复变函数24平面场复势ppt课件

1、*第四节 平面场的复势一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思索一、用复变函数表示平面向量场一、用复变函数表示平面向量场平面定常向量场平面定常向量场: 向量场中的向量都平向量场中的向量都平行于某一个平面行于某一个平面S, 而且在而且在垂直于垂直于S 的任何一条直线的任何一条直线上的一切点处的向量都是上的一切点处的向量都是相等的相等的; 场中的向量也都与场中的向量也都与时间无关时间无关.S0S显然显然, 向量场在一切平行于向量场在一切平行于S 的平面内的分布情的平面内的分布情况是完全一样的况是完全一样的, 可以用可以用So 平面内的场表示平面内的场表示. ,

2、0 xoyS 内取定一直角坐标系内取定一直角坐标系在平面在平面oxyAyAxA. yxyxiAAAjAiAA 为复数为复数可表示可表示向量向量 , 表表示示由由于于场场中中的的点点可可用用复复数数iyxz ).,(),()( ),(),( yxiAyxAzAAjyxAiyxAAyxyx 示示为为复复变变函函数数可可表表所所以以平平面面向向量量场场.),(),( , ),(),( ,jyxviyxuAyxivyxuw 场场可作出对应的平面向量可作出对应的平面向量也也已知一个复变函数已知一个复变函数反之反之例如例如, 一个平面定常流速场一个平面定常流速场(如河水的外表如河水的外表)jyxviyxv

3、vyx),(),( , ),(),()( 表表示示可可以以用用复复变变函函数数yxivyxvzvvyx 平面电场强度向量为平面电场强度向量为jyxEiyxEEyx),(),( . ),(),()( 表表示示可可以以用用复复变变函函数数yxiEyxEzEEyx 二、平面流速场的复势二、平面流速场的复势1. 流函数流函数: 体的流速场体的流速场想流想流是不可压缩的定常的理是不可压缩的定常的理设向量场设向量场 v,),(),(jyxviyxvvyx . ),( ),( 都有连续偏导数都有连续偏导数与与其中速度分量其中速度分量yxvyxvyx假设它在单连域假设它在单连域 B 内是无源场内是无源场(即管

4、量场即管量场), 0div yvxvvyx那末那末, yvxvyx 即即流线流线, ),( dd 的全微分的全微分为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxyvxvxy .dd),(d yvxvyxxy ., xyvyvx ,),( 1cyx 因为等值线因为等值线 0,dd),(d yvxvyxxy .dd xyvvxy 所所以以 , ),( 1都都与与等等值值线线相相切切上上每每一一点点处处的的向向量量在在等等值值线线场场vcyxv . ),( 的的流流函函数数称称为为场场函函数数vyx 2. 势函数势函数: ),( 即即势势量量场场内内的的无无旋旋场场又又是是如如果果Bv, 0rot v那么

5、那么. 0 yvxvxy即即, ),( dd 的的全全微微分分为为某某个个二二元元函函数数于于是是yxyvxvyx ,dd),(dyvxvyxyx ., yxvyvx .gradv ).( ),( 或或位位函函数数的的势势函函数数称称为为场场函函数数vyx 等势线等势线(或等位线或等位线) ),( 2cyx 等等值值线线平面流速场的复平面流速场的复势函数势函数(复势复势)柯西柯西 黎曼黎曼方程方程3. 平面流速场的复势函数平面流速场的复势函数: , , 是是无无旋旋场场既既是是无无源源场场又又向向量量场场内内如如果果在在单单连连域域vB ,与与xyvyvx , , 同同时时成成立立yxvyvx

6、 , , xyyx 比比较较后后得得在单连域内可以作一个解析函数在单连域内可以作一个解析函数).,(),()(yxiyxzfw yxivvv 因为因为yix xix , )(zf . )( 表示表示可以用复变函数可以用复变函数所以流速场所以流速场zfvv 给定一个单连域内的无源无旋平面流速场给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数就可以构造一个解析函数它的复势与之对它的复势与之对应应; 反之反之, 假设在某一区域假设在某一区域(不论能否单连不论能否单连)内给内给定一个解析函数定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速就有以它为复势的平面流速场对应场对应, 并可以写出该场的

