光的电磁理论习题集

1、第一章光的电磁理论/z兀1.1 一个平面电磁波可以表示成Ex=O,Ey=2cos2宀I014c-tJ+P，Ez=O,问：（1）该电磁波的频率、波长、振幅原点的初位相为多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场想联系的磁场B的表达式如何写？'z'1.2 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0,Ez=0，Ex=102cos兀1015亦去-。试求（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。1.3证明E=Acos（kz-t）是波动方程（1-22）的解。（xt）一1.4 一种机械波的波函数为y=Acos2兀一一不，其中A=20mm,T=12s，九=20mm试画出

2、I九T丿t=3s时的波形曲线。从x=0画到x=40mm。1.5 在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，起厚度=0.01，折射率=1.5，若光波的波长=500，试计算插入玻璃片前后光束光程和位相的变化。1.6地球表面每平方米接受到来自太阳光的功率约为1.33kW，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度。假设可以把太阳光看作是波长为九=600nm的单色光。1.7在离无线电发射机10km远处飞行的一架飞机，收到功率密度为10卩W/m2的信号。试计算（1）在飞机上来自此信号的电场强度大小；（2）相应的磁感应强度大小；（3）发射机的总功率。假设发射机各向同性地辐射，且不考虑地球表面反射的影响。1.8

3、沿空间k方向传播的平面波可以表示为E=100expi（2x+3y+4z）-16x108t试求k方向的单位矢量k。1.9球面电磁波的电场是r和t的函数，其中r是一定点到波源的距离，t是时间。（1）写出与球面波相应的波动方程的形式；（2）求出波动方程的解。1.10 证明柱面波的振幅与柱面波到波源的距离的平方根成反比。1.11 一束线偏振光在450角下入射到空气-玻璃界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，假设玻璃的折射率为1.5，求反射系数和透射系数。1.12 假设窗玻璃的折射率为1.5，斜照的太阳光（自然光）的入射角为600，求太阳光的透射率。1.13 利用菲涅耳公式证明（1）RS+TS=1；（2）

4、RP+TP=11.14入射到两种不同介质界面上的线偏振光的电矢量与入射面成角，若电矢量垂直于入射面的分波（s波）和电矢量平行于入射面的分波（p波）的反射率分别为RS和Rp,试写出总反射率R的表达式。1.15证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，在下表面的入射角也是布儒斯特角。1.16光波在折射率分别为n1和n2的二介质界面上反射和折射，当入射角为°1时（折射角为°2,如图a），s波和p波的反射系数分别为rs和几，透射系数分别为ts和.。若光波反过2spsp来从n2介质入射到n1介质，且当入射角为°2时（折射角为°，如图b）,s波和p波的反

5、射系数分别为r/和r/,透射系数分别为t/和t/。试利用菲涅耳公式证明（1）r=-r/（2）r=-r/spspsspp（3）tsts/=TstptpFp.b>16题图1.17电矢量振动方向与入射面成450角的一束线偏振光入射到两介质界面上，若入射角°=5Oo,第一介质和第二介质的折射率为n1=1,n2=1.5，问反射光中电矢量与入射面所成的角度是多少？若e1=6Oo,反射光电矢量与入射面所成的角度又是多少？1.18证明当入射角e1=45o时，光波在任何两种介质界面上的反射都有rp=rs2。1.19证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的界面上时，tp=1/n,其中n=n2/n1o

6、1.20光束垂直入射到玻璃-空气界面，玻璃折射率n=1.5，计算反射系数、透射系数、反射率和透射率。1.21光束垂直入射到45o直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出（如图）若入射光强度为Io，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考1.22 一个光学系统由两片分离的透镜组成，两片透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜，使表面反射率降为1%,问此系统的光能损失又是多少？假设光束接近于正入射通过各反射面。1.23 光束以很小的入射角到一块平行平板上，试求相继从平板反射的两支光束和透射的两支光束的相对强度。设平板的折射

