第四章空间问题的有限元

1、第四章空间问题的有限元在工程问题中，有些结构形状非常复杂，必须按照空间问题来求解。由于4节点四面体单元可以很好的模拟几何体的边界形状而被广泛使用。因此本章将介绍此种单元及8节点六面体单元。§4.1空间问题的离散化在工程实际中，有些结构由于形体复杂，并且三个方向的尺寸同量级，必须按空间问题求解。空间问题有限元法的原理、思路和解题方法完全类同于平面问题的有限元法，所不同的是它具有三维特点。它所采用的离散化模型仍然是由若干单元在节点处连接而成的，而且节点仍为铰接，但是这些单元具有块体形状。它的基本未知量是节点位移，有3个分量：u,v,w。它的分析方法仍然是先进行单元分析，再进行整体分析，最

2、后求解整体平衡方程。但必须指出，由平面问题转换为空间问题给有限元分析带来了两个主要困难：1、空间结构离散不像平面问题直观，当人工离散时很容易产生错误。2、未知量的数量剧增，对于比较复杂的空间问题，计算机存储容量和计算机费用都会产生问题。为解决上述两个问题，前者可通过寻找规律，建立网格自动生成前处理程序来克服，而后者则可采用高阶元以提高单元精度，达到减少未知量和节省机时的目的。§4.2常应变四面体单元§4.2.1位移函数(4.2.1)，mi为结点，每个结点有三个自m图4-1所示为四面体单元，以四个角点i，由度，因此由广义坐标给出的线性位移函数为其中1xyz12LT12把四个节

3、点坐标代入(4.2.1)式时，可得(422)其中qUiViwiUjVjWjUmWmU|V|TWi1111XiXjXmXlyiyjymyiZiZjZmZl由(4.2.2)式求出(4.2.3)将(4.2.3)式代入(4.2.1)式后，则有A1qNiNjNmNi(4.2.4)其中Ni16VaibixqydizNj16VajbjX5ydjZNm16VamCmydmZNi16Vb|XcydizXiVjZj1yjZaXmYm；Zmbi1ymZmX|YiZ1YiZ|1XjZj1Xjyjc1XmZmdi1Xmym1XZ|1X|Yi它们的系数为称为形函数,1xwz11XjyjZj61Xmymzm1xyizV为四

4、面体的体积，为了使V不为负值，单元的4个顶点的标号i,j,ml必须按照一定的順序：在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照ijm的转向转动时向l的方向前进。§4.2.2应变矩阵、应力矩阵如图4-1所示，单元内任一点的应变为BqBiBjBm其中Xyzxyyzb000c0100diBi'(6Vcbi00diCidi0bii，j，m1)Biq(425)Tzx显然Bi(i,j,m,l)矩阵中的元素都是常量，因此，采用线性位移模型的四面体单元是常应变单元。将(4.2.5)式代入空间问题的物理方程得:式中DBqSqSiSjSlq(4.2.6)Txyzxyyzzx1000D(1E(1)1)(1

5、12(1biAiCiAdiAbcAdiAAbAICidi6VA2CA2bi00A2diA2CiA2di0Ab而A-A2Si1式中S称为应力矩阵,22(1A3E(1(1)(12)(427)显然单元中的应力也是常量。§4.2.2单元刚度矩阵和单元等效节点载荷向量利用最小势能原理，得到单元节点位移的公式:kqF其中kVTBDBdxdydz称为单元刚度矩阵，它也可以写为KHKijKmKHkKjiKjmKjlKmiKmmKml©KljKmKll其中krsTB(4.2.8)brbsA2(CrCsdrds)3AAGbsA2brCsACb人2匕4AbrCsA2CrbsCrCsA2(brbs

6、drds)AdrCsA2CrdsAbrdsA2drbsA1CrdsA2drCsdrdsA2(brbsC$)(r,si,j,m,l)F是单元等效节点载荷向量。体力与面力的等效节点载荷向量公式同平面问题类0似，特别地，若体力为重力，即Fb0时，体力的等效节点载荷向量公式为gTRFbgV00100100100-4444TW00丄0010010014444如果弹性体划分为n个单元，经过类似平面问题的组集可得到KrR(429)其中K为整体刚度矩阵；r称为整个结构的结点位移矩阵，是所求的基本未知量；R是由单元的结点载荷集合而成。四面体单元具有有限的拟合边界的能力，但单元划分较复杂易出错，故许多前处理程序不