7、流函数和势函数并可以写出该场的流函数和势函数, 得得到流线与等势线方程到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图画出流线和等势线的图形形, 即得描画该场的流动图象即得描画该场的流动图象.例例1 1. , ) 0( )( 数和势函数数和势函数试求该场的速度、流函试求该场的速度、流函实常数实常数为为为为设一平面流速场的复势设一平面流速场的复势 aazzf解解,)( azf 因因为为 , 0)( azfv所以场中任一点的速度所以场中任一点的速度 .轴正向轴正向方向指向方向指向 x ,),( ayyx 流流函函数数; 1cy 流流线线是是直直线线族族,),( axyx 势函数势函数. 2cx 等势线是

8、直线族等势线是直线族xyo 流线流线等势线等势线 例例2 2. , . ) 0div , 0div ( 0div 并画出流动图象并画出流动图象流速场的复势流速场的复势的定常的定常试求由单个源点所形成试求由单个源点所形成的点为洞的点为洞而使而使的点为源点的点为源点有时称使有时称使源点源点的点统称为的点统称为在场论中将散度在场论中将散度 vvv解解. , , 远处保持静止状态远处保持静止状态在无穷在无穷而其他各点无源无旋而其他各点无源无旋点的源点点的源点内只有一个位于坐标原内只有一个位于坐标原不妨设流速场不妨设流速场 v由对称性由对称性,)( 00rrgvz 处的流速处的流速 , 到到原原点点的的

9、距距离离是是其其中中zzr , 0的向径上的单位向量的向径上的单位向量是指向点是指向点 zr . )(是一待定函数是一待定函数rg,0zzr 由于流体不可紧缩由于流体不可紧缩, 21内内不不可可能能积积蓄蓄心心的的圆圆环环域域流流体体在在任任一一以以原原点点为为中中rzr , 21的的流流量量相相等等与与所所以以流流过过圆圆周周rzrz 流过圆周的流量为流过圆周的流量为 rzsrvNd0 rzsrrrgd)(00).(2zgz . 称为源点的强度称为源点的强度N . 无关的常数无关的常数是与是与 r.2)( zNzg 故故zzzNv 2 流速流速.12zN )( 的的导导数数为为复复势势函函数

10、数zf)()(zvzf .12zN ,Ln2)( czNzf 复复势势函函数数为为) (21复常数复常数iccc ,ln2),( 1czNyx 于于是是势势函函数数为为.Arg2),( 2czNyx 流流函函数数为为xyo)0( N)0( Nxyo蓝色为等势线蓝色为等势线, 红色为流线红色为流线.(流动图象如下流动图象如下)解解例例3 3. , , , . 0rot 并并画画出出流流动动图图象象试试求求该该流流速速场场的的复复势势态态无无穷穷远远处处保保持持静静止止状状点点面面上上仅仅在在原原点点有有单单个个涡涡设设平平的的点点称称为为涡涡点点平平面面流流速速场场中中 v与例与例2类似类似,)

11、( 0 rhvz 的流速的流速设场内某点设场内某点 , 00垂垂直直的的单单位位向向量量处处与与是是点点rz . )(有有关关的的待待定定函函数数是是仅仅与与zrrh ,0ziz 沿圆周的环流量为沿圆周的环流量为 rzsvd0 rzszhd)( ).(2zhz . 无关的常量无关的常量是与是与 r . 称称为为涡涡点点的的强强度度 i.2)(zzh ,12 ziv 流速流速,Ln2)( czizf 复势函数为复势函数为) (21iccc .ln2),( 2czyx 流函数为流函数为,Arg2),( 1czyx 于于是是势势函函数数为为对比例对比例1和例和例2的结果的结果, ,1 , iN两者仅

