数值分析所有常考例题及详细答案

1、第二章线性方程组的直接解法2第三章解线性方程组的迭代法7第五章非线性方程和方程组的数值解法10第六章插值法与数值微分14第七章数据拟合与函数逼近19第八章数值积分23第九章常微分方程的数值解法28第二章线性方程组的直接解法1、用LU分解法求如下方程组的解335、L，1、32359X=0,(2)22工5917;i30(D310X12解：（1）2A=11554=LU23L丫二（11)T=UX=Y4tY=(1,-1,39TX=(-,-,2)t22(2)31012一12|3132233一12|3-31-511I3I1一3一5113I1隗21一3一2426,49615,z2、对4阶矩阵A=进彳亍LU分解

2、|26918_61518402-4解：A=2一6961515181840242612336113、用高斯列主元素消去法解线性方程组2x1-X23x3=14万2x25x3=4XX12x2=711x1-3x2-2x3=3D-23411x2x3=0|x12x22x3=-1解：对增广矩阵进行初等行变换一24一11112+(-2)12-1313*-5).221314T04-12T041273十下）。0531300_721一222一一8413502x1-x23x3同解方程组为4x2-x3=2721一"=一l.84回代求解得X-(9,-1,-6)t此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法11

3、r2r1T41-1r2,(-2)r1T3.(一小4141254得同解方程组回代求解得11-23I1-3111-231157235223得同解方程组回代得3一4Tr212784x12x25x3=4c1/-2x211,X3=-1721一一&二84X-(9,-1,-6)t-231111-3214-2311522357233523472347233523-23115723472319357223571-23x111x2&=0八5747,0x2x3=-1232319300(-)x3=5722357X二(0.212435,0.549222,-1.15544)T4、用Jordan消去法解矩阵

4、方程,一1AX=B其中:1-1一10。110解：容易验证A#0,故A可逆,有X=A-B因此,写出方程组的增广矩阵,对其进行初等变换得一11-2-1-21。11T0一10：01-11-13-11-13。11T0一10L0-1-121-16011一30-12-11-113一2一11X二A-B二-11一23一2一111232一5、用LU分解法求解如下方程组一24-6513-3-6Xi一-19X2一10119解：A=LU一1231上0-6174(1)解Ly=b121-34得=10,丫21019y2尸1治330=19-20=T,y3=34-30=4即y-(10,-1,4)t(2)解Ux=y25-6x11

5、03-7x2-4Jlx3jJ解得：x3=1,x2=2,x1=3所以方程组的解为x=(3,2,1)T。第三章解线性方程组的迭代法1、1aa"A=a1aorkaaLa13、A=1a2awRL32*4a,若Jacobi迭代收敛，求a的范围一1a解：(1)、a=a1aaalFa时的Jacobi迭代矩阵B=-a1J，a-a-a|0a-a0-E-B_2"2a)(-a)Jacobi迭代收敛u：1P(B)<1u2aa<1-:二a:二(2)、A=-a1-3312Jacobi迭代矩阵aBa"a-1-3-2-3-)aaA2aEB二1=0'2=2ia2.一iaJaco

6、bi迭代收敛u7(B)：二1二-2工1；：1I11,2一八<1u±-i<1ua>2：二12、讨论AX=b的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，A二2-1b=(1,1,0)T20解：Jacobi迭代法的迭代矩阵BJ=(I-A)=-2、10，则儿I-BJ=九3=0=P(Bj)二0：二1二Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Bg_s-11-21YoI_Bg_s二(2一4'-4)=0=：-、(B2),Gauss-Seidel迭代发散3、讨论下列迭代法的收敛性AX=b的G-S迭代X(K1)=BX(k).b解：-(DL)4U-0.

7、5130=22211110.10.50.02_0.5-0.5161z00<0-2-1一60.20.10.30.10.30.20.20.20.10.10.30.0512_.KE-B=7.（30九一10九+1）=03011=0_10：'-2023230卜卜1故BB）=max：1Gauss-Seide迭代收敛IIBb冢ScI,故B的谱半径P(B)引Bb<1,由迭代法收敛的充分必要条件知该迭代格式收敛第五章非线性方程和方程组的数值解法1、给定函数f(x),设对一切x,f'(x)存在且0cmEf'(x)<M2,迭代过程xk书=4-九f(xk)均收敛于f(x)=0