7、支持这一单元的划分。鉴于线性模式导致的常应变特征，给使用上带来较大的不便，特别是变形梯度较大的区域，可造成较大的错误，有些程序也不支持此类单丿元。§4.3六面体单元如同在平面问题中采用矩形单元一样，在空间问题中也可采用六面体单元。图XXX表示了8节点六面体单元，每个结点有三个自由度，整个单元有24个自由，采用广义坐标系表示时，采用如下形式的位移模式可得证单元的完备性。00u00(4.3.1)00其中1xyzxyxzyzxyzT24图4-2八节点六面体单元作类似于上节的工作，可求得从而有,代入(4.2.1)式可得i,qN,N2N3LN8其中qUiv1w,u2v2Lu8V8Ni是形函数。

8、图4-3出示了20点六面体单元，除了角点外，每边中点另加一副节点，这样单元共有60个自由度，位移模型中包括下述各式，可保证单元的完备性。2221xyzxyxzyzxyz222222222xyxyxzxzyzyzxyzxyzxyzxyzz15y卜节点六面体单元图4-2如采用§3.1.2所述步骤，求A阵及A1矩阵，推导出用节点位移表示的广义坐标，从而得到插值函数Ni的表达式。不论是8节点还是20节点六面体单元都将是十分麻烦的，同时此种单元不易于拟合实际结构的外形，故应用中受到了限制。克服上述缺点的有效方法是采用自然坐标直接构造单元的插值函数和利用等参变换而避免采用规则的六面体，在第五章将

9、讨论这样的问题。§4.4轴对称问题的有限元格式工程中常遇到一些结构，它们的几何形状、约束条件以及作用载荷都对称于某一固定轴，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也都对称于此对称轴，这种问题称为轴对称问题。轴对称问题在工程实际与日常生活中得到了广泛的应用，如锅炉、水缸、烟囱、受内压的球壳、回转圆盘和发动机缸体等，无限大、半无限大的弹性体受一集中载荷作用时，也可作为轴对称问题处理。轴对称问题在物理应属空间问题，但如果采用取圆柱坐标（r,z）描述，以对称轴作为z轴，则应力、应变和位移都与无关，只是r，z的函数。任一点的位移只有两个方向的分量，即r向的u和z向的w，而的位移为零，因此轴对称问

10、题可简化为二维处理，但和上章中所述的平面问题又有一定的差别，故在此专门进行讨论。§441空间轴对称问题的几何方程与物理方程2(ru)2ru。r因没有方向的位移（即u0），U和W又均与无关，由弹性力学知,由于对称性，通过对轴的任一平截面（子午面）内任一点的径向位移u和轴向位移w完全确定了物体的应变状态，因此也确定了应力状态。由位移分量U和w，可以确定轴向应变Wzz径向应变urr剪应变wuxzrz此外，径向位移u和自动产生的环向应变。半径为r的圆环，经径向位移u后,半径变化为ru，则环向应变为于是，空间轴对称问题中有四个应变分量r,z,rz与对应的四个应力分量空间轴对称问题的几何方程为u

11、uwuwrzrzrrzzr写成矩阵形式为r0r1r0uz0wzrzzr简记为：Af§442空间轴对称问题的离散化在对轴对称问题进行有限元分析时，只需取出任一对称面进行网格划分和分析。下面以三角形单元为例来说明，其原理适用于矩形单元与其它平面等参元。在图中，先把过z轴的一对称面离散为若干个三角形单元，再绕z轴旋转一周，图中的物体就被离散若干个三角形环单元。各单元之间用环形的铰链连接，单元的体积就是图中圆环体的体积，所有的积分必须对这一体积进行。轴对称问题采用的是一些圆环，这些圆环与rz面正交的截面可以是任意形状，下面采用图4-5所示的三角形截面的圆环单元i，j，m讨论。Az1、单元位移

