圆锥曲线轨迹方程经典例题

1、一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P124B组2:长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程:1必修2课本P124B组：已知M与两个定点(0,0),A(3,0)的距离之比为一，求点M的轨迹万程；(一般地：必修2课本P144B组2:已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程(分m=1,与m01进行讨论)2、必修2课本P122例5:线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆/(x+1)2+y2=1上运动，求AB的中点M的轨迹。'(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为

2、2应，在y轴上截得线段长为2氯。(1)求圆心的P的轨迹方程；(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程。如图所示，已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足/APB=90°,求不RA矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.(才喇儿界解：设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在RtAABP中，RR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，/“依垂径定理：在RHOAR中，|AR|2=|AO|2|OR2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=J(x4)2十y2所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时

3、，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点，所以xi=>+4,%="0,代入方程x2+y24x10=0，得22(彳汗+夕-4x4-10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线l:y=2x4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.(2013陕西卷理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程；(2) 已知

4、点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是/PBQ的角平分线，证明直线l过定点。二、椭圆类型：1，一3、定义法：(选修2-1P50第3题)点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离之比为，求点M2的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢？(对应双曲线，抛物线)4、圆锥曲线第一定义：(选修2-1P50第2题)一个动圆与圆2222x+y+6x+5=0外切，同时与圆x+y6x91=0内切，求动圆的圆心轨迹方程。225、圆锥曲线第一定义：(1,0)为定点。线段轨迹方程；(注意点f2点M(A)。

5、)圆目(x+1)+y=9上的一个动点，点F2MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q(x,y),求点Q的(1,0)在圆内)6、其他形式：(选修2-1P50例3)设点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且他们的斜4率的乘积为-一，求点M的轨迹万程：(是一个椭圆)94(讨论当他们的斜率的乘积为4时可以得到双曲线)9(2013新课标1卷20)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线Co(1)求C的方程；(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两Q点，当圆P的半径最长时，求AB(2

6、013陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C的方程(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。、双曲线类型:228、圆锥曲线第一定义：点M(必)圆Fi(x+1)+y=1上的一个动点，点F2(1,0)为定点。线段MF2的垂直平分线与MFi相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程；(注意点F2(1,0)在圆外)165定义法：(选修2-1P59例5)点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线x=的距离之比为一，求点M的轨迹万54程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义

7、法：(选修2-1)点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=-2的距离相等，求点M的轨迹方程。(或：点M(x,y)与定点F(2,0)的距离比它到定直线x=-3的距离小1,求点M的轨迹方程。)(2013陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C的方程(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2。(1)求曲线C的方程；)在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均

8、在C2：(x-5)2+y2=9外，且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(I)求曲线C1的方程；(湖北)设皿单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，皿直线i与x轴的交点，点ME直线l上，且满足IDM|=m|DA(m>0,且m1)。当点A在圆上运动时，记点M勺轨迹为曲线Q(I)求曲线C的方程，判断曲线C句何种圆锥曲线，并求焦点坐标；22（辽宁）C1:x2交于A,数),动圆C1与C。相(I)求直线AA与直线AB交点M的轨迹方程(四川)如图，动点M到两定点A(_1,0)、B(2,0)构成AMAB,且/MBA=2/MAB,设动点M的

9、轨迹为C。(I)求轨迹C的方程；(n)设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求邱1的取值范围。|PQ|1.()已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点，如果延长FF到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆2Ai、A2是椭圆B.椭圆C.双曲线的一支2D.抛物线交点的轨迹方程为(92“XA.9+匕=1的长轴两个端点,4Pi、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线AiPi与A2P22匕=142B.92X=1422xyC.-=1942D.92X=14二、填空题3 .(*)4ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(旦

10、，0),且满足条件sinCsinB=2sinA,则动点A的222轨迹方程为.4 .()高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是.三、解答题5 .(*)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6,。0'切直线l于点A,又过B、C作。O'异于l的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.226 .伊*)双曲线拶1=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点，弓IA1QXA1P,A2QM2P,AQ与abA2Q的交点为Q,求Q点的轨迹方程.22&am