8、的根aM证明：f(x)=0的等价形式为x=xKf(x)则“书=xk-九f(xk)对应的迭代函数(x)=x-f(x)，(x)_=1Lf(x)0<m_f(x)_M0：1/-m_f(x)_M：20-m_-f(x)_-M-2-_'.二中(x)11-m_1-f(x)_1-M-1=1一九f(x)<max|1一九m,1-九M易证f(x)=0有根，故迭代过程xk书=xk-九f(xk)收敛于f(x)=0的根a2、证明：Wx0wR,由xk书=cosxk(k=0,1,2)所产生的序列收敛于x=cosx的根证：考虑区间1-1,11-x-1-1,11-x-1-1,11(x)=cosx1-1,11中(

9、x)=sinx<sin1<1/-VxD-1,1toxk书=cos4所得序列收敛于cosx=x的根XZx0WR,x1=cosx°w-1,1，将X看作新的迭代初值，则由知序列必收敛于x=cosx的根3、利用适当的迭代格式证明lim'2'22=2kn证：考虑迭代式.中他+Xk(k=0,1,2,)则X0=0X2=,22Xk显然xk三0,2记迭代函数(x)-2X,x1.0,21则：；'(x)=Xk1=1(Xk),x0,k=0,1；.2.2x,-.Vx=10,2有1°邛(x)w。2i'1中(x)M平(0)=力<122由迭代法的全局收敛定

10、理(压缩映像原理)知VX0w【0,2由Xk+=J2+人所产生序列收敛于x=9(x)=j2+x的根在0,2上解方程x=J2十x得惟一根x=20limxkk_二二24、研究求百的牛顿公式由牛顿公式xk1=xkf(Xk)f(Xk)2Xk-a1/a、=xk二一(xk)2Xk2kXk证：a20,%>0,故xk>0,(k=1,2，)xk1Xk.xk单调递减有下界，必收敛5、设中(x)=x+c(x2-3),应如何选取c才能使迭代式Xk4i=(Xk)具有局部收敛解：迭代格式；给=g"3),1,2，一局部收敛，设迭代序列的极限值为«,则有2二c(-3)得:=3或=-、3(x)=1

11、2cx当平(向父1,即1+2，3c<1,即一cc<0时，由局部收敛定理知1V3迭代格式乂小=中(乂。局部收敛于网<1,即1+2屈<1,即0:二c:二时，由局部收敛定理知迭代格式x+=(xk)局部收敛于-436、给出计算x=1111的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明5-1x二2，一.11斛：令x1,x2=1 1121111其中，中有n条分数线1L贝U:xn+=，且limxn=x1xn-.1令f(x)=二则xn+=f(xn)1x显然，-XoO,X1(0,1),Xk1,1,k=2,3,一2我们不妨在,1上讨论迭代式Xn¥=f(Xn)的收敛性-X射，f(XY2,1

12、ii:iii:f(X)=f(X)_1一(1X)2<111X2二由全局收敛定理(压缩映像原理)Xo：,1,Xk1=f(Xk)=所得序1一，一列必收敛于方程X=f(x)=的根。1X解方程X='得X=近二11X2.limxnni-.5-12即:,5-121.第六章插值法与数值微分1、设f(x)/c2b,b,且f(a)=f(b)=0,求证maxf(x)=a父包(b-a)28maxf(x)a型0证：以a,b为插值节点进行线性插值，具插值多项式为x-bx-aL(x)=-f(a)-f(b)=0a-bb-a由插值余项定理f()f(x)-L1(x)=-2(x-a)(x-b)(a,b)2!二f(x)

13、=fT1(x-a)(xb)<-max2a型f''(二)嚅(x-a)(x-b)1 2.=8(b-a)maxf(x)2、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足:H(0)=1,H(0)=0.5,H(1)=2,H(1)=0.5解：(法一)首先构造如下的基函数表函数值导数值0101%(x)1000%(x)0100HKx)0010H2(x)0001则：1(x)=(axb)(x-1)2=-1(x)=(2x1)(x1)2：2(x)-(axb)x-0)2=：2(x)=(-2x3)-x222H2(x)=a(x一1)工=H2(x)=(x1)x221212,H(x)=(2x1)(x1)

