长沙市中考数学试题压轴题总汇及答案

1、长沙市中考数学试题压轴题总汇52013】(第对剧)2013年湖南长沙中考数学压轴题第二道丄2百题)2鼻如田*在平血必用蜂杯麵中，克线>=工+2与上输、y轴分别交于点小点执功点尸8)庄第一象隈内，由戌尸向F辘新悴的垂纯PMPN(足为M,AO分别与直圾”曲樹交于点E.点力与点尸(瓠时运动时，矩形卩加N的面枳为定值2.<1)最NOME的度牧；(2) 求证：AOFBEOi(3) 囁点民尸都在找段沖円上时.由三衆线段AE，职甘F组嵐f三肃形记此二俯龜的外接说角帜为£,ZWF的面稅为気.试按穽；%*£比否存在最小值？若存血>请求出该瓏小値；若不存在.请说叨理由”【20

2、12】如图半径分别为m,n(0m<n)的两圆0O和0Q相交于P,Q两点，且点P(4,1)，两圆同时与两坐标轴相切，00与x轴，y轴分别切于点M,点N,0O与x轴，y轴分别切于点R,点H。(1) 求两圆的圆心o,0所在直线的解析式；求两圆的圆心0,0之间的距离d；12令四边形卩0診02的面积为S,四边形RM00的面积为S.112212试探究：是否存在条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式说明理由。s-s-42迈d【2011】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),点P是x轴上一动点，以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ

3、.当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B.(1) 求点B的坐标；(2) 求证：当点P在x轴上运动(P不与0重合)时，ZABQ为定值；(3) 是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【2010】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=弘2cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从0、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.(1) 用t的式子表示AOPO的面积S；(2) 求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出

4、这个定值；(3) 当MPQ与APAB和AQPB相似时，抛物线y=1x2+bx+c经过B、P两点，过【2009】如图，二次函数y二ax2+bx+c(a丰0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C.连结AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(3,0)、C(0,3)，且当x=-4和x二2时二次函数的函数值y相等.(1)求实数a,b,c的值；(2) 若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，二次函

5、数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B，N,Q为项点的三角形与AABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.y丰【2008】如图，六边形ABCDEF内接于半径为(常数)的00,其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.(1) 当ZBAD=75时，求從的长；(2) 求证：BCADFE；(3) 设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值.【2007】如图，平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120。，E为BC上一动点(不与B重合)，作EF丄AB于F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,DEF的面积为S(1) 求

6、证：BEFACEG；(2) 求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；(3) 当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？11【2006】如图1,已知直线y二2x与抛物线y二4x2+6交于A,B两点.1）求A，B两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在,请简要说明理由图2占（附）（m>0）f且与y轴交于2005】得分评

7、卷人烫评人26,£本题满分10分）已知抛物线y=/+应经过虑A（一的）、点C（I）求庄、b的值用舍用的式子表示h口）如图所示财过/、乩C二点，求阴影部分炭形的血积3（用含祈的式子裳示G）在工轴上方，若抛物线上存在点凡便得以月、&F为顶点的三角形与2肚相似，求旳的值，【2004】已知两点O(0,0)、B(0,2),OA过点B且与x轴分别相交于点O、C,OA被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1,直线1与0A切于点O,抛物线的顶点在直线l上运动.(1) 求0A的半径；(2) 若抛物线经过O、C两点,求抛物线的解析式；(3) 过1上一点P的直线与0A交于C、E两点，且PC=CE，求

8、点E的坐标；(4) 若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为口求厶PEC的面积关于m的函数解析式长沙市中考数学试题压轴题总汇答案1. （1）连结OB、0C,由ZBAD=75。,0A=0B知ZA0B=30。,（1分）.AB=CD,ZC0D=ZA0B=30°,ZB0C=120。,（2分）故险的长为警（3分）（2）连结BD,TAB=CD,ZADB=ZCBD,BCAD,（5分）同理EFAD,从而BCADFE.（6分）（3）过点B作BM丄AD于M,由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM.（7分）AD为直径，ZABD=90。，易得BAMDAB.AM

9、=AB2=X2,.BC=2r竺，同理EF=2r亚（8分）AD2rrr.L=4x+2（2r担）=X2+4x+4r=Cr+6r，其中OVxVJ2r（9分）rrr.当x=r时，L取得最大值6r.（10分）2、略26解：:CQ=t,0P=辽t,CO=8：.OQ=8-t1J2:Sopq=2(8-t"=-计12+4(0VtV8)3分'四边形OPBQ=S矩形ABCDSpabScbq=8x8<2x8v2tx8x(8囂'2v,2t)=32*2225分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于3226分（3）当MPQ与APAB和AQPB相似时，QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是Z

