2015年湖南省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

1、2015 年省高考数学试卷（理科）年省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题，共一、选择题，共10小题，每小题小题，每小题5分，共分，共50分分1.（5分）（2015）已知=l+i（i为虚数单位），则复数z=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值.解答：解：已知=1+i（i为虚数单位），z=-1-i,故选：D.点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.2.（5分）（2015）设A、B是两个集合，则AcB=A”是ACB”的（）

2、A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：集合；简易逻辑.分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可.解答：解：A、B是两个集合，则AcB=A”可得ACB”，ACB”，可得AcB=A”.所以A、B是两个集合，则AcB=A”是ACB”的充要条件.故选：C.点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用.考点：程序框图.分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环.解答：解：判断前i=l，n=3，s=0,第1次循环，S=，i=2,第2次循环，S=，i=3,第

3、3次循环，S=，i=4,此时，in,满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4.(5分)(2015)若变量x、y满足约束条件，则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.2考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案.解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A,联立， 解得C(0,-1).由解得A(-2,1),由， 解得B(1,1).z=3x-y的最小值为3x(-2)-1=-7.故选：A.点评：本题考查了简单的线性规划

4、，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.易错点是图形中的B点.5.(5分)(2015)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性.专题：导数的综合应用.分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可.解答：解：函数f(x)=ln(1+x)-In(1-x),函数的定义域为(-1,1),函数f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x),所

5、以函数是奇函数.A.B.C.D.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f(0)=0；x=时，f()=ln(1+)-ln(1-)=ln31,显然f(0)Vf(),函数是增函数，所以B错误，A正确.故选：A.点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力.6.(5分)(2015)已知(-)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.-C.6D.-6考点：二项式定理的应用.专题：二项式定理.分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.解答：解：根据所给的二项

6、式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含x的项的系数为30,r=1,并且，解得a=-6.故选：D.点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目项是解决二项展开式的特定项问题的工具.7.(5分)(2015)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X-N=(口,a2),则P(|1-oVXW|i+0)=0.6826.p(-2oX+2o)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题：计算题；概率与统计.分

7、析：求出P(0X1)=x0.6826=0.3413，即可得出结论.解答：解：由题意P(0X1)=x0.6826=0.3413,落入阴影部分点的个数的估计值为10000 x0.3413=3413,故选：C.点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量卩和 o 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.8.(5分)(2015)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB丄BC,若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A.6B.7C.8D.9考占n 八、 、专题：分析：解答：圆的切线方程.计算题；直线与圆.由题意，AC为直径，所以11=12+1=14+1.B为(-1,0

8、)时，I4+IW7，即可得出结论.解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|=|4+|.所以B为(-1,0)时，|4+|W7.所以|的最大值为7.故选：B.点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.9.(5分)(2015)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足If(x1)-g(x2)1=2的X、x2，有lx1-x2lmin:=，则 e=()A.B.C.D.考占：八、 、专题：分析：解答：函数y=Asin(x+R)的图象变换.三角函数的图像与性质.利用三角函数的最值，求出自变量x1,x2的值，然后判断选项即可.解：因为将函数

9、f(x)=sin2x的周期为 n 函数的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足If(x1)-g(x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1-x2|min=,不妨x1=,乂2=,即g(x)在x2=，取得最小值，sin(2x-2R)=-1,此时 R=,不合题意，x1=,x2=，即g(x)在x2=，取得最大值,sin(2x-2R)=1,此时 R=,满足题意.故选：D.点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖.有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答.10.(5分)(2015)某工件的三

10、视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面，则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A.B.C.D.考点：简单空间图形的三视图.专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计.分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1-),0VxV2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即.解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1,高为2，此长方体底面边长为n的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=,解得；n

11、=(1-),0VxV2,长方体的体积 Q=2(1-)2x,Q=x2-4x+2,-，Q=X2-4x+2=0,x=,x=2,可判断(0,)单调递增，(,2)单调递减，Q 最大值=2(1-)2x=,原工件材料的利用率为=x=,故选：A点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题.二、填空题，共二、填空题，共5小题，每小题小题，每小题5分，共分，共25分分11.(5分)(2015)(x-1)dx=0.考点：定积分.专题：导数的概念及应用.分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值.解答：解：(x-1)dx=(-x)1=0；故答案为：0.点评：本题考