14、21222(2x3)b2x(x-1)2(x-1)Y22(法二)：令H(x)=a0+a1x+a2x2+a3x:2(x)=a(x-1)x=-2(x)x(x-1)贝UH'(x)=a1+2a2x+3a3x2.八.；.-3,a0+a1M0+a2M0+a3M0=1,.2.,3-a0+a1黑1+a2黑1+a§黑1=2.2问2a203a30=0.52阚2a213a31=0.5d13da0=1a1=a2=a3=-1221 323.H(x)=1xx-x2 23、确定一个不高于四次的多项式H(x),使得：H(0)=H(0)=0,H(1)=H(1)=H(2)=1解：(法一)首先构造如下的基函数表函数

15、值导数值01201%(x)10000口1(x)01000%(x)00100口0(x)00010%x)00001则：2512：0(x)=(axb)(x-1)(x-2)=:0(x)=(x)(x-1)(x-2)42222:1(x)=(axb)x(x-2)=：1(x)=x(x-2)-2.12：0(x)=a(x-1)x(x-2)=l-0(x)=-x(x-2)(x-1)2：i(x)=a(x-1)(x-2)x2=i(x)-(x-1)(x-2).x2H(x)=0二o(x)T_-1(x)1二2(x)0多o(x)1二1(x)=x2(x-2)21x2(x-1)2-(x-1)(x-2)x241 22=x2(x-3)2

16、4(法二)令H(x)=a0axa2x2a3x3a4x4,23则H(x)=a12a2x3a3x4a4x.一.一2.-3.-4-a0+a1M0+a2M0+a3M0+a4M0=0=a0=0.2.3.4.a0+a1M1+a2黑1+a§黑1+a4黑1=1_._2._3.-4.a0+a1M2+a2M2+a3M2+a4M2=1一一一一2.一3-一a1+2a2黑0+3a3黑0+4a4黑0=0=劣=023a12a213a3124a413=1覆行923314H(x)=x-xx424122122x2(9-6x-x2)x2(x-3)244,B(2)=34、求三次多项式p(x),使得B(0)=p'(0

17、)=0,B(1)=1解：令P(x)=a0a1xa2x2a3x3贝UP(x)=a12a2x3a3x223a0al0a202a303=02a12a203a30=023a0al1a21a31=123a0al2a222a323=3a。=0a1二0a?a3-14a2'8a3=35a2=aa341,4591Q1OP3(x)二一x()x=x(5x)44415、求一个次数W3的多项式P3(x),使得P3(0)=1,P3(1)=2,P3(0)=P36=2解：令P(x)=aOaxa2x2a3x3则P(x)=a12a2x3a3x2尸2-2-3,一、氏+国父0+22父0+a3X0=1(1)一一一一2一一，一、

18、ai+2a2x0+3a3父0=0,5(2)',2,3-a°+aiMl+a2Ml+a3"=2(3)一,一.2._，八a1+2a2父1+3a3父1=0.5(4)由(1)得a0=1由(2)得a1=0.5由(3)得a0+a1+a2+a3=2(5)由(1)得现+2a2+3a3=0.5(6)把a0=1、&=0.5代入(5)、(6)得a2=1.5、a§=123P(x)=10,5x1,5x-x6、给出概率积分9x2y(x)=一产edx的数据表如下:.二0x0.460.470.480.49y(x)0.4846550.4937450.5027500.511668试用拉

19、格朗日插值法计算x=0.427时，该积分值等于多少?5、x1=0.46x2=0.47x=0.48x4=0.49y1=0.484655y2=0.493745y3=0.502750y4=0.511668将y看成x的函数y=y(x),以斗/2'3凡为插值节点作y(x)的3次插值多项L3(x)=V1l(x)y2L(x)y393(x)y4h(x)(x-x2)(xx3)(xM)(x-)(x-x3)(x-x4)一y1y2(x-x2)(x1-x3)(x1-xj(x2-x1)(x2")(x2-4)(x-4)(x-x2)(x-XJ(x-x1)(x-x2)(x-x3)y3一,工工:义一,工工;(x

20、3'x1)(x3'x2)(x3'x4)(x4x1)(x4x2)(x4一%)y(0.472):l_3(0.472)=0.023263440.426595680.108594-0.016373376=0.4955828642j.当x=0.472时，概率积分y(0.472)=-=50.4722e/dx:0.4955828647、利用y=JX在x0=100,x1=121,x2=144处函数值计算JH5的近似值并估计误差解：y=>/X过点(100,10)、(121,11)、(144,12),令X0=100,y0-10,xi=121,yi=11,&=144芈=12,则

