计算机图形学

1、第五章第五章 二维变换和裁剪二维变换和裁剪二维图形的观察二维图形的观察二维图形的裁剪二维图形的裁剪几何变换几何变换二维图形观察二维图形观察 基本概念基本概念 坐标系坐标系二维图形的显示流程二维图形的显示流程规格化变换和设备坐标转换规格化变换和设备坐标转换基本概念基本概念用户域和窗口区用户域和窗口区用户域：用户域：指程序员用来定义草图的整个自然空间（指程序员用来定义草图的整个自然空间（WD），），也称为用户空间、用户坐标系。是连续的、无限的。也称为用户空间、用户坐标系。是连续的、无限的。 窗口区：窗口区：指用户指定用户域中输出到屏幕上的任一区域指用户指定用户域中输出到屏幕上的任一区域（Windo

2、w）。在计算机图形学中，是将在用户坐标系中）。在计算机图形学中，是将在用户坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标区域。窗口区需要进行观察和处理的一个坐标区域。窗口区W小于或等小于或等于用户域于用户域WD，任何小于，任何小于WD的窗口区的窗口区W都叫做都叫做WD的一个的一个子域。目的是为了使规格化设备坐标系（子域。目的是为了使规格化设备坐标系（NDC）上所显示）上所显示的世界坐标中物体有一个合适的范围与大小。的世界坐标中物体有一个合适的范围与大小。说明：说明：窗口区通常是矩形域，可以用其左下角点和右上角窗口区通常是矩形域，可以用其左下角点和右上角点坐标来表示。（也可给定左下角点坐标及其矩形点坐标来

3、表示。（也可给定左下角点坐标及其矩形的长、宽来表示）。的长、宽来表示）。窗口可以嵌套，即在第窗口可以嵌套，即在第i层窗口中可以再定义第层窗口中可以再定义第i+1层窗口。层窗口。基本概念基本概念屏幕域和视图区屏幕域和视图区屏幕域：屏幕域：是图形设备上输出是图形设备上输出 图形的最大区域，是有限的图形的最大区域，是有限的 整数域。如某图形显示器有整数域。如某图形显示器有 1024x1024个可编地址的光个可编地址的光 点，也称像素，则屏幕域点，也称像素，则屏幕域DC 可定义为：可定义为：DC为为 0：1023 x 0：1023 视图区视图区（Viewport） ：任何小于或等于屏幕域的区域。：任何

4、小于或等于屏幕域的区域。视图区可由用户在屏幕域中用设备坐标来定义视图区可由用户在屏幕域中用设备坐标来定义 说明：说明：视图区一般也定义成矩形区域；视图区一般也定义成矩形区域；视图区小于或等于屏幕域；视图区小于或等于屏幕域；视图区由其左下角点坐标和右上角点坐标定义；视图区由其左下角点坐标和右上角点坐标定义；视图区可以嵌套，嵌套的层次由图形软件设定。视图区可以嵌套，嵌套的层次由图形软件设定。 世界坐标系中要显示的区域称为世界坐标系中要显示的区域称为窗口窗口。窗口映射到。窗口映射到显示器的区域称为显示器的区域称为视口视口。窗口定义了显示的内容，窗口定义了显示的内容，而视口定义在什么位置显示。而视口定

5、义在什么位置显示。观察变换：观察变换： 将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过将窗口到视区将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过将窗口到视区的变换（的变换（Window-Viewport Transformation）处理，这种变）处理，这种变换就是换就是观察变换观察变换（Viewing Transformation）。）。XYwxlXYwybwxrwyt窗口vxrvybvyt视区(a)用户坐标系中的窗口(b)屏幕坐标系中的视区vxl坐标系坐标系坐标系：建立了图形与数之间的对应联系坐标系：建立了图形与数之间的对应联系 坐标系形式：左手坐标系；右手坐标系坐标系形式：左手坐标系；右手坐标系坐标