10、QPB=90°又BQ与AO不平行:ZQPO不可能等于NPQB,NAPB不可能等于ZPBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQs&BQsMBP7分解得：t=48经检验：t=4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P(4J2,0)b（8迈,8）且抛物线y-4x2+bx+c经过Bp两点,抛物线是y4x22、辽X+8，直线BP是:y-迈X88分设M(m,J2m8)、N(m,M在BP上运动4辽<m<&2y1x22迈x+8与y-迈x8交于p、B两点且抛物线的顶点是P142.当4迈<m<8J2时，y>y9分12MN|yiy2|=4(m6孙2+2.

11、当m6迈时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H点则M(62,4)、H(6迈,7)S"BHMSbhm=2x3x2迈=3迈:S五边形qopmh=3迈：(32迈-3迈)=3:2910分当MN取最大值时两部分面积之比是3：29.4/134、（1）过点B作BCy轴于点C,1分A(0,2),AOB为等边三角形，AB=OB=2,ZBAO=60。，BC=、3,OC=AC=1,即BG3,1).3分(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时，不失一般性,VZPA0=ZOAB=60O,:.ZPAO=ZQAB,4分在厶1卩0和QB中，yAP=AQ,ZPAO=ZQAB,AO=AB,/.APOAAQB总成立，5

12、分ZABQ=ZAOP=90O总成立，点P在x轴上运动（P不与O重合）时，ZABQ为定值90O.6分（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行.7分当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方,此时，若ABOQ,四边形AOQB即是梯形.当AB/OQ时，ZBQO=90O,ZBOQ=ZABO=60。,又OB=OA=2，可求得BQ=/3,由（2）可知APOAQB,OP=BQ=<3,°此时P的坐标为(一叮3,0).当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQIIOB，四边形AOBQ即是梯形.当AQIIOB时，ZQAB=ZABO=60°,Z

13、ABQ=90°,AB=2,:.BQ=2J3.由(2)可知APO今AQB,:.op=bq=2、3,:此时P的坐标为(23,0).综上，P的坐标为(一x-'3,0)或(2*3,0).5、(1)由题意可知，两圆的圆心都在第一、三象限的角平分线上，故所求解析式为：y=x(2)T0(m,m),02(n,n)(m<n),两圆的半径分别为m,n,(m-1)2+(4-m)2=m2：0P=m,0P=n,由题意及勾股定理得：12(n-1)2+(n-4)2=n2解得：m=5-2.：2,n=5+2、：2故d=00'2(m-n)=丫2x42=8(也可构造一元二次方程，利用韦达定理求解)_

14、(3)方法1；TP(4,1)，根据对称性，Q(l,4),故PQ=3迈,TPQ丄0Q;:S=PQ00=!x3*2x8=122,s=(m+n)(n-m)=20、.21212222s-s12J2-20V2故卡亠=产=1;TP(4,1),即P到y轴的距离=4,P又在x轴上方，故当抛物线开口2dv'2x8向下时，且过P,Q两点时，抛物线在x轴上截得的距离不可能为1,故不存在这样的抛物线；s-s方法2：同上求出2=1,设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x,0),(x,0);2d12则!X1-xj=1，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,于是有：16a+4b+c=1a+b+c=4解得：8a2-1

15、0a+1=0，求得a=5+v'17_80，与题意矛盾,故不存在这样的抛物线。6、如图，平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120。，E为BC上一动点(不与B重合),作EF丄AB于F，FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,DEF的面积为S.(1) 求证：BEFsCEG；(2) 求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围;(3) 当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？考点：二次函数综合题；平行四边形的性质；相似三角形的判定。专题：压轴题。分析(1)因为ZB=ZGCE,ZBEF=ZGEC，所以BEFCEG；(2) 在平行四边形ABCD中，因为ZBAD=120

16、6;所以ZB=60°=ZECG,又BE=x,EC=3-x,所以EF、CG可利用三角函数求出，即在EFG中，边和边上的高就为已知，从而求出解析式；(3) 在(2)的基础上，寻求函数的最大值.解答(1)证明：TAB/GD,AZB=ZGCE,又VZBEF=ZGEC,.BEFsCEG.（2）解：由（1）DG为DEF中EF边上的高，在RtABFE中，ZB=60°,EF=BEsinB#x，（4分）在RtACEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°=x，（6分）.DG-DC+CG'*，（5分）.S=EFDG=-28其中0<x<3.（7分）（3）解:

