概率与概率分布练习题

1、第六章概率与概率分布、填空1.用古典法求算概率.在应用上有两个缺点：它只适用于有限样本点的情况；它假设（机会均等2,分布函数F（x）和P（x）或*（x）的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，F（x）累计的是（概率）。3 .如果 A 和 B（互斥），总合有 P（A/B）=PB/A=0。4 .（大数定律）和（中心极限定理）为抽样推断提供了主要理论依据。6 .抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则）和（最少经济费用原则）。7 .在抽样中，遵守（随机原则）是计算抽样误差的先决条件。9.若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（互斥）事件。10 .在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红

2、桃或爱司的概率是（1/4）;在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的I率是（1/52）。、单项选择1 .随机试验所有可能出现的结果，称为（D）。A 基本事件；B 样本；C 全部事件；D 样本空间。2 .在次数分布中，频率是指（A.各组的频率相互之比 B.各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比3 .若不断重复某次调查，每次向随机抽取的 100 人提出同一个问题，则每次都能得到一个回答“是”的人数百分数，这若干百分数的分布称为：（D）。A.总体平均数的次数分布 B.样本平均的抽样分布 C.总体成数的次数分布 D.样本成数的抽样分布4 .以等可能性为

3、基础的概率是（A）。A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。5 .古典概率的特点应为（A）。A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是无限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。6 .任一随机事件出现的概率为（D）。A 在-1 与 1 之间；B 小于 0;C 不小于 1;D 在 0 与 1 之间。7,若 P（A）=0.2,P（B）=0.6,P（A/B）=0.4,则P（A1B）=（D）。A0.8B0.08C0.12D0.24。8 .若 A 与 B 是任意的两个事件，且 P（AB）=P（A）P（B

4、）,则可称事件 A 与 B（C）。A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。9 .若相互独立的随机变量 X 和丫的标准差分别为 6 与 8,则（X+Y）的标准差为（B）。A7B10C14D 无法计算。10 .对于变异数 D（X）,下面数学表达错误的是（D）。AD（X）=E（X2）一科2BD（X）=E（X科）2CD（X）=E（X2）-E（X）2DD（X）=（r11 .如果在事件A和B存在包含关系A=B的同时，又存在两事件的反向包含关系AB,则称事件A与事件B（A）A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立三、多项选择1.随机试验必须符合以下几个条件（ABD）。A.它可以在相同条件下重复

5、进行；B.每次试验只出现这些可能结果中的一个；C.预先要能断定出现哪个结果；D.试验的所有结果事先已知；E.预先要能知道哪个结果出现的概率。2.重复抽样的特点是（ACE）。A 每次抽选时，总体单位数始终不变；B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少；C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等；D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等；E 各次抽选相互独立。3.关于频率和概率，下面正确的说法是（BCE）。A.频率的大小在 0 与 1 之间；B.概率的大小在 0 与 1 之间；C.就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的；D.就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的；E.频率分布有对应的频数分布，概率分布则没

6、有。4.概率密度曲线（AD）。A 位于 X 轴的上方 B 位于 X 轴的下方 C 与 X 轴之间的面积为 0D 与 X 轴之间的面积为 1E 与 X 轴之间的面积不定。5.样本方差和总体方差（）A.前者是确定值，后者是随机变量 B.前者是随机变量，后者是确定值C.两者均是确定值 D.两者均是随机变量6 .数学期望的基本性质有（ACD）AE（c）=cBE（cX）=c2E（X）CE（X+Y）=E（X）+E（Y）DE（XY）=E（X）E（Y）五、判断题1 .对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。（V）2 .把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可

7、以称作概率分布。（X）3 .社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。（，）4 .在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。（，）5 .抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。（X）12.所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。（，）六、计算题1 .某系共有学生 100 名，其中来自广东省的有 25 名；来自广西省的有 10 名。问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？【0.352 .为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占 30

8、%,母亲具有大学文化程度的占 20%,而父母双方都具有大学文化程度的占 10%。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？【0.4022213 .根据统计结果，男婴出生的概率为；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率4343是多少？0.2601】4 .根据统计，由出生活到 60 岁的概率为 0.8,活到 70 岁的概率为 0.4。问现年 60 岁的人活到 70 岁的概率是多少？【0.5】22215 .根据统计结果，男婴出生的概率为；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概4343率分布。0.2601,0.4998,0.2401】6 .

