高中数学圆锥曲线的光学性质及其应用

1、圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设P(x0,y0)为圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、B、C不同时为零)上一定点，则在该点处的切线方程为：Axx+B-y°X+Cyy+D-X+o2o丿2E-乙空+F=0。(该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换2法则”，可直接用此法则写出切线方程)。该方程的推导，原则上用“法”求出在点P处的切线斜率k=f(x,y)，进而用点斜00式写出切线方程y-y=f(x,y)(xx)，则在

2、点P处的法线方程为y-y=100000f(x,y)00(xx)。01、抛物线的切线、法线性质经过抛物线y2=2px(p>0)上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法X+xpyy=2p-0，即yy=p(x+x)，斜率为，于是得在点M处的法线方程为0200y0yyy=(xx).0p0令y=0，得法线与x轴的交点N的坐标为(x0+p,0),所以IFN1=1x+pPl=x+p.0202又焦半径IMFI=x+02所以IFNI=IFMI，从而得a=a=a,即a=a.13212当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。也可以利用点M处的

3、切线方程求出T(-x,0)，则ITFI=p+x，又IMFI=x+故02002IFTI=IFMInZl=Z2=Z3，从而得a=a.12也可以利用到角公式来证明a=a.12抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中ai=a$证明也不难，分别求出k、k、k、k，然后用到角公式即可获证。PF1PNPF1PF2椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的

4、切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中a=a。仍12可利用到角公式获证。>图3这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”如图4,MN切曲线C于点P，则ZAPM=ZBPNO这是很容易由物理学的''入射角等于反射角”及平面几何中

5、“等角的余角相等来证明的。例1x2求证：椭圆-+分析：如图5,用圆锥曲线光学性质证明Zl+Z3=90。即可。证明：如图5,两曲线的公共焦点F/-4,0）、F2（4,0），设P为两曲线的一个交点，PQ、PR分别为椭圆、双曲线的切线，连FP、FP，并延长FP，由椭圆光学性质，推得Z1=l2lZ2；由双曲线光学性质，得Z3=Z4O又Z2=Z5，Z4=Z6（对顶角相等）,所以Z1=Z5，Z3=Z6（等量代换）。又Z1+Z3+Z5+Z6=180°，所以Z1+Z3=90°，即PQ丄PR,命题得证。评注：（1）本题也可采用代数运算证出k-k=-1的方法来证明，但比较复杂。这PQPR里采用

6、光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直，叫做这两曲直交。x2y2例2如图6,已知F1、F2是椭圆菽+b-=1（ab0）的焦点，P1、P2分别是F1、F2在椭圆任一切线CD上的射影。分析：（1）欲证IFPI-IFPI为定值，即证IFQIsinwIFOIsina为定值（由光学性112212质推得ZFQP=ZFQP=a），从而知应用余弦定理于AFQF即可获证。）（2）求出112212IOPI、IOPI分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。12证明：（1）设Q为切线，由椭圆光学性质推知

7、ZF1QP1=ZF2QP2设为a,则IFPI=IFQIsina,IFPI=IFQIsina.111222所以IFPI-IFPI=IFQI-IFQIsin2a.112212又ZFQF=180。2a，贝V在AFQF中,1212IFF|2=|FQ|2+IFQ|22IFQI-1FQIcos(180o2a)121212=(IFQ+IF2Q|2)2IF1QI-1F2QI(1cos2a)=(2a)2-2IF1QIJF2QI2Sin2训=4a24IFQI-1FQIsin2a12=4a24IFPI-IFPI,1122则4IFPI-IFPI=4a2IFFI2=4a24c2=4b2.112212所以IFPIIFPI

8、=b2为常数，即定值。121(2)设点O在CD上的射影为M,则OM是直角梯形FFPP的中位线，于是有1221IOMI=-(IFPI+IFPI)。21122(IPPI)2I2丿1l-FNI2+fPI2+IFPI2N丄FP于N)4211222111-FFI2(FPIIFPI)2+(IFPI+IFPJ412112211221在RtAOPiM中,IOPiI2=IMPiI2+IOMI2=(IFPI+IFP-1-224C2+4IF1P1I-IF2P2=t(4C2+4b2)=a2.同理IOP|2=a2.2所以P、P的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，其方程为x2+y2=a2.12解：设以点A（4,4）、F（4

9、,0）为焦点的椭圆为（X4）2+（y2）2=1（a为长半轴a24a2长）。再设P为抛物线与椭圆的公共点，由椭圆第一定义知：|PA|+|PF|=2a.即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和，若2a最小，当且仅当椭圆与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线FP的反射线PA平行于x轴。所以P（1，4）。由知a=4,min所以所求的椭圆方程为（XJ?+（y丁2=1.1216例4如图8,已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x，平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为P、Q,设点P的纵坐标为a(a>0)，当a为何值时，从入射点P到反射点Q的路程PQ最短？、丿函数IPQI二f(a)，求出最小值条件a即可。分析：，故可用弦长公式建立目标解：由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点4,o,设点玖a2,a)，则直线PQ的方k4丿程为(1)xI4丿ay=1a2-144ay2-(4a2-1)y-a=0ny=将方程y2=x代入，消去x,得或y=0.4a故知点Q坐标为16a24