17、Va=-矜,对称轴x浑，.当0<x<3时，S随x的增大而增大，.当x=3,即E与C重合时，S有最大值.（9分）S最大（10分）点评：此题考查内容较为丰富，既有平行四边形又有三角函数，难易程度适中7、26.（1）解：依题意得iy二-x2+641y二一一x2x二6i1匕一3Iy2=4二2A（63）B（，423分（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C,D两点，交AB于M（如图1）由（1）可知：OA=3嘗5OB=2p5.AB=5：'51 J5:.OM=-ABOB=2 2图1第26题过B作BE丄x轴，E为垂足同理：由beoocm，得:Ob二鲁，二oc二4,5分设CD的解析式为y二k

18、x+b（k丰0）6分AB的垂直平分线的解析式为：y二2x-5.（3）若存在点P使厶APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交1点的直线y二-x+m上，并设该直线与x轴，y轴交于G,H两点（如图2）.1x+m2x2-x+m-6=042:抛物线与直线只有一个交点,(1)22丿-4X4(m-6)=025m=4125在直线GH：y二一-x+中,.G.GH二和图2第26题设O到GH的距离为d2GHd=2严严1 25%5712525xd二一xx2 4224d二5<52ABGH,工P到AB的距离等于O到GH的距离d.二S最大面积2AB8、26.依题意得有?a_b_l=0还+渤亠0&#

19、39;解得:1a=m方=巳m(2分):抛物线的解析式为：y=x2+-x-1mm(2)x=0日寸，j/=1；C(0,1)*：OA=OC,：/OAC=45o：ZBMC=2ZOAC=90°又VBC-7+1:S亠MC丄力空=显+%_（5分）12（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点p,使得以4、b、p为顶点的三角形与ZU/C相似，则P关于对称轴的对称点尸也符合题意，即户、p对应的利值相同，下面以点尸在对称轴右侧进行分析：（6分）*/zw>0.加=1+y/2即若抛物线上存在点尸，使得以儿B、P为顶点的三角形与AABC相似，贝U加=1+佢&分）情形二：ABCs/pab则

20、ZR4B=NABC,ABBCAPAB同于情形一:ZR4B=ZABCPDOC1ADOBm可令px(x+l)9、已知两点O(0,0)、B(0,2),OA过点B且与x轴分别相交于点O、C,OA被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1,直线1与0A切于点O,抛物线的顶点在直线l上运动.(1) 求0A的半径；(2) 若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；(3) 过1上一点P的直线与0A交于C、E两点，且PC=CE，求点E的坐标；(4) 若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为口求厶PEC的面积关于m的函数解析式.18分析(1)根据，0A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1,可知弦OB所

21、对的圆心角的度数为90°，即三角形OAB为等腰直角三角形，根据斜边OB长为2,因此圆A的半径应该是错误！未找到引用源。；(2)本题要分两种情况进行求解：圆A的圆心在第一象限时，那么C点的坐标应是(2,0)，圆A的圆心在第二象限时，C点的坐标应该是(-2,0)，因此可设抛物线的解析式为y=ax(x-2)或y=ax(x+2).已知顶点坐标在直线1上，由于1与圆相切，在(1)已经得出ZBOA=45。，因此直线1与y轴的夹角为45。，那么直线1的解析式为y=x或y=-x.根据抛物线的对称性和O,C的坐标可知，抛物线的对称轴为x=1或x=-1，将横坐标代入直线1中即可求出顶点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可得出所求的结果；(3) 本题可根据切割线定理求解，先根据直线1的解析式设出P点的坐标，如(m,-m)(m>0)那么OP=错误！未找到引用源。m,根据切割线定理有OP2=PCPE=2PC2=2m2,因此PC=m,由此可得出PC与P的纵坐标的绝对值相同，即PC丄x轴，因此m=OC=2.即可得出P点的坐标；(另外一种情况，即当直线1的解析式为y=x时，解法同上)(4) 已知了P点的横坐标为m,即抛物线的对称轴为x=m，可据此求出FC的长，然后将m代入抛物线的解析式中求出P点的纵坐标，即可得出三角形的高，然后根据三角形的面积计算公式即可求得S