21、y=TX的二次Lagrange插值多项式L2(x)=y0l0(x)yd/x)y2"x)70M(x121)(x144)+父(x-100)(x-144)(100-121)(100-144)(121-100)(121-144)2M(x100)(x144)(144-100)(144-121)115=y(115)：L2(115)：10.722756'''网15)H7(115-100)(115-121)(115-144)|100,144133=|-3-100683!815629|_5下15629_4=1.6312510第七章数据拟合与函数逼近192.297.8=ab44即

22、:111253138441_19212521312/曰5得”b1382532719.032.349.073.3：97.814：2一111111921253T3844口491112252312382144219.032.3149.073.3：97.8忸3277277699计璃a=0.972606b=0.0500351（法二）利用公式建立正规方程组5Z1ii57Xi25v2工Xii年5k22乙X次i_1乙yii5庐x'yiLiW.55327a=271-453277277699|b369321.5a=0.972606b=0.0500351y=lny,=A1aLyA为lb阪最小二乘法求出Ab将

23、(x,y)转化为3,y)Xi1.001.251.501.752.00V1.6291.7561.8762.0082.135(法一)建立超定方程组1.629=A+1.00b1.756=A+1.25bt1.876=A1.50b2.008=A+1.75b2.135=A2.00b即:11.001.6291.7561.8762.0082.135_j得正规方程组即:解之得:-1.001.251.501.75-11.0011.2511.5011.75J2.00-12.00A=1.6291.75611.8762.0082.135_j1.001.251.501.752.0051i注5Nx52Xii152Xii15

24、-1 £V、i苴5k22 xiyii=177.511.875A='9.4041，b，14.422-A=1.1224a=eA=3.0722b=0.5056.y=3.0722e°.5056x2x+4y=113、解超定方程组产一5y=3x2y=62xy=7解：由23I1211-xl|32：yj18即：IL-316工31-5243KH58得正规方程组23124【-521x23_y114-511213解之得x=3.0409,y=1.2418第八章数值积分1、用复化梯形求积公式求(e)dx的近似值，问要将Q1分成多少等分才能保证结果有四位有效数字，若用复化抛物线公式呢?解：要求

25、结果有四位有效数字u此处误差名=1父10"2R(f,Tn)-Yh2f''()0,1112b-a1.“_xb-a=1-0=1h=二一f(x);ehnh2要使R(f,Tn)f''()=1-2-e12n21只需n2之一M104JPn>40.8n=416若用复化抛物线公式，则R(fS)=h42880.n-2故：用复化梯形求积公式至少需要41等分才能保证结果有四位有效数字，而用复化抛物线公式只需2等分就可以保证结果有四位有效数字。2、对于积分jex%nxdx,当要求误差小于10时，用复化梯形公式计算所需节点数是多少？解:xf(x)=e-sinxa=1,b=

26、3,；=106则R(f,Tn)=-b_1Ah2二f''()=-31-(2)2-f''()1212n二-22f''()-1.1,313nf(x)=、2exsin(x)4xf(x)=2ecosxmaxf(x)i父包J.R(f,Tn)<-xX2e,334e3要使R(f,Tn):二只需4e33n2取n=5176x=max2ecosx<2ei父玄，要使误差小于10上，至少要取5176个节点11K3、用Romberg方法求I=edx,使泰差不超过2M1。kT0(k)严T尸T(kJ3)1301.859140911.75393111.71886122

27、1.72722191.71831881.718282731.72051861.71828421.71828181.7182818解:，15=910:二一102m(k1)(k)41m-1一m-1解:m.4-14、用Romberg求积法求积分I=J；：2dx的近似值要求误差不超过。”Xf(x)04.000000012.00000000.53.20000000.253.76470590.752.56000000.1253.93846150.6252.8764045f(x)=1x2a=0b=1Tmk),则0.8752.2654867按公式计算如下:kT0(k)T尸T(k_3)T303.00000001

28、3.10000003.133333323.13117653.14156783.142117633.13898853.14159253.14159413.141585843.14094163.14159273.14159273.1415926|Q-R|=|3.145926-3.1415858|<-10”2故I*4"2dx定R2=3.1415926为所求近似值一一一1c-一5、分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分fx2cosxdx,并比较它们的精度,-1准确值为0.478267254解：设f(x)=x2cosx,贝肝(1)=f(1)=0.540302305,f(0)=0由抛物线（

