丘陵 500 40

11、0 200000 600 500 300000 平地 400 500 200000 500 600 300000 1000 410000 2000 744000 x 410000/1000=410 744000/2000=372 统计学中常用样本平均数统计学中常用样本平均数作为总体平均数作为总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量。的无偏估计量。NxNii1x 为为 了了 准准 确确 地地 表示样本内各个观测值的变异程度表示样本内各个观测值的变异程度 ，人们人们 首首 先会思索到以平均数为规范，求出各个观测先会思索到以平均数为规范，

12、求出各个观测值与平均数的离差，值与平均数的离差，( ) ，称为离均差。，称为离均差。 虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但由于离均差有正、有负和程度，但由于离均差有正、有负 ，离均差之和，离均差之和 为为零，即零，即( ) = 0 ，因，因 而而 不不 能能 用离均差之和用离均差之和 ( )来来 表表 示示 资料中一切观测值的总偏离程度。资料中一切观测值的总偏离程度。xx xx xx 为理处理离均差有正为理处理离均差有正 、有负，离均差之和为零的、有负，离均差之和为零的问问 题，可先求题，可先求 离离 均均 差的绝差的绝 对对 值值 并

13、并 将将 各各 离离 均均 差差 绝绝对对 值值 之之 和和 除以除以 观观 测测 值值 个个 数数n 求求 得得 平平 均均 绝绝 对对 离差，离差，即即|x x |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符，但由于平均绝对离差包含绝对值符号号 ，运用很不方便，在统计学中未被采用。，运用很不方便，在统计学中未被采用。 我们还可以采用将离均差平方的方法来处理离均差我们还可以采用将离均差平方的方法来处理离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。有正、有负，且离均差之和为零的问题。 先将各先将各 个离个

14、离 均差平方，即均差平方，即 ( )2 ，再求，再求 离均离均差平方和差平方和 ， 即即 ，简称平方和，记为，简称平方和，记为SS； 由由 于于 离差平方和离差平方和 常常 随随 样样 本本 大大 小小 而而 改改 变变 ，为，为 了了 消消 除除 样样 本大小本大小 的的 影影 响响 ， 用平方和用平方和 除除 以以 样样 本本 大大 小，小， 即即 ，求出离均差平方和的平均数，求出离均差平方和的平均数 ；xx2)(xxnxx/)(2 为了使所得的统计量是相应总体参数的无为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均估计量，统计学证明，在求离均差平方和的

15、平均数时，分母不用样本含量数时，分母不用样本含量n，而用自在度，而用自在度 n-1， 于是，我们于是，我们 采采 用统计量用统计量 表示资料的表示资料的变异程度。变异程度。 统计量统计量 称为均方称为均方mean square, 缩写为缩写为MS, 又称样本方差，记为又称样本方差，记为S2，即即 S2= 4.7 ) 1/()(2nxx) 1/()(2nxx) 1/()(2nxx 相应的总体参数叫相应的总体参数叫 总体方差总体方差 ，记，记为为2。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，2的计的计算公式为：算公式为： 4.8Nx/)(221)(2nyys Ny2)( 由于由于 样本方差样本方差 带

16、有原观测单位的带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需求与个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需求与平均数配合运用，这平均数配合运用，这 时应时应 将平方单位复原，即应求出样本方将平方单位复原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本规范的平方根叫做样本规范差，记为差，记为S，即：，即：1)(2nxxS由于由于)2()(222xxxxxx222xnxxx222)()(2nxnnxxnxx22)(12)(2nxSnx所以所以 4.9 式可改写为：式可改写为：4.10 相应的总体参数叫总体规范差，记为相应的总体参数叫总体规范差，记为。对。对于有限总体而言，于有限总体而言，的计算公式为：的计算公式为： 4.11 在统计学中，常用样本规范差在统计学中，常用样本规范差S估计总体规估计总体规范差范差。Nx/)(2%100 xSCV【例【例7】 知某甲种类猪平均体重为知某甲种类猪平均体重为 190kg， 规范差为规范差为10.5kg，而乙种类猪平均体重为，而乙种类猪平均体重为196kg，规范差为规范差为8.5kg，试问两个种类的猪，那一个