12、函数取出环状单元的一个截面ijm如图4-6所示，单元结点位移为qiTqqjUiWiUjWjUmWmqm(441)选择线性位移模式时，则uuB(4.4.2)其中，1rz图4-6三角形环单元0T12L6采用6个节点位移表示6个广义坐标i:6则有(443)由(4.4.3)式可得(4.4.4)把(4.4.4)式代入(4.4.2)式，有NiuNiUwNq0Nj，Nm为插值函数brgz)(0NiNj00NjNm00Nm(4.4.6)(4.4.5)rmZjrmZjrmZjairjZmrmZj，biZjZm，Ci(rjrm)2、应变矩阵单元内任一点的应变为zrrzzBqBiBjuwzrurBm(4.4.7)其

13、中(4.4.8)q(i,J,b0aczfi-b(i,j,m)(449)rr由上式可知，由于fi,fj,fm是坐标r和z的函数，所以单元中环向正应变不是常量，其余应变分量r，z，rrz都是常量。B的项中包含了，它给计算带来了r麻烦。为了简化计算，把每一个单元中的r和z近似看作常数，即_1_1r厂3(rirj缶)zz-(召Zm)其中rc,zc是单元形心坐标。于是单元被近似看作常应变单元，即用形心处的应变来代zrzDDBqSqSiSjSmq上式中1-01110E(1)11D(1)(12:)001202(1)0111bA1irAGS&A(bi1ci2AA2ciA2bAbifiAgA，A2，A同

14、(4.2.7)式。r4、单元刚度矩阵(4.4.10)替单元的应变，这时B中的fi等于fiaibL%；1,2,3fifirc3、应力矩阵单兀的应力分量为F面求3节点环状单元的单元刚度矩阵。同样地，由最小势能原理可得出结点位移公式(4411)式中kVlBSBrddrdzBtDBrdrdz(4412)称为单元的刚度矩阵，它可以写为KKKiiijimKKKjijjjmKKKmimjmmkSrA3brbsfrfs2A(CrbsA(brfsCrfS)frbs)“CrCsMrCsAPs(brCrCs扯“bs(4.4.13)(r=i,j,m)A，A，A同(4.2.7)式5、等效节点载荷环形单元上的等效结点载荷

15、仍然为llFFfFs(4.4.15)其中体力贡献Fffrdrdz(4.4.15a)面力贡献TrdS(4.4.15b)集中力lFf(4.4.15c)UPr2F2MPrPzi=1,2,n)集中力是作用在一圈结点上集中力的总量。式中ri是结点i的坐标。Pir，Pz是作用在结点i圆周每单位长度上的集中载荷在r和z方向的分量。下面给出几种常见载荷的等效结点载荷的例子。(1)体力f为自重旋转体对称轴z垂直于地面，密度为，则体力为fr0ffzg所以Ff2TN0rdrdzg则Ffi2NiT0rdrdz(g利用自然坐标，有rriL-irjLjrmLmzzLZjLjzmLmLi0Ni0Li则0Ffi2Lirdrd

16、zLig02g(LjrLLjjLjLirmLm)i,j,m)利用（247）式，可得Ffig2A2ri2gA2rj2扁121212120drdzg2A02ri122rj122rm120gA0(i,j,m)3rri63rri如果单元离对称轴较远，则可以认为rrrm大致相等。因此1TFfW010101f3其中，W2rAg为三角形环单元的自重。相当于把自重的13移置于每个节点上。（2）旋转机械的离心力（惯性力）设密度为的旋转机械绕对称轴以角速度w匀速转动，则单位体积的离心力为Fb所以Ff2fbrdrdz2则Ffi'b1Nirdrdz202利用自然坐标有:Ffi22Li(riLi2曲).drdz0rj2rm2rrj2扁25)2a15-2(9r2rm202rm)如果近似地认为rirjrmr，则1211-21Ffbi-2rAr-Mr3030Ffb12-Mr21010103式中，M2rA为三角形环单元的质量(3)面力在单元j边上有线性分布的径向载荷，如图4-7所示图4-7rdsFs2rdSLij00LiTLTjLj(riLi几匚gLm)dST(L3rijLgj)Tj(L2LjrjL丄匕)dS0r_12Tj1212lTj（3r