9、一家人寿保险公司在投保 50 万元的保单中，每千名每年由 15 个理赔，若每一保单每年的运营成本与利润的期望值为 200 年，试求每一保单的保费。7700 元】7 .位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订人民日报的有 45%,订扬子晚报的有 60%,两种报纸都订的有 30%。试求以下概率：1）只订人民日报的；2）至少订以上一种报纸的；3）只订以上一种报纸的；4）以上两种报纸都不订的。【0.15,0.95,0.65,0.05】8 .根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为 0.07,静止不流动的概率为 0.85,求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？【0.089 .消费

10、者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为0.219;出于异族文化的吸引占 0.509;而两种动机兼而有之的占 0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？0.626110 .根据生命表，年龄为60 岁的人，可望活到下年的概率为 P=0.95;设某单位年龄为 60 岁的人共有 10 人，问：（1）其中有 9 人活到下年的概率为多少？（2）至少有 9 人活到下年的概率是多少？0.315】10.914111 .假定从 50 个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个 4 个社区的样本，试问其

11、中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的 3 个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？0.178】10.0461属性大中小高犯罪率285低犯罪率16415X01234P(x)0.10.20.40.20.112.已知随机变量 x 的概率分布如下:试求：1)E(X);2)E(X2);3)令Y=(X1)2,求E(Y);4)2、D(X)；5)D(X)。1)13.A、1)4);2)【5.2】；B、C 为三事件,3)【2.2】；4)【1.10；5)【4.62。指出以下事件哪些是对立事件：A、B、C 都发生；2)A、B、C 都不发生；A、

12、B、C 最多有一个发生；5)A、B、C 至少有两个发生;3)A、6)A、B、C 至少有一个发生;B、C 最多有两个发生。【2、3 为对立事件 4、5 为对立事件14.从户籍卡中任抽 1 名，设：1、6 为对立事件】A=抽到的是妇女”;B=抽到的受过高等教育”;C=“未婚”求：(1)用符号表达 “抽到的是受过高等教育的已婚男子”;【ABC(2)(3)用文字表达什么条件下ABC;1抽到是受过高等教育的未婚妇女】ABC=Ao总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】15.1-1000 号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率:(1)抽中 701 号；0.0011(4)抽中大于(7)抽中小于16.

13、一个口袋中装有率；(2)最大号码是600 号；【0.4】(2)抽中 532 号；0.0011(5)抽中 1020 号；0(3)抽中小于225 号；【0.224】125 号或者大于 725 号；0.399110 只球，分别编上号码 1,5 的概率。0.083,0.05】(6)抽中大于或者等于 700 号；0.301】(8)抽中小于 50 号或者大于 700 号。0.349】10,随机地从这个口袋去 3 只球，试求：(1)最小号码是 5 的概17.共有 5000 个同龄人参加人寿保险，设死亡率为 0.1%。参加保险的人在年初应交纳保险费 10 元，死亡时家属可领2000 元。求保险公司一年内从这些

14、保险的人中，获利不少于30000 元的概率。98.75%】18.在一批 10 个产品中有 4 个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随机事件的概率是多少?(1)抽中一个是次品，一个是合格品；【0.53】(2)抽取的两个都是次品；【0.13(3)至少有一个次品被选取；【0.67】(4)抽取两个合格品。【0.33八、计算举例1) (1)掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数，则随机变量X的可能取值有哪些?2) )实验箱中装有标号为 1,2,3,3,4 的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为 Y,则随机变量 Y的可能取值有哪些?解：说明：引入了随机变量后，随机事件就可以用

15、随机变量来表示。(1)抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X的取值可能是 1(正面向上)，也可能是 0(反面向上)，故随机变量X的取值构成集合0,1。在此例中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为X=1,随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为X=0。(2)根据条件可知，随机变量Y的可能值有 4 种，它的取值集合是1,2,3,4。在此例中，也可用Y=1,Y=2,Y=3,Y=4分别表示取到 1 号、2 号、3 号和 4 号白鼠这 4 个随机事件。另一方面，在此例中，可以用YW3这样的记号表示“取到 1 号、2 号或 3 号白鼠