12、查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数.12(5分)(2015)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数003斗斗56呑呑&8911122233斗斗斗斗55567513140122333解得e=.故答案为:.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题.14.(5分)(2015)设Sn为等比数列an的前n项和，若ax=1,且3S,2S2,S3成等差数列，则an=3n-1.考点：等差数列与等比

13、数列的综合.专题：等差数列与等比数列.分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式.解答：解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列aj的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2,S3成等差数列，可得4S2=S3+3S,a=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.a=3n-1n故答案为：3n-1.15茎叶图.概率与统计.根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论.解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间139,151上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间139,151上的运动员应抽取7x=4(人).故答案为：4.本题考查了茎叶图

14、的应用问题， 也考查了系统抽样方法的应用问题， 是基础题目.13.(5分)(2015)设F是双曲线C：-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设F(c,0)，P(m，n)，(m0),设PF的中点为M(0,b)，即有m=-c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到.解答：解：设F(c,0),P(m,n),(m1.考点：函数的零点.专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用.分析：由g(x)=f(x)-b有两个零点可得f(x)=b有两个零点，即y=f(x)与y

15、=b的图象有两个交点，则函数在定义域不能是单调函数，结合函数图象可求a的围解答：解：Tg(x)=f(x)-b有两个零点，f(x)=b有两个零点，即y=f(x)与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1当a1时，函数f(x)的图象如图所示，此时存在b,满足题意，故a1满足24a=0时，f(x)单调递增，故不符合题意5当aVO时，函数y=f(x)的图象如图所示，此时存在b使得，y=f(x)与y=b有两个交点综上可得，aVO或al故答案为：alaVO或a1点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想.三、简答题，共三、简答题，共1小题，共小题，共75分

16、，分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修两题计分选修4-1：几何证明选讲：几何证明选讲16.(6分)(2015)如图，在OO中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M,N，直线MO与直线CD相较于点F,证明：(1)ZMEN+ZNOM=180(2)FEFN=FMFO.考点：相似三角形的判定.专题：选作题；推理和证明.分析：(1)证明O,M，E，N四点共圆，即可证明ZMEN+ZNOM=180(2)证明FEM-FON,即可证明FEFN=FMFO.解答：证明：(1)TN为CD的中点，ON丄CD,TM为AB的中点，OM丄AB

17、,在四边形OMEN中，:乙OME+ZONE=90+90=180,O,M,E,N四点共圆， ZMEN+ZNOM=180(2)在厶 FEM与厶 FON中，ZF=ZF,ZFME=ZFNO=90, FEM-FON,FEFN=FMFO.点评：本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.选修选修4-4：坐标系与方程：坐标系与方程17.(6分)(2015)已知直线l：(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为 p=2cos8.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5,),直线1与曲线C的交点为A,B

18、,求IMAlIMBI的值.考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.专题：选作题；坐标系和参数方程.分析：(1)曲线的极坐标方程即 p2=2pcose，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；(2)直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论.解答：解：(1)Tp=2cose,p2=2pcose,x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1；(2)直线l：(t为参数)，普通方程为，(5,)在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T,则|MT2=(5-1)2+3-1=18,由切割线定理，可得|MT|2=|MA|MB|=18.点评：本题主要考

19、查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题.选修选修4-5：不等式选讲：不等式选讲18.(2015)设a0,b0,且a+b=+.证明：(i)a+b2；(ii)a2+a2与b2+b0,b0,结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；(ii)运用反证法证明.假设a2+a2与b2+b0,b0,以及二次不等式的解法，可得0a1,且0b0,b0,贝 9a+b=+=,由于a+b0,则ab=1,即有a+b2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b2；(ii)假设a2+a2与b2+b2可能同时成立.由a2+a0，可得0al,由b2+b0,可得0b1,这与ab=1矛盾.a2+a2与b2+b2不可能同时

20、成立.点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题.19.(2015)设厶 ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA，且B为钝角.(I)证明：B-A=；(口)求sinA+sinC的取值围.考点：正弦定理.专题：解三角形.分析：(I)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的围和诱导公式可得；(n)由题意可得AG(0,),可得0sinA0,AG(0,),sinA+sinC=sinA+sin(-2A)=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A=-2(sinA-)2+,vAG(0,),.0sinA,.由二次函数可知-2(sin

21、A-)2+.sinA+sinC的取值围为(,点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题.20.(2015)某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球贝获一等奖若只有1个红球贝获二等奖；若没有红球贝不获奖.(1) 求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2) 若某顾客有3次抽奖机会， 记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.概率与统计.(1)记事件A=从甲箱中摸出一个球是红