7、率n=1.5o1.24 如图所示，玻璃块周围介质（水）的折射率为1.33。若光束射向玻璃块入射角为450问玻璃的折射率至少应为多少才能使透射的光束发生全反射。24题图1.25 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成450角。设玻璃折射率=1.5，问线偏振光应以多大的角度入射才能使反射光的波和波的位相差等于450。1.26线偏振光在片和n2介质的界面上发生全反射，线偏振光的电矢量的振动方向与入射面Iin2一n2成45o。证明当cos9=12'n2+n2（12时（9是入射角），反射光s波和p波的位相差有最大值。1.27如图是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率

8、为n1，光纤包层的折射率为n2,并且叫比。（1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式皿艸-役；若ni=162吁心,最大孔径角等于多少？27题图1.28如图是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为n1n2,光纤芯的直径为D,曲率半径为R。1）证明入射光的最大孔径角2u满足关系式sinu=An2一n21+12LD丫2R丿（2）若n1=1.62,n2=1.52,D=70卩m，R=12mm,最大孔径角等于多少？28题图g1.29已知硅式样的相对介电常数=12，电导率b=2/cm，证明当电磁波的频率g0V<109Hz时，硅式样将起良导体作用，并计算V=10Hz时对这种式样的穿透深度。1.

9、30试利用电磁场的边值关系证明，当平面电磁波倾斜入射到金属表面时，透入金属内部的波的等相面和等幅面不互相重合。1.31在正常色散区，式（1-136）的实部的表达式可以写为1Nq2f-2丿n2=1+-fj今fVgmW22仏+WV戈0j0j证明在略去Y.后由上式可以得到科稀公式。j1.32试证明f（x-vt）是一个沿x正方向运动的具有不变波形的行波。1.33试证明屮（x,t）=f（x土vt）是一维微分波动方程的解。1.34若甲（x,t）和甲（x,t）是微分波动方程的两个解，试证明甲（x,t）+甲（x,t）也1212是一个解。1.35已知波形为：屮(y,0)二(1) 试写出沿y增加方向以2m/s速率

10、运动相应的行波表达式。(2)画出t=0和t=1秒的波形。1.36(1)试证明表达式屮(z,t)Ae-(2柯)2是一行被；(2) 验证它是波动方程的解。1.37下列诸函数哪一个描绘行波?式中A、B和C均是常数。屮(x,t)A(x-1)2屮(y,t)A(y+1+B)12屮(z,t)AsinB(z2一ct2)屮(x,t)A(Bx2-1)341.38 下列每一个波的传播方向和传播速率是什么？屮(y,t)A(y-1)2屮(x,t)A(Bx+Ct+D)212式中A、B、C和D是常数。1.39 屮(x,t)A(A+Bt+D)2+Aexp(Cx2+BC212-2BCxt)是一维微分波动方程的解吗？式中A、B、

11、C和D是常数。如果屮(x,t)实际上是一波函数，问该被的速率是多少？1.40证明波函数屮(x,t)对t的变化率等于它对x的变化率乘上一常数。1.41试证明对于一列谐波，其空间上的重复性甲(x,t)=W(x土入，t)要求k=2n/入。1.42光的波长大致是在390nm(紫光)到780nm(红光)的范围内。和所有真空中的电磁波样，它在真空中速率约为3X108n/so试确定对应的频率范围。1.43试证明谐波函数屮(x,t)Asin(kxet)是一维微分波动方程的解。1.44试证明一列前进谐波可依次用下列方程来描绘：(1) 屮Asin2k(事土-)入Tx(2) 屮一Asin2kv(一土t)v(3) 屮

12、Asin2k(kx±vt)式中k三1/九。1.45己知光波的波函数(SI单位)为屮(x,t)103sin兀(3x106x-9x10141)试确定(1)速率，(2)波长(3)频率，(4)周期和(5)振幅。x1.46已知波函数为：屮(x,t)10cos2k(一1.5x10151)2x10-7试确定其速率、波长和频率。使用SI单位。1.47已知振幅为10个单位的谐扰动，它用波函数屮(x,t)来描绘，屮(0,0)=0。如果这列波角频率为n/2且以10m/s速率运动，试确定此波在t=3s时、离波源20cm处的大小。1.48假想你有一张t=0时波的照片，表示其波形的数学表达式为屮(x,0)=5s