29、辛普森）公式1 x2cosxdx2-If(-1)+4f(0)+f(1)=-x0.54030230563=0.360201537由三点高斯公式1x2cosxdx5f二985f(0)-f99而f(、3)=f(1.j：0.428821915,f(0)=0一125_3故x2cosxdx-2f()=0.4764687959.5与准确值比较知：Simpson公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两位有效数字。6、确定如下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度1f(x)dx：1If(-1)2f(-)3f(1)1解：当f（x）=1时,当f(x)=x时,当f(x)=x2时,要使求积公式具有1

30、左边=1dx=2J1I右边=-12131.1-23左边=右边1左边=xdx=0二1右边=1-1-2?-3-13122左边=xdx=.3右边=-(-1)2-2：2-3-23-2次代数精度，当且仅当1-(-12：3-)=031(12：23")3即IL'I1.653-2.6151-.6532.615将，£）代九求积公式得1r1+屈3-276If(x)dxfc3；f(-1)+2f(-)+3f(-nr-)12当f(x)=x时，左边=xdx=0右边=1，(-1)3+2"16)3+3(3-26)3#03-515左边#右边，故此时求积公式具2次代数精度;将（支2,3）代入

31、求积公式得1yf(x)dx11-.6:f(-1)2f()3f(3532.615fo1o当f(x)=x3时，左边=x3dx=0右边=111+2(上西3+3(2)#03515左边¥右边，故此时求积公式具2次代数精度综上：。=11亚，或口卫,p=色处时，所得求积公515515式具最高代数精度2。第九章常微分方程的数值解法1、用Euler预估一校正格式求解初值问题dy2yysinx=0dxy=1要求步长h=0.2,计算y(1.2)及y(1.4)的近似值解：设f(x,y)-y-y2sinx,x0=1,y0=1,xn=x0nh=10.2hyn1=ynhfJnEuler预估一校正式为hh-|yn+

32、=yn+f(xn,yn)+f(xn书)，ynd!IL2-Vn1=yn-0.2(yn丫2SinXn)2-2Vn1=yn-0.1(ynYnSinx。yn1yn1Sinxn1)由y0=1计算得：y1=0.631706y2=0.476965y(1.2)：y1=0.715489y(1.4)：y2=0.5261122、用欧拉法解初值问题y=10x(1-y)(0<x<1.0)y(0)=02取步长h=0.1,保留5位有效数字，并与准确解y=1-e'x相比较解：h=0.1,x=ih,i=0,1,2,10-5x2f(x,y)=10x(1-y)y(x)-1-e欧拉公式如下：!yr=Vhf(x,y

33、i)=yi10hx(1-yi)y。二0即.y1=x(1x)%i=0,1,9y。=0计算结果如下表所示ixiVy(xi)y(x)-yi10.100.0487710.04877120.20.100000.181270.08126930.30.280000.362370.08237240.40.496000.550670.05467150.50.697600.713500.01589560.60.848800.834700.01409970.70.939520.913710.02581480.80.981860.959240.03713290.90.996370.982580.013792101.0

34、0.999640.993260.006378/2h、nyn=()，2h3、对初值问题一丫步长为h时，用梯形公式得近似解y(0)=1hT0时,yn收敛于准确解解：y-y=dy-dx=lny-xC=y=e*cy又y(0)=1,故丫=6«(准确值)2-'hyn1二2h2-hyn=(”x-0Vx=0,R,考虑区间0,x,步长为h时，等分数为n,显然有h=n由梯形公式f(x,y)=-yh_一.”yn11yn二-f(xn,yn)f(xn1,yn1)2=yn；一yn-ynJ、/2-h2./2-hn1%=(TT)Ml=(T-)7。2h2h2x-02)lhyn-lhm(2；h)n=lhm0(2

35、+x2Q)n2-=lim(n)n-2xn12xn)ncx2n=lim(1n承;旬nm(1"T"x2n11)X2-2x=酸1n1"T"x2L)nn1+x2n1=lim(1n)x2lim(1一ni-c1n1T-x2n111xWx一n1+x21x-2-ix1x.x)2=e1-e4、取h=0.2,用改进Euler法的预估一校正式求解初值问题dy22xydx3y(0)=10<x<1,2解：h-0.2,Xn-nh(n-0,1,2,6),f(x,y)2.23xyEute预估一校正式Vn1=ynhf(Xn,yn)%1=Vn+2J(xn,yn)+f(xn41,yn+)yn1即：