11、p;.()已知椭圆+号=1(2>>0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，/F1PF2的外角平分线为I,ab点F2关于I的对称点为Q,F2Q交I于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C,直线I:y=k(x+，'5a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|FQ|=2a,.动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆2.解析：设交点P(x,y),Ai(3,0),A2(3,0)

12、,Pi(X0,y0),P2(X0,y0)Ai、Pi、P共线，.匕比=y-A?、P2、P共线,x-x0x32222口！=上解得=940=32,代入得"纹=1,即'_L=i且实轴长为旦,故方程为i6x_16y_=i(x>-a).2a23a24x-x0x_3xx9494、3.解析：由sinCsinB=sinA,得c-b=1a,应为双曲线一支,2222%专i6xi6ya.答案：一厂_=i(x)a23a244 .解析：设P(x,y),依题意有,5一=3一，化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+i00=0.(x5)2y2,(x-5)2y2答案：4x2+4y285x+i00=0三

13、、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切。O'于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|二|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+I2=I8>6=|BC|,故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为22xyx轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹万程为一+L=i(yw0)8i726 .解:设P(x0,y0)(xw土设,Q(x,y).Ai(-a,0),A2(a,0).yVo=x+axn+a由条件

14、0Jx-ax°-ax0得，二一x(x0；二a)22x-ay0二y而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b222即b2(-x2)-a2(x-sa-)2=a2b2y化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xw±a).8 .解：二点F2关于l的对称点为Q,连接PQ,，/F2PR=/QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|又因为l为/FiPF2外角的平分线,故点Fi、P、Q在同一直线上,设存在R(x0,y0),Q(xi,yi),Fi(-c,0),F2(c,0).|FiQ|=|F2P|+|PQ|=|FiP|+|PF2|=2a,则(xi+c)2+y

15、i2=(2a)2.x0又，V。_xic一2普琳一2得xi=2x0c,yi=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,x02+y02=a2故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(yw0)2ia(2)如右图，.Saaob=-|OA|2|OB|2sinAOB=万sinAOB当/AOB=90°时，Saob最大值为a2.2此时弦心距|OC|=|*2ak|.1k2在RtAAOC中，/AOC=45PJ2ak|=cos45二,.k:一10AIa、1k223专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习:1 .如图1,AABC中，已知B(-2,0),C(2,0)，点A在x轴上方运动，且tanB+tanC=2,

16、则顶点A的轨迹方程是222+y2=1上运动，/AOP的平分线交AP于Q,则Q的轨迹方22 .如图2,若圆C：(x+1)2+y2=36上的动点则G的轨迹方程是.3 .如图3,已知点A(3,0)，点P在圆x程是4 .与双曲线x2-2y2=2有共同的渐近线，且经过点(2,-2)的双曲线方程为5 .如图4,垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x-1)分别交于点A、P,点B在y轴上，且点A满足|AB|=2|OA|,则线段PB的中点Q的轨迹方程是.几种常见求轨迹方程的方法：1.直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种

17、方法叫直接法.直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验；【例1】(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a,0)作圆O：x2+y2=R2(aaR>0)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.解：(1)设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.(2)设弦的中点为M(x,y),连结OM，则OM1AMk0M.kAM=1,11y-=-1,化简得：(x一旦)2+y2=(旦)2.xx-a22其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端

18、点)【例2】已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解：如图，设MN切圆C于N,又圆的半径|ON|=1, |OM|2二|NM|2+|ON|2二|NM|2+1, |MN|=J|OM|2-1,由已知|MN|=|MQ|+1.设M(x,y),则Vx2+y2-1=J(x-2)2+y2+1, 2x3=J(x-2)2+y?即3x2-y28x+5=0(x),可化为9(x-)2_3y2=1(x).23245.故所求的轨迹是以点(,0)为中心，实轴在x轴上的双曲线的右支，顶点为(,0),如图.33【例4】