13、in皿/25。如果这列波沿负x方向以2m/s速率运动，试写t=4s时扰动的表达式。l.49通过检验相位，试确定由下面式子所表示的行波的运动方向。ty屮(y,t)=Acos2k(+8)1T九z屮(z,t)=Acos兀1015(t-+8)2vQx1.50利用v=()这一事实，计算波Qtw屮(x,t)二103sin兀(3x106x一9x10141)的速率，采用SI单位。l.51一列谐波沿正x方向运动，在x=0处，甲=10；在乂=入/6处，甲=20；而在x=5入/12处，甲=0,试写出此谐波波形的表达式。1.52已知一振幅为20v/m的正弦波E(x,t)。如果E(0,0)=-20v/m，那么此波的初相

14、位是多少？(E可想象为电磁波的电场分量。)1.53一列正弦波当t=0时在x=0处具有最大值。问其初相位为多少？1.54在空间的任一给定点，正弦波的相位随时间的变化率为12nX10i4rad/s,而在任一给定时亥I，相位随距离x的变化率是4nX106rad/m。若初相位是n/3,振幅是10且波沿正x方向前进，写出波函数的表达式。它的速率是多少？1.55我们己求得众丫=常量是一垂直于k且通过某点(x0y0z0)的平面方程。试确定常量的形式，并写出笛卡儿坐标的谐波波函数。1.56试写出在笛卡儿坐标中以方向余弦cosa，cosB,cosY表示的平面谐波波函数，其中：k=kcosak=kcosPk=kc

15、osy和cos2a+cos2p+cos2丫=1。然xyz后证明此函效是三维微分波动方程的一个解。1.57试证明屮(r,t)=f(厂一讥)是三维波动方程的解，它对应于中心在原点并从原点以速r率v向外运动的球形扰动。式中f(r-vt)是一任意的二次可微函数。1.58确定下列平面波的传播方向。屮(x,y,z,t)=Asin(x+2k帀"+壬-)<141.59一平面谐波k=2n/入且k指向从原点过点(2,2,3)的直线，试在笛卡儿坐标中写出此平面谐波的表达式。1.60设一平面电磁波沿正x方向传播，试证明电矢量和磁矢量的振动方向均垂直于波的传播方向。1.61试对于平面电磁波沿X方向传播的

16、情形，证明电矢量和磁矢量互相垂直。1.62已知一平面简谐波的电场具有这样的形式：,t)=Acosy(x)t-一+pIc丿试写出相联系的磁场的表示式。1.63在真空中传播的一列平面电磁波，用国际单位量度时其电场可以表示为E二0x(x)KE=0E=(102V/m)cosKx1014s-1t-一+y，zIc丿2问该电磁波的频率、波长、振幅、周期和初位相是多少？1.64 一平面简谐电磁波在真空中沿正X方向传播，其频率为6x1014Hz，电场振幅为42.42V/m。如果该电磁波的振动面与XY平面成450,试写出E和B表示式。1.65 证明平面简谐电磁波的波动公式E=Acos(®t-kx)是波动

17、微分方程d2E1d2E八一=0的解。dx2v2dt2d2E1d2E门1.66 利用分离变量法求解波动方程-=0,证明其解可以表示为dx2v2dt2E=Acos(t±kg+申)或E=Asin(t±kg+申)的形式。1.67已知真空中的一平面电磁波，其B场表示为B=0，B=66.7x10-8sin4kx106(z-3x1081)，B=0xyz写出E场的表达式，此扰动的波长、速率、和运动方向如何？1.68 一列平面波从A点传播到B点，今在AB之间插入一透明薄片，薄片的厚度l=1mm,折射率n=1.5。假定光波的波长九=500nm，试计算插入薄片前后B点位相的变化。01.69 一列

