复变函数中mathematics的应用

1、浅谈mathematics在复变函数中的一些应用15051105赵杨摘要：数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。经过一学期的大学学习，就目前学习的知识和对于所了解的复变函数的应用而言，个人感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。本人认为mathematics软件对于复变函数的学习有很大帮助，所以本文把复变函数与积分变换和mathematics结合起来，把复杂繁琐的计算交于计

2、算机，给人以更直观的图像感觉和更高的处理效率。关键词：复变函数mathematics应用目录摘要1.图目录3.引言4.1 基本功能4.1.1 微分4.1.2 积分6.1.3 幕级数6.2特殊功能6.2.1 复变函数的分解6.2.2 路径积分7.2.3 复变函数泰勒展开和洛朗展开8.2.4 留数计算103三维图像1.1.4总结122.5 献1.3图目录图1正弦函数一阶导数5.图2幕函数的二阶导数5.图3复合函数求导6.图4复变函数的乘除与最初的分解7.图5复变函数在mathematics中积分8图6复变函数洛朗展开9.图7洛朗展开函数图像1.0图8计算留数10图9三维图像绘制1.1引言数学是一门

3、很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。信号分析和其他领域使

4、用复数可以方便的表示周期信号。模值|z度示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友复变函数。数学软件Mathematica的功能十分强大，使用非常简便，是我们进行复变函数学习的很好工具。Mathematica中与复变函数有关的命令，有许多与实变函数完全相同，例如微分、不定积分、幕级数展

5、开等，这些都为其基本功能，Mathematica在复变函数中还有许多特殊的功能。这些功能为我们学习复变函数提供了很大的方便。1 基本功能1.1 微分在Mathematica中对复变函数f(z)求一阶导数的命令是Dfz,z或者fz,以fz=sinz为例，用mathematics作图如下口回1小工nm'wFun.UtiQn.SinhL-rjli-p1：口：:ktm-nfSini£!,i,1)11Cobz'm?-PlotCQsrzP(z,-2&,3S94P工6,3H94)J图1正弦函数一阶导数求二阶导数的命令是Dfz,z,2或者f"z,以幕函数f(z)=z

6、9为例0r司=InvezseFuncticnFunetiozrIn3：工：j工:1NS-口【L9/f£j2l多元函数f(z,w)对自变量求一阶偏导数fz(z,w)和fw(z,w)的命令分别是Dfz,w,z和Dfz,w,w,求二阶偏导数fzz(z,w),fzw(z,w)和fww(z,w)的命令分别是Dfz,w,z,2,Dfz,w,z,w和Dfz,w,w,2。更高阶导数的命令可以据此类推。ln30：=DSini*z/wfzf2i2Sin产”Out30=z-图3复合函数求导1.2 积分在Mathematica中对函数求不定积分的命令是Integratefz,z,注意在复变函数中,只有解析函

7、数的不定积分才有意义。对函数f(z)从z1到z2求定积分的命令是Integratefz,z,z1,z2,在复变函数的情况下，定积分的路径默认为从起点z1到终点z2的线段。1.3 哥级数在Mathematica中把解析函数F(Z)在给定的zSo点展开为幕级数的命令是Seriesfz,z,z0,n,其中参数n表示展开式只显示到自变量z的第n次幕.而一个已知的幕级数12n=oan(z-zo)n可以用命令Suman(z(z0)n,n,0,00来求和。其收敛半径R可以用比值法来确定，公式为R=limn-00|an/an+1|相应的Mathematica命令为LimitAbsan/an+1,n-00.2特

8、殊功能2.1 复变函数的分解人们认识复变函数的初期，是通过把它化为实部和虚部两个2元实变函数的方法来进行探索的。Mathematica提供了把复变函数f(z)分解为实部和虚部的命令ComplexExpandfx+yI。例如，要把复变函数sinz分解为实部和虚部，可以输入ComplexExpandSinx+yI,输出结果为CoshySinx+ICosxSinhy如果要分别得到实部和虚部，可以用下面的复合命令ComplexExpandRefx+yI和Complex-ExpandImfx+yI。3.3-35下面就以此乘法运算，(1/2-('/2)I)3(-I)为例，我们体会一下复变函数运算在

