第二章推理与证明质量检测试卷(含答案和解释)

1、第二章推理与证明质量检测试卷（含答案和解释）阶段质量检测推理与证明一、选择题.根据偶函数定义可推得“函数f=x2在R上是偶函数”的推理过程是A. 归纳推理B. 类比推理c.演绎推理D.非以上答案解析：选c根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.自然数是整数，4是自然数，所以4是整数.以上三段论推理A. 正确B. 推理形式不正确c.两个“自然数”概念不一致D.“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的.设a,b,c都是非零实数，则关于a,bc,ac，-b四个数，有以下说法:四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数.则说法中正确的

2、个数有A.0B.1c.2D.3解析：选B可用反证法推出，不正确，因此正确.下列推理正确的是A. 扌巴a与loga类比，则有loga=logax+logaB. 把a与sin类比，贝U有sin=sinx+sinc.扌巴a与ax+y类比，则有ax+y=ax+aD.把+c与z类比，则有z=x解析：选Dz=x是乘法的结合律，正确.已知“整数对”按如下规律排列：，则第70个“整数对”为A.B.c.D.解析：选D因为1+2+-+11=66,所以第67个“整数对”是，第68个“整数对”是，第69个“整数对”是，第70个“整数对”是，故选D.求证：2+3>5.证明：因为2+3和5都是正数，所以为了证明2+

3、3>5,只需证明2>2，展开得5+26>5,即26>0,此式显然成立，所以不等式2+3>5成立.上述证明过程应用了A.综合法B.分析法c.综合法、分析法配合使用D.间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明”，“只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式.已知bn为等比数列，b5=2，贝Ub1b2b3b9=29.若an为等差数列，a5=2，则an的类似结论为A.a1a2a3a9=29B.al+a2+a9=29c.a1a2a9=2X9D.al+a2+a9=2x9解析：选D由等差数列性质，有al+a9=a2+a8=2a5.易知D成立.若数列an是等比数列，

4、则数列an+an+1A. 定是等比数列B. 定是等差数列c.可能是等比数列也可能是等差数列D.定不是等比数列解析：选c设等比数列an的公比为q,则an+an+1=an.当qz1时，an+an+1一定是等比数列;当q=1时，an+an+1=0,此时为等差数列.已知a+b+c=0,贝»ab+be+ca的值A.大于0B.小于0e.不小于0D.不大于0解析：选D法一：Ta+b+e=0,二a2+b2+e2+2ab+2ae+2be=0,二ab+ae+be=a2+b2+c22<0.法二：令e=0,若b=0,贝»ab+be+ae=0,否则a,b异号，ab+be+ae=ab0,b>

5、;0,=Iga+b2,n=Iga+b2,则，n的大小关系是.解析：ab>0?ab>0?a+b+2ab>a+b?>2?a+b>a+b?a+b2>a+b2?Iga+b2>lga+b2.答案：>n.已知2+23=223,3+38=338,4+415=415，6+ab=6ab,a,b均为正实数，由以上规律可推测出a,b的值，贝a+b=.解析：由题意归纳推理得6+ab=6ab,b=621=35,a=6.-a+b=6+35=41.答案：41.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重

6、叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.解析：解法的类比，易得两个正方体重叠部分的体积为a38.答案：a38三、解答题.用综合法或分析法证明：如果a,b>0，贝»lga+b2>lga+Igb2;+10>23+2.证明：当a,b>0时，有a+b2>ab,lga+b2>Igab,lga+b2>12lgab=lga+Igb2.要证6+10>23+2,只要证2>2,即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立.若a1>0,al工1,a

7、n+1=2an1+an.求证：an+1工an；令a1=12,写出a2,a3,a4,a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.解：证明：若an+1=an，即2an1+an=an,解得an=0或1.从而an=an1=a2=al=0或1,这与题设a1>0,al工1相矛盾，所以an+1=an不成立.故an+1工an成立.由题意得a1=12,a2=23,a3=45,a4=89,a5=1617,由此猜想：an=2n12n1+1.下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处.求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABcD是矩形，则它的四个角都是直角，有/A+ZB+Zc+ZD=90&

8、#176;+90°+90°+90°=360。，所以四边形的内角和为360°.已知2和3都是无理数，试证：2+3也是无理数.证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2+3必是无理数.已知实数满足不等式<0,用反证法证明：关于x的方程x2+2x+52=0无实根.证明：假设方程x2+2x+52=0有实根.由已知实数满足不等式v0,解得2vv12,而关于x的方程x2+2x+52=0的判别式=4,v2<<12,a14v2v4,.<0，即关于x的方程x2+2x+52=0无实根.解：犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论

9、题中的四边形改为矩形.使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定.利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法.0.等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+32.求数列an的通项an与前n项和Sn;设bn=Snn,求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.解：由已知得al=2+1,3a1+3d=9+32,d=2.故an=2n1+2,Sn=n.由得bn=Snn=n+2.假设数列bn中存在三项bp,bq,br成等比数

10、列，贝Ub2q=bpbr,即2=,.+2=0,/p,q,rN*,.q2pr=0,2qpr=0,p+r22=pr,2=0.p=r，与pzr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.1.已知：sin230°+sin290°+sin2150°=32,sin25°+sin265°+sin2125°=32,通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度a都成立的一般性的命题，并给予证明.解：一般形式为：sin2a+sin2+sin2=32.证明：左边=1cos2a2+1cos2a+120：2+cos2a+240J2=3212cos2a+cos+cos=3212=3212cos2a12cos2a32sin2a12cos2a+32sin2a=32=右边.将一般形式写成sin2+sin2a+sin2=32也正确2.根据要求证明下列各题：用分析法证明：已知非零向量a,b,且a丄b，求证：|a|+|b|a+b|<2;用反证法证明：1,2,3不可能是一个等差数列中的三项.证明：a丄b?a?b=0,要证|a|+|b|a+b|<2.只需证|a|+|b|w2|a+b|,只需证|a|2+2|a|b|+|b|2w2,只需证|a|2+2|a|b|+|b|2w2a2+2b2,只需证|a|2