12、差因子两者仅差因子外外换成换成除了常数除了常数 因此因此,只须将例只须将例2图中流线与等势线位置互换图中流线与等势线位置互换, 即可得涡点所构成的场的流动图象即可得涡点所构成的场的流动图象.xyo)0( xyo)0( 蓝色为流线蓝色为流线, 红色为等势线红色为等势线.三、静电场的复势三、静电场的复势. jEiEEyx 设设平平面面静静电电场场当场内没有带电物体时当场内没有带电物体时, 静电场无源无旋静电场无源无旋. 是是无无源源场场那那末末根根据据 E, ),( dd 的全微分的全微分为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxuyExExy .dd ),(dyExEyxuxy , 0div yE

13、xEvyx与讨论流速场一样与讨论流速场一样, , ),( 1都与等值线相切都与等值线相切向量向量上每一点处的上每一点处的在等值线在等值线静电场静电场EcyxuE 就是说就是说, 等值线就是向量线等值线就是向量线, 即场中电力线即场中电力线. . ),(的的力力函函数数称称为为场场Eyxu 是无旋场是无旋场根据根据 E, ),( dd 的全微分的全微分为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxvyExEyx .dd),(dyExEyxvyx , 0rotn yExEvxyjyvixvv grad jEiEyx .E ).( ),( 电电势势或或电电位位的的势势函函数数是是场场所所以以Eyxv .

14、),( 2就是等势线或等位线就是等势线或等位线等值线等值线cyxv : , 黎曼方程黎曼方程满足柯西满足柯西和和则则内的无源无旋场内的无源无旋场是单连域是单连域如果如果 vuBE. , xvyuyvxu 静电场的复势静电场的复势 (复电位复电位)在在B内可决议一个解析函数内可决议一个解析函数,)(ivuzfw xuixvE 可以用复势表示为可以用复势表示为场场 E. )(zfi . i 的的复复势势相相差差因因子子静静电电场场的的复复势势和和流流速速场场 利用静电场的复势利用静电场的复势, 可以研讨场的等势线可以研讨场的等势线和电力线的分布情况和电力线的分布情况, 描画出场的图象描画出场的图象

15、.例例4 4. 所产生的静电场的复势所产生的静电场的复势无限长直导线无限长直导线的均匀带电的的均匀带电的为为求一条具有电荷线密度求一条具有电荷线密度Le解解oxy, 0 平平面面处处垂垂直直于于在在原原点点设设导导线线zzL ,d hhL取微元段取微元段处处上距原点为上距原点为在在hdh .d he则其带电量为则其带电量为由于导线为无限长由于导线为无限长, 因此垂直于因此垂直于 xoy 平面的任平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的何直线上各点处的电场强度是相等的.oxyhdh又由于导线上关于又由于导线上关于 z 平面对称的两带电微元段平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消

16、所产生的电场强度的垂直分量相互抵消, 只剩下只剩下与与 xoy 平面平行的分量平面平行的分量.故所产生的静电场为平面场故所产生的静电场为平面场. jEiEEzyx 强度强度的电场的电场先求平面上任一点先求平面上任一点由库仑定律由库仑定律, d 处产生的场强大小为处产生的场强大小为在在微元段微元段zh,dd22hrheE . 22yxzr 其其中中rEEd zt , 平面内平面内在在因为所求的电场强度因为所求的电场强度zE , d 影影之之和和平平面面上上投投在在微微元元所所以以其其大大小小为为所所有有场场强强zE ,dcos22hhrteE . o d 平平面面的的交交角角与与为为其其中中yxEtoxyhdhrEEd z ,tan trh 因为因为,cosdd 2ttrh 所以所以,cos12222rthr 22dcostrteE.2re , 的的方方向向考考虑虑到到向向量量 E.20rreE .2 zeE 用复数表示为用复数表示为iEzf )(.2zei ,1Ln2)( czeizf 复势为复势为) (21iccc .1ln2),( 2