9、mathematics中的体现和mathematics软件的强大计算能力。blzryfwwnui«4«rerfpiiiwt-4runih力prhwwmm色,电医II力网-(VT/q(VTi)IF1I-n-VTti51/a咛-1.73205*1.70998iin|jAbs-1.73205+1,70999iOuv|40=2.43393in4i2«43393P16Oll4iy/NumherFwrp2.433930512198?14图4复变函数的乘除与最初的分解2.2 路径积分在Mathematica中求定积分的命令Integrate可以用来计算以折线为路径的积分。如果积

10、分路径由点集z0,z1,z2,.,zn中的各点依次连接成的折线组成，则被积函数f(z)沿该路径的积分为Integratefz,z,z0,z1,z2,.,zn.例如，我们沿折线路径0,2,2+i对函数z2进行积分，Mathematica命令为IntegratezA2,z,0,2,2+I,结果为23+11i3。IrvMHtFormalJI串ainEwkiab9nWrrin-2,439930512198914-IntegxatGz2(z#0212+I)11i冲国Nconverttoexponential0,666i667«3,6667iOuH5<j=图5复变函数在mathematic

11、s中积分2.3复变函数泰勒展开和洛朗展开在Mathematica中泰勒展开的命令Series还可以对复变函数进行洛朗展开。如果z0是函数fz的极点，则命令Seriesfz,z,z0,n可以把该函数在极点展开为洛朗级数。例如，我们把函数sinzz(z-1)在极点z=1展开，要求显示到自变量的第4次幕，对应的Mathematica命令为：SeriesSinz/z/(z-1),z,1,4fileEditInsertFormatCellGraphicfEvaluationPalettesWiixiowHelpMT“wrivarttoctxponentialO.6666S743.G6667iCMl3尸3

12、2676e113MWl中RSeries：Sinz)/z/(z-1)P(zf1f4Jl二：N-orELalS'""4(Cos1|-Sinl)+-Cos15Co*1Sinin,.、工5CosLJ13$lnlf-(z-1)+U+(=-1)62t1624/皿Csl竺名12024,;1D1Cds；1：13Sin；l.5Cos：1Sin；11.0u44«l-*.mJ-x(-1*z)*-Sinti：120J11I6251n：l',-5Cos：1313Sln：lma*-一/卜一万一*一办一I-n尸(t1101Camt)13SiriflISCoafllStnL!叫L

13、HPlotCOSII+1fi)*-+(-1+I)1-+1I12024iS2/*、/K*,SinflJ.I3Coal13Sinl&*,Siul(-14t)*-*t*l+z)3|-*-Sinl)+-.t$II6£4I,e8>图6复变函数洛朗展开结果为sin(1)z-1+(cos(1)-sin(1)+(-cos(1)+sin(1)2)(z-1)+(5cos(1)6-sin(1)2)(z-1)2+(-5cos6-13sin(1)24)(z-1)3+(101cos120-13sin(1)24)(z-1)4+O(z-1)5.最后一项表示还有未显示的更高次幕。当然，mathemati

14、cs还有强大的自动绘图功能，上面洛朗展开函数图像如下用标EdhiMtrlFwmlMGr«pHcsEv置kiitimPalrftes惭HmwHelp"1+(-1*!)*1M-aij+(-1+1)I(-jj*4-1*»)+.JT-l+F*5c«llJa|-3（4*"*叫陪4誓2卜1/*叫等1-呼）*-1*升6（1卜于卜-'*力，卜：帆不；|中图7洛朗展开函数图像2.4留数计算Mathematica还提供了计算留数的命令.我们可以用Residuefz,z,z0计算复变函数f(z)在z0点的留数值。例如，我们要求函数在sinzz(z-1)z=1

15、点的留数，对应的Mathematica命令为：ResidueSinz/z/(z-1),z,1in45；=ResiduefSinzZz/(z,1Out4s>Sin:1:mg=HsLn1Out(oj=0.841471ir*v=NamberForm0*841471f16OulfSINumbefForrn*0.84147098807897图8计算留数结果为Sin103三维图像如下图Mathematics除了能作出二维图像之外，还有强大的绘制三维图像的功能Untitled1*WollramMdthcmatkdW.OFileEditInsertFqrm.tflGf中EvIuMiqe口迎WindowHepPAXUAtticPlatSDCo>v.Si.a'rE*p-£«*？工.(u,Oj4)PLqiTHw->-3cUntificprP19tP»nt>20rorRtiar-»(1,lrO.fl)rlBoxed-»F.Axes*False图9三维图像绘制4总结上面的介