22、球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球,事件B1=顾客抽奖1次获一等奖,事件A2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，利用A1,A2相互独立,，互斥，B1,B2互斥，然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断XB.求出概率，得到X的分布列，然后求解期望.解：(1)记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球,事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件A2=顾客抽奖1次获二等奖,事件C=顾客抽奖1次能获奖,由题意A1,A2相互独立，互斥，B1,B2互斥，且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=，所以，

23、P(B1)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P()+P()=+=，故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由(1)可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以.XB.于是，P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为:X012PE(X)=3x=.期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.21.(2015)如图， 已知四棱台ABCD

24、-A1B1C1D的上、 下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA丄底面ABCD，点P、Q分别在棱DDBC上.(1) 若P是DD1的中点，证明：ABJPQ；(2) 若PQII平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质.专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用.分析：(1)首先以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12-2

25、y2，从而表示点P坐标为P(0,y2,12-2y2).由PQII平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直， 从而得出y=y2，从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为， 从而由即可求出y2,从而得出P点坐标， 从而求出三棱锥P-AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P-AQD的体积，从而求出四面体的体积.解答：解：根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x,y,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，贝 y：A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,

26、6),D1(0,3, 6)；Q在棱BC上，设Q(6,y1,0),0y1b0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(I)求C2的方程；(口)过点F的直线1与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向.(i)若IACI=IBDI,求直线1的斜率；(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明：直线1绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与围问题.分析：(I)根据两个曲线的焦点相同，得到a2-b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2,得至到=1，解得即可求出；(口)设出点的坐标， (i)根据向量的关系,得到(

27、x1+x2)2-4x1x2=(X3+X4)2-4x3x4,设直线1的方程，分别与C1,C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；(ii)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标， 利用向量的乘积ZAFM是锐角，问题得以证明.解答：解：(I)抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点，.a2-b2=1,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(,),所以=1,，联立得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(口)设A(x1,y1),B(x2

28、,y2),C(x3,y3),A(x4,y4),(i)因为与同向，且|AC|=|BD|,所以=，从而x3-x1=x4-x2，即x1-x2=x3-X4，于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4,设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由，得x2-4kx-4=0,而X,X?是这个方程的两根，所以x1+x2=4k,x1x2=-4,由，得(9+8k2)x2+16kx-64=0，而x3,x4是这个方程的两根，所以X3+X4=，X3X4=-，将代入，得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16x9,解得k=.(ii)由x2=4y得y=x,所以C在点A处的

29、切线方程为y-y1=X1(x-X1),即y=XX-X12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(X,-1),而=(x1,y1-1),于是*=X2-y1+1=x12+10,因此/AFM是锐角，从而ZMFD=180-ZAFM是钝角，故直线1绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.点评： 本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系， 关键是联立方程， 构造方程， 利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题.23.(13分)(2015)已知a0,函数f(x)=eaxsinx(xG0，+呵).记xn为f(x)的从小到大的第n(nGN*)个极值点.证明：(I)数列f(xn)是等比数

30、列;(口)若an,则对一切nGN*，xnlf(xn)I恒成立.考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用.分析：(I)求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；(口)由sinR=，可得对一切nGN*，xn0)，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证.解答：证明：(I)f(x)=eax(asinx+cosx)=eaxsin(x+R),tan=,0R0,x+R=mn,即卩x=mn-R,mGN*,对kGN，若(2

31、k+1)nx+R(2k+2)兀，即(2k+1)n-Rx(2k+2)n-R,则f(x)0,因此在(m-1)n,mn-R)和(mn-R,mn)上f(x)符号总相反.于是当x=nn-R,nGN*,f(x)取得极值，所以xn=nn-R,nGN*,此时f(xn)=ea(nn-R)sin(nn-R)=(-1)n+1ea(nn-R)sinR,易知f(xn)H0,而=-ean是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)=ea(n-R)sinR,公比为-ean的等比数列；(口)由sinR=，可得对一切nGN*,xn|f(xn)|恒成立.即为nn-Rea(nn-R)恒成立o0),g(t)=,当0t1时，g(t)1时，g(t)0,g(t)递增.t=1时，g(t)取得最小值，且为e.因此要使恒成立，只需,当a=,tanR=，且0R,可得R，于是 n-R2时，nn-R2n-R,因此对nGN*,axn=H1，即有g(axn)g(1)=e=,故亦恒成立.综上可得，若a，则对一切nGN*,xn|f(xn)|恒成立.点评