16、”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示 o这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了。如在(1)1中X=1的概率可以表不为P(X=1)=P抛一枚硬币，正面向上=,其中P(X=1)常简记为P(X=1)。21、，-。这一结果可用下表来描述。2X01P1212在(2)中随机变量Y所表示的随机事件发生的概率也可用下表来描述。Y1234P15152515上面的两个表格分别给出了随机变量X,Y表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律。2 .从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数，即X=j，当取到白球时，求随-o,当取到红

17、球时，机变量X的概率分布。解：由题意知p(x42,PX_n_6_3,故随机变量X的概率分布列为P(X=0)二二一P(XI)645645布表如下。X01P2535说明：本题中，随机变量X只取两个可能值 0 和 1。像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等。我们把这一类概率分布称为 0-1 分布或两点分布，并记为X0-1 分布或X两点分布。此处“”表示“服从”。3 .某班有学生 45 人，其中O型血的有 10 人，A型血的有 12 人，B型血的有 8 人，AB型血的有 15 人，现抽 1 人，其血型为随机变量X,求X的概率分布。解

18、：设O、A、B、AB四种血型分别编号为 1,2,3,4,则X的可能取值为 12,3,4。同理，P(X=0)=P(X=0)=工，P(X=1)=3，概率分55则P(X_1)_C0_2P(X-2)-C12-P(X-3)-C8-P(X-4)-C15(八一I)_-(八_4)一-(八一9一1-(八一)一C459C4515C4545C45故其概率分布为X1234P24819154534.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数为X；盒中有 6 支白粉笔和 8 支红

19、粉笔，从中任意取 3 支，其中所含白粉笔的支数 X；从 4 张已编号(1 号4 号)的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片编号数之和X。解： X 可取 3,4,5.X=3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3;X=4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4;X=5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5或 3,4,5。X 可取 0,1,2,3,X=1 表示取出 i 支白粉笔，3i 支红粉笔，其中 i=0,1,2,3。X可取 3,4,5,6,7。X=3 表示取出分别标有 1,2 的两张卡片；X

20、=4 表示取出分别标有 1,3 的两张卡片；X=5 表示取出分别标有1,4 或 2,3 的两张卡片；X=6 表示取出分别标有 2,4 的两张卡片；X=7 表示取出分别标有 3,4 的两张卡片。5 .袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记X=F 两球全红。求X的概率分布。一1两球非全红C2338解：显然X服从两点分布，P(X=0)=9=一，则P(X=1)=1=一。所以X的概率分布是：C1；111111X01P_311816 .同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X的概率分布，并求X大于 2 小于 5 的概率P(2X5)o解：依题意易知，掷两颗骰子

21、出现的点数有 36 种等可能的情况：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(6,5),(6,6)。因而 X 的可能取值为 1,2,3,4,5,6,详见下表。X出现的点情况数1(1,1)12(2,2),(2,1),(1,2)33(3,3),(3,2),(3,1),(2,3),(1,3)54(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(2,4),(1,4)75(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5)96(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)

22、,(5,6),(4,6),(3,6),(2,6),(1,6)11由古典法可知X的概率分布如下表所示:X123456P1357911363636363636571从而P(2X0)=0.384+0.512=0.896示(其中“O表示其他)；抽到 1 张 A 和 2 张 K,用符号(AKK)表示；抽到 2 张 A 和 1 张 K,用符号(AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。12.假如对 1000 个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有 500 个学生喜欢民族歌曲,些学生中有 100 人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机

23、地从该总体中抽取一个学生，并设事件 A 为该学生喜欢民族歌曲，事件 B 为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：用数字证明 P(A 且 B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)。得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少随机地选取一个由 3 个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少做一个一枚硬币独立解:因为 1000 名大学生中有 500 名喜欢民族歌曲，有 400 名喜欢流行歌曲，所以 P(A)=500=1,P(B)=4001000210002=2;因为 500 名喜欢民族歌曲的学生之中，有 100 名还同时喜欢流行歌曲。所以，5P(B/A)=100=1,同理，P(A/B)=100=1。50054004P(A)P(B/A)=P(B)P(