6、系统分类坐标系统分类以其维度上看，可分为一维坐标系统、二维坐标系以其维度上看，可分为一维坐标系统、二维坐标系统、三维坐标系统统、三维坐标系统以其坐标轴之间的空间关系来看，可分为直角坐标以其坐标轴之间的空间关系来看，可分为直角坐标系统、园柱坐标系统、球坐标系统等等系统、园柱坐标系统、球坐标系统等等坐标系坐标系园柱坐标系统与直角坐标系统的关系：园柱坐标系统与直角坐标系统的关系：xrcosyrsinzz球坐标系统与直角坐标系统的关系球坐标系统与直角坐标系统的关系:xrsincosyrsinsinzrcos显示输出的坐标系统显示输出的坐标系统 世界坐标系世界坐标系(world coordinate S

7、ystems)局部坐标系局部坐标系(Local Coordinate System) 观察坐标系观察坐标系(Viewing coordinate systems) 成像面坐标系统成像面坐标系统 屏幕坐标系统屏幕坐标系统，也称设备坐标系统，也称设备坐标系统 XY窗口图6-17 用户坐标系中旋转的窗口1x用户y用户xNDCyNDC窗口视区y观察x观察1(a)观察坐标系(b)规格化设备坐标系用户坐标系中旋转的窗口用户坐标系中旋转的窗口世界坐标系世界坐标系简单称简单称WC ，也称，也称用户坐标系用户坐标系。理论上是连续的、。理论上是连续的、无限的，定义域为实数域。无限的，定义域为实数域。该坐标系统主要

8、用于计算机图形场景中的所有图形该坐标系统主要用于计算机图形场景中的所有图形对象的空间定位和定义，包括观察者的位置、视线对象的空间定位和定义，包括观察者的位置、视线等等。计算机图形系统中涉及的其它坐标系统都是等等。计算机图形系统中涉及的其它坐标系统都是参照它进行定义。参照它进行定义。局部坐标系局部坐标系主要为考察物体方便起见，独立于世界坐标系来定主要为考察物体方便起见，独立于世界坐标系来定义物体几何特性，通常是在不需要指定物体在世界义物体几何特性，通常是在不需要指定物体在世界坐标系中的方位的情况下，使用局部坐标系。坐标系中的方位的情况下，使用局部坐标系。一旦定义一旦定义“局部局部”物体，通过指定

9、局部坐标系的原物体，通过指定局部坐标系的原点在世界坐标系中的方位，然后通过几何变换，就点在世界坐标系中的方位，然后通过几何变换，就可很容易地将可很容易地将“局部局部”物体放入世界坐标系内，使物体放入世界坐标系内，使它由局部上升为全局。它由局部上升为全局。 观察坐标系观察坐标系 是依据窗口的方向和形状在用户坐标平面中定义的直角坐标系。是依据窗口的方向和形状在用户坐标平面中定义的直角坐标系。 观察坐标系通常是以视点的位置为原点，通过用户指定的一个观察坐标系通常是以视点的位置为原点，通过用户指定的一个向上的观察向量向上的观察向量(view up vector)来定义整个坐标系统，缺省来定义整个坐标系

10、统，缺省为左手坐标系为左手坐标系. 观察坐标系主要用于从观察者的角度对整个世界坐标系内的对观察坐标系主要用于从观察者的角度对整个世界坐标系内的对象进行重新定位和描述，从而简化几何物体在投影面的成像的象进行重新定位和描述，从而简化几何物体在投影面的成像的数学推导和计算。数学推导和计算。成像面坐标系统成像面坐标系统 它是一个二维坐标系统，主要用于指定物体在成它是一个二维坐标系统，主要用于指定物体在成像面上的所有点，往往是通过指定成像面与视点像面上的所有点，往往是通过指定成像面与视点之间的距离来定义成像面，成像面有时也称投影之间的距离来定义成像面，成像面有时也称投影面，可进一步在构影面上定义称为窗口

