高一数学反三角函数1

1、6.4反三角函数(1)反正弦函数上海市交通大学附属中学 曹建华、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx( x R)没有反函数但是如果我们适当选取实数集R的一个子集卜 ，那么函数y=sinx , x 卜 ,就存在反函数，为什么要选取2 2 2 2-,，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx , x -,的反函数叫做反正2 2 2 2弦函数，记作y=arcsinx , x -1 , 1，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号 中的x必须满足|x| < 1, arcsinx是-，上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.2 2根据互为反函数间的图像关系，函数y=arc

2、sinx ,x -1,1的图像和函数y=sinx , x ,2的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到2反正弦函数y=arcsinx , x -1 , 1是奇函数，且单调递增.二、教学目标设计1 .理解函数y=sinx (x R)没有反函数；理解函数 y=sinx , x -一 ,有反函数;2 2理解反正弦函数 y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是-1 , 1，值域是-,-.2 22 .知道反正弦函数 y=arcsinx , x -1 , 1的图像.3 .掌握等式 sin (arcsinx ) =x, x -1 , 1和 arcsin(-x

3、) =-arcsinx , x -1 , 1.4 .能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角5 .会用数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质教学难点：反正弦函数y arcsin x,x 1,1的产生和从本质上处理正弦函数y sinx x R的反函数问题四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1 复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f (x), x D,如果对它的值域中的任意一个值y,在定义域D中都有唯一确定的值 x与它对应，使y=f (x),这样得到的x关于y的函数叫做

4、y=f (x)的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是对应的2 思考那么正弦函数是否存在反函数呢？说明因为对于任一正弦值 y都有无数个角值 x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的故而不存在反函数.3 .讨论正弦函数不存在反函数但只要选取某一区间使得 y sin x在该区间上存在反函数 因变量可以确定自变量， 正弦值可以表示相应的角值， 并且将该区间上的角值用相应的正弦 值表示就可以了 学生讨论应该选取怎样的区间，使得 y sinx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）y sin x在所取区间上存在反函数；（2） 能取到ysi

5、nx的一切函数值1,1 .可以选取闭区间一，一，使得y sinx在该区间上存在反函数，而这个反函数就2 2是今天要学习的反正弦函数二、学习新课1 概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx , x 卜一,的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx , x -1 ,2 21.（2）反正弦函数的性质： 图像 定义域-1,1 值域-，2 2 奇偶性：奇函数，即 arcsin (-x) =-arcsinx , x -1 , 1 单调性：增函数说明互为反函数的两个函数图像关于直线yX对称，函数y=sinx , x 卜一,2 2与函数y=arcsinx , x -1 , 1的图像关于直线y X对

6、称.2 .例题分析例1.求下列反正弦函数的值:(1) arcsin(2) arcsinO ;(3) arcsin解:(2)因为 sin0=0，且 0 ,2，所以 arcsin0=0.2(3)因为sin，所以 arcsin2(-T) =-3(1)因为 sin =-，且一 卜 ，所以 arcsin6 2 6 2 2例2用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：(1) sinx=，, x -,i；1(2)sinx=-, x 卜一,；一 2(3)sinx=-3 , x -3n,0.解:(1)因为x -2由定义，可知x=arcs in因此(2)(3)因为x -2由定义，可知x=arcs in11(-)=-a

7、rcsi n55在区间卜一，0 上,2由定义，可知x=arcs in 3(-)=-arcsi n3在区间卜n,-上，由诱导公式,2可知x=-n +arcs in，满足3sinx=-x= arcsin 仝或 x=- n +arcsin 山33例3 化简下列各式:(1)4arcsin (sin ) ;( 2) arcsin ( sin5* (3) arcsin(sin2007 0)解:(1)因为7 -一，一，设 sin = a，所以227arcsin a =一，即 arcsin (sin7-)7(2)4因为5而一 -,522，且4sin =sin，设 sin =sin555a,所以 arcs in

8、(sin=arcsin (sinarcs in a =5(3)因为 sin2007 0=sin ( 5X 360°+207°) =sin207 0=sin (180°+27°) =-sin27所以 arcsin(sin2007 °) = arcsin (-sin27 °) =- arcsin(sin27°)=- 27例4.求函数f (x) =2arcsin2x的反函数f-1 (x),并指出反函数的定义域和值域解：设 y=2arcsin2x，贝U = arcsin2x ,21 1因为 2x -1 , 1 , arcsin2x

9、卜 _ ,，所以 x -, , y 卜刃，刃，根据反2 2 2 2正弦函数的定义，得2x=sin , x=sin ,将x, y互换，得反函数f-1 (x) =sin ,2 2 2 2 2 11定义域是卜貝，貝，值域是卜，.223 .问题拓展例 1.证明等式：arcsin (-x ) =-arcsinx , x -1 , 1证明： x -1 , 1 , -x -1 , 1二 sinarcsin (-x ) = -x , sin (-arcsinx ) =-sin (arcsinx ) =-x又因为 arcsin (-x ) -, , -arcsinx -,，且正弦函数在-,上2 2 2 2 2

10、2单调递增，所以arcsin (-x ) =-arcsinx ,x -1,1.说明这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教 师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明31例2.设x , , sinx=，用反正弦函数值表示 x.2233 -一 ,，又 sin (n -x ) =sinx，得 sin 2 27t解：因为x -,，所以（n -x2 2111-x )=一，于是 n -x=arcsin , x= n - arcsin333说明对于用反正弦函数值表示区间卜，外的角，教材不作要求，但考虑到在解实2 2际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习以

11、上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学三、巩固练习判断下列各式是否成立(1) arcsin 32 arcs亠;(3) arcsin1=2k ., k Z; (4)322arcsin(-)=-arcsin _ ;33(5)sin (arcsin 和2 ) = . 2 ; (6) arcsin6 2解：(1)式成立;、(4)、( 5)各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为-1，1 ；( 3)式仅当k=0时成立,k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为;(6)式不成立，因为与反正弦函数的定义不符2四、课堂小结教师引导学生总结：(1) 反正弦函数的定义；(2) 反正弦函数的性质.五、作业布置(1)书上练习 6.4(1)中的1、2、3、4(2)思考题：求函数f (x) =2 n -arcsin2x 的反函数f-1 (x)，并指出反函数的定义域和值域七、教学设计说明1 关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系， 通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其