19、已知定圆A的半径为r,定点B与圆A的圆心A的距离为m(m>2r).又一动圆P过定点B,且与定圆A相切.求动圆圆心P的轨迹方程.解：以AB所在的直线为x轴，当动圆P与定圆A外切时,由双曲线的定义知动圆圆心支）.显然，c=m,又a222222m-r故b=c-a=4以AB的中点为原点建立坐标系，如图.|PA|_|PB|=r;当动圆P与定圆A外切时，|PB|_|PA|=r.P的轨迹应是以A、B为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左所以所求的点P轨迹方程是:2x2r72y_122一jm-r43.动点转移法:【例5】已知定点若动点P（x,y）随已知曲线上的点Q（x3，y0）的变动而变动，且、y0

20、可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程.这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）.A（3,1）、B为抛物线y2=x+1,上任意一点，点P在线段AB的中点，当B点在抛物线上变动时，求点解：设点P（x,y）,且设点p的轨迹方程.2B(Xo,y°),则有Vo=Xo+1.点P是线段AB的中点.由中点坐标公式得:x3y02+1，y二2X0y0=qyac2x3,将此式代入y2=2y-1y0=址+1中，并整理得：（2y1）2=2x2,即为所求轨迹方程.它是一条抛物线.设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的4.待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时,参数，

21、进而求出方程.如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.【例7】若抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x被双曲线截得的线段长等于2而，求此双曲线方程.22解：设所求双曲线方程为41=1,将y2=4x代入整理得：a2x24b2x+a2b2=0.ab抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程a2x24b2x+a2b2=0应有等根.=16b44a3b2=0,即a2=2b.2由y=2x和yya由弦长公式得:2x2222.2w=1得：(4b-a)x-ab=0.b_2b2+X2)2-4x1x2=而卜4)(3)

22、.即a2b2=4b224a2=2b一'.a2b2=4b22得：a2=2,b2=1.，双曲线的方程是-a5.参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量y22-X=1.2t,并用t表示动点P的坐标x、y,从而动点轨迹的参数方程便可得到动点P的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x、y的范围.【例8】抛物线x2=4y的焦点为F,过点（0,-1）作直线交抛物线于不同两点A、B,以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,求顶点R的轨迹方程.解：设R(x,y),AB：y+1=kx,AB中点为M(%,y0),“月j),x2-4kx+4=0.=16(

23、k2-1)>0,x1+x2=4k,x1x2=4._._2_2_y1+y2+2=k(x+x?)=4k,y+y2=4k2.M(2k,2k2-1),F(0,1),M为AB中点，.x=4k,y=4k2_3.消k得：x2=4(y+3)(y>1).巩固练习：1 .平面上和两相交的定圆(半径不等)同时相外切的动圆圆心的轨为()(A)椭圆的一部分(B)椭圆(C)双曲线的一部分(D)双曲线2 .已知动点M与定点F(2,0)的距离比动点M到y轴的距离大2,则动点M的轨迹()(A)抛物线(B)抛物线的一部分(C)抛物线和一射线(D)抛物线和一直线3 .已知定直线l和l外一点A,过A与l相切的圆的圆心轨迹

24、是()(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)直线4 .一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y28x+12=0者矽卜切，则动圆圆心轨迹为()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线5 .已知椭圆的焦点是F1、F2、P是椭圆上的一个动点.如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF21,那么动点Q的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线6 .已知点A(2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PAPB=x2,则点P的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线227.与圆x+y-4x=0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹万程是()22(A)y=8x(B)y=8x(

25、x>0*Dy=022(C)y=8x(x>0)(D)y=8x(x>0)和y=0(x<0)28.过抛物线y=2x的焦点作直线与此抛物线相交于两点P、Q,则线段PQ中点的轨迹方程为()2222(A)y=2x1(B)y=2x+1(C)y=2x2(D)y=2x+29.过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点，若BP=2PA,且OQAB=1,则点P的轨迹方程是(,一、232(A)3x2+-y2=1(x>0,y>0)2,322(C) x-3y=1(x0,y0)2232(B)3x-y=1(x0,y0)2322(D) x3y=1(x0,y0)210.已知两点M(2,0)、N(2,0)点P(x,y)的轨迹方程为(，点P为坐标平面内的动点，满足)|MN|