18、通过透明媒质的平面谐红外波以常用的SI单位用下式给出：E(y,t)=Esin2k(y-3x10141)xox5x10-7试求在此频率时，媒质的折射率和此扰动在真空中的波长。1.70地球表面每平方米接收到来自太阳光的能量为1.33KW，若把太阳光看作是波长九=600nm的单色光，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度。1.71一个功率P=100W的单色光源均匀地向空间各个方向发光，试利用空间的磁导率的数值计算离光源10m处的光波电场强度。1.72利用波矢量k在直角坐标中的方向余弦cos*,cos0,cosY写出平面简谐波的波动公式，并且证明它是三维波动微分方程的解。1.73球面电磁波的电场E是r

19、和t的函数，其中r是一定点到波源的距离。(1)写出与球面波相应的波动方程的形式；(2)求出波动方程的解。1.74研究一个在真空中沿正y方向传播的波长为500nm的谐平面波。若B场被限制在xy平面上，且辐射强度为1.197w/m2，试确定E场。1.75一光束的真空波长为600nm。在折射率为1.5的媒质中它的波长为多少？1.76我们想要比较两光束的飞行时间；一束在四氯化碳(n=1.46)的桶中，另一束在空气中。如果路程长度是一样的，当通过此路程的时间差要求为百万分之一秒时，问桶的长度应为多少？1.77个各向同性的点波源沿所有方向均匀地辐射。如果离开点波源10m处测得电场振幅为10v/m，试确定辐

20、射功率。1.78光束在300角下入射到空气和火石玻璃（n2=1.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数r和rsp1.79对于上题所设的空气和火石玻璃界面，问光束在什么角度下入射恰可使rp=0?1.80 导出光束正入射或入射角很小时的反射系数和透射系数的表示式。1.81 电矢量振动方向与入射面成450的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n1=1和n2=1.5。（1）若入射角91=500，问反射光中电矢量与入射面所成的角度为多少？（2）若9=6Oo,反射光电矢量与入射面所成的角度又为多少？1.82光波在折射率分别为叫和n2的二介质界面上反射和折射

21、，当入射角为°时（折射角121为°，见图），电矢量垂直于入射面（s）和平行于入射面（p）的分波的反射系数分别为r2s和r，透射系数分别为t和t。若光波反过来从n2介质入射到片介质，且当入射角为°时psp212（折射角为°），s波和p波的反射系数分别为r'和厂，透射系数为t'和t'。试利用菲涅耳1spsp公式证明（1）r二一r'；（2）r=-r'；tt'二T；tt'=Tssppsssppp82题图1.83入射面到两种不同介质界面上的线偏振光波的电矢量与入射面成a角。若电矢量垂直于入射面的分波和平行于入

22、射在的分波的反射率为R和R，试写出总反射率R的表示式。sP1.84 自然光（或非偏振光）的电矢量的取向迅速且无规则变化。如果自然光在角度°下入1射到二介质的界面，试导出自然光的反射率的表示式。1.85 一光学系统由两片分离的透镜组成，两片透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜使表面反射率降为1%，问此系统的光能损失又是多少？1.86 光束以很小的角度入射到一块平行平板，试求相继从平板反射和透射的头两支光束的相对强度。设平板的折射率n=1.51.87 一个线偏振光束其E场垂直于入射面，此光束在空气中以450角照射到空气玻璃分界面上。假设ng=1.

23、6,试确定反射系数和透射系数。©1.88证明：对于e.的一切值-r+t=1iss1.89图所示的全反射棱镜可以用来使象倒转。问为了能使光波在棱镜的斜面上发生全反射,棱镜的折射率最小应为多少？89题图1.90浦耳弗里许(Pulfrich)折射计的原理如图所示。会聚光照明载有待测介质的折射面AB,然后用望远镜从棱镜的另一侧AC进行观测。由于n>n，所以在棱镜中将没有折射角大于°gG的光线,由望远镜观察到的视场是半明半暗的,中间的分界线与折射角为°的光线相应。G(1) 试证明n与n和e的关系为：n=:n2-sin2°g(2) 棱镜的折射率ng=1.6，对某种被测介质测出9=300，问该介质的折射率等于多少?