11、的方形区面，可进一步在构影面上定义称为窗口的方形区域来实现部分成像。域来实现部分成像。屏幕坐标系统屏幕坐标系统 简称简称DC，也称物理坐标系。不连续、有界的。定义域为整数，也称物理坐标系。不连续、有界的。定义域为整数域。域。 它主要用于某一特殊的计算机图形显示设备它主要用于某一特殊的计算机图形显示设备(如光栅显示器如光栅显示器)的的表面的点的定义，在多数情况下，对于每一个具体的显示设备，表面的点的定义，在多数情况下，对于每一个具体的显示设备，都有一个单独的坐标系统，在定义了成像窗口的情况下，都有一个单独的坐标系统，在定义了成像窗口的情况下， 可进一步在屏幕坐标系统中可进一步在屏幕坐标系统中 定

12、义称为视图区定义称为视图区(view port) 的有界区域，视图区中的成的有界区域，视图区中的成 像即为实际所观察到的。像即为实际所观察到的。 规格化设备坐标系(模型空间模型空间)也是直角坐标系，它是将二维的设备坐标系规格也是直角坐标系，它是将二维的设备坐标系规格化到（化到（0.0，0.0）到（）到（1.0，1.0）的坐标范围内形）的坐标范围内形成的。成的。采用一种无量纲的单位代替设备坐标，当输出图采用一种无量纲的单位代替设备坐标，当输出图形时，再转换为具体的设备坐标。形时，再转换为具体的设备坐标。二维图形的显示流程图二维图形的显示流程图引入了观察坐标系和规格化设备坐标系后，观察引入了观察坐

13、标系和规格化设备坐标系后，观察变换分为如下图所示的几个步骤，通常称为二维变换分为如下图所示的几个步骤，通常称为二维观察流程。观察流程。 变换过程变换过程在用在用户坐户坐标系标系中中定义定义图形图形通过通过变换变换影射影射到到屏幕屏幕域域消消 隐隐着着 色色光光 滑滑处理处理等等在屏在屏幕域幕域中中产生产生投影投影几何几何变换变换与与标注标注显示显示绘图绘图定义定义窗口窗口获取获取处理处理图形图形观察坐标系下对窗口进行裁剪窗口到视区(规范化设备坐标系中定义)的变换视图区从规范化坐标系到设备坐标系的变换在图形设备上输出DC用户坐标系到观察坐标系间的变换应用程序到图形的用户坐标图6-19 两维观察流

14、程NDCVCWCVC变焦距效果变焦距效果图6-20 变焦距效果（窗口变、视区不变）(a) 原图及变化的窗口(b)与窗口对应的视区1(c)与窗口对应的视区2(d)与窗口对应的视区3112323变焦距效果（窗口变，视区不变）变焦距效果（窗口变，视区不变）整体放缩效果整体放缩效果(a) 原图及窗口(b) 视区1图6-21 整体放缩效果（窗口不变、视区变）(c) 视区2(d)视区3整体放缩效果（窗口不变，视区变）整体放缩效果（窗口不变，视区变）用户坐标系到观察坐标系的变换用户坐标系到观察坐标系的变换用户坐标系到观察坐标系的变换分为两个变换步骤合成：用户坐标系到观察坐标系的变换分为两个变换步骤合成： 将

15、观察坐标系原点移动到用户坐标系原点将观察坐标系原点移动到用户坐标系原点x用户y用户窗口y观察x观察(a) 平移变换绕原点旋转使两坐标系重合绕原点旋转使两坐标系重合 x用户y用户窗口y观察x观察(b) 旋转变换窗口到视区的变换窗口到视区的变换 矩形窗口矩形窗口: w(1)和和w(2)，w(3)和和w(4)， 矩形视区矩形视区: iv(1)和和iv(2)，iv(3)和和iv(4)。 设窗口点设窗口点(x，y)，对应视区点，对应视区点(ix，iy)1.变换公式变换公式 若av= cv=1，bv= dv=0 矩阵形式： av 0 0 ix iy 1 =x y 1 0 cv 0 bv dv 1 av，c

16、v：反映视区和窗口在x、y方向的伸缩比； bv，dv：反映定位点在x 、y方向上的偏移量； bv=iv(1)-avw(1) dv=iv(2)-cvw(2) ix=avx+bv iy=cvy+dv窗口到视区的变换窗口到视区的变换XYwxlXYwybwxrwyt窗口vxlvybvyt视区图6-23 窗口到视区的变换(a)窗口中的点(b)视区中的点(xw,yw)(xv,yv)vxr要将窗口内的点（要将窗口内的点（xw,yw）映射到相对应的视区内）映射到相对应的视区内的点（的点（xv,yv）需进行以下步骤：）需进行以下步骤：(1) 将窗口左下角点移至用户系统系的坐标原点将窗口左下角点移至用户系统系的坐

17、标原点(2) 针对原点进行比例变换针对原点进行比例变换(3) 进行反平移进行反平移要将窗口内的点（要将窗口内的点（x xw w,y,yw w）映射到相对应的视区内的点（）映射到相对应的视区内的点（x xv v,y,yv v）需）需进行以下步骤：进行以下步骤： (1) (1) 将窗口左下角点移至用户系统系的坐标原点将窗口左下角点移至用户系统系的坐标原点 (2) (2) 针对原点进行旋转变换针对原点进行旋转变换 (3) (3) 针对原点进行比例变换针对原点进行比例变换 (4) (4) 针对原点进行反旋转变换针对原点进行反旋转变换 (5) (5) 进行反平移进行反平移),()(),(),(minmi

18、nminminyxTREEEESvuTMyvxxwv 规格化坐标规格化坐标(NDC)到设备坐标到设备坐标(DC)的变换的变换（工作站变换（工作站变换)对于大多数对于大多数PC机，机，a1，Nx1024，Ny768规格化坐标规格化坐标(NDC)到设备坐标到设备坐标(DC)的变换的变换在在NDC中的点中的点(xin,yin)经平移经平移(dx, dy)和比例和比例(sx,sy)变换变换后，就可得到后，就可得到DC中的点中的点(xout, yout) xoutsxxindxyoutsyyindy若若NDC中的两点中的两点xin1和和xin2变换到变换到DC下为下为xout1和和xout2，由于点从由

19、于点从NDC到到DC的变换是线性变换，有的变换是线性变换，有sx（xout2xout1)/(xin2xin1)；dxxout1sxxin1。则有下列变。则有下列变换公式换公式xDCsxxNDCdxyDCsyyNDCdy规格化坐标规格化坐标(NDC)到设备坐标到设备坐标(DC)的变换的变换对点从对点从NDC到到DC作变换隐含三个问题：作变换隐含三个问题：要考虑要考虑x、y方向上的实际象素数；方向上的实际象素数；NDC空间具有的几何一致性不一定在空间具有的几何一致性不一定在DC空间中成空间中成立立(因因DC中的象素不一定是正方形，在图中象素的中的象素不一定是正方形，在图中象素的高宽比是高宽比是(x)/(y)，对常用，对常用PC机的象素高机的象素高宽比是宽比是768/1024)；在实际应用中在实际应用中NDC和和DC的方向相反。的方向相反。方向的考虑方向的考虑在在x方向，变成方向，变成0，1变成变成Nx，sx（x)/2，dx(Nx）/2；在在y方向，方向，a变成变成0，a变成变成Ny，sy（Ny)/(a)，dy（y)/2；一个例子：一个例子： sx（1024）511.5， dx511.5; sy（768）（）（a)383.5，dy383.5； 对对DC中象素中心的变换中象素中心的变换在在NDC中的点变换到中的点变换到DC后应在相应位置的象素中心。后