高中数学平面向量知识点总结及常见题型

1、平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念: 向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法a=xi+yj=（x,y）向量的大小即向量的模（长度），记作IAB|、即向量的大小，记作丨a|+向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量：长度为o的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a=ooIa1=0+由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别） 单位向量：模为1个单位长度的向量向量a为单位向量o|

2、ai=ioo 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作ab由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a=b大小相等，方向相同（Xryi）=（,y2）x=x12儿=y.122向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设AB=a,BC=b，贝ya+b二AB+BC二AC（1）0+a=a+0=a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法贝”与“平行四边形法贝”：（1）用平行四边形法贝时，

3、两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法贝的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法贝；当两向量是首尾连接时，用三角形法贝向量加法的三角形法贝可推广至多个向量相加：PQ+QR=AR,但这时必须“首尾相连”3向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作-a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i)-(-a)=a；(ii)a+(-a)=(-a)

4、+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=一a,a+b=0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) ka=|九|-|a|；(II) 当九0时，入a的方向与a的方向相同；当九量ab是个数ab=xx+yy1212ab=ba的数a=0或b=0时，(Xa)b=a(Xb)=X(ab)量积ab=o(a+b)c=ac+bca丰0且b丰0时，ia2=IaI2，|aI

5、=Jx2+y2ab=aiibicosiabi已知两个向量a=(x,y),b=(x,y)，则ab=xx+yy112212128向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b，则ZAOB=0(0oe1800)叫做向量a与b的夹角cos0二cos=xx+yy1212.x2+y2x2+y21122当且仅当两个非零向量a与b同方向时，e=Oo,当且仅当a与b反方向时9=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为9Oo则称a与b垂直，记作a丄b10两个非零向量垂直的充要条件:a丄boab=ooxx+yy=0平面向量数量积的性质1212题型1.基本概念判断正误

6、：(1) 共线向量就是在同一条直线上的向量.(2) 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.(3) 与已知向量共线的单位向量是唯一的.(4) 四边形ABCD是平行四边形的条件是AB=CD.(5) 若AB=CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形.(6) 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量(7) 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.(8) 若ma=mb，则a=b.(9)若ma=na，贝ym=n.(10)若a与b不共线，则a与b都不是零向量.(11)若a-b=1aI-1bI，则a/b.(12)若Ia+b1=1abI，则a丄b.题型2.向量的加减运算_1. 设a表示“向东走8km”,b表

7、示“向北走6km”，则Ia+bI=,2. 化简(AB+MB)+(BO+BC)+OM=.3.已知IOAI=5,IOBI=3，则IABI的最大值和最小值分别为4. 已知AC为AB与AD的和向量，且AC=a,BD=b，则AB=，AD=.5. 已知点C在线段AB上，且AC=IAB，则AC=BC，AB=BC.题型3.向量的数乘运算1. 计算：(1)I(a+b)2(a+b)=(2)2(2a+5bIc)3(2a+Ib2c)=一一_1-2. 已知a=(1,一4),b=(3,8)，则3a一b=.题型4作图法球向量的和1 3f已知向量a,b，如下图，请做出向量3a+=b和2a一乂b.2 2题型5.根据图形由已知向

8、量求未知向量1. 已知在AABC中,D是BC的中点，请用向量AB，C表示AD.2. 在平行四边形abcd中，已知Ac=a,BD=b，求AB和AD.题型6.向量的坐标运算1. 已知AB=(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是.2. 已知PQ=(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是.3. 若物体受三个力F=(,F=(一2,3),F=(一1,4)，则合力的坐标为1234.已知a=(3,4),b二(5,2)，求a+b,ab,3a2b.5. 已知A(l,2),B(3,2),向量a=(x+2,x一3y一2)与AB相等，求x,y的值.6. 已知AB=(2,3),BC=(m,n),CD=(1,4)，则DA

9、=7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)且AB+3BC=0求OC的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1. 已知e,z是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12A.e+e和eeb.3e2e和4e6ec.e+3e和e3ed.e和ee1212122112212212. 已知a=(3,4)，能与a构成基底的是()34a.(55)B.34c.(-5,-5)D.(J一4)题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，IOA1=2，ZxOA=150。，求OA的坐标.2.已知O是原点，点A在第一象限，IOA1=4品，ZxOA=60。，求OA的坐标.题型

10、9.求数量积1. 已知Iai=3,ibi=4，且a与b的夹角为60，求a-b，(2)a-(a+b)，(3) (a-b)-b，(4)(2ab)-(a+3b).2. 已知a=(2,6),b=(8,10)，求(1)IaI,IbI，(2)a*b，(3)a-(2a+b),(4) (2ab)*(a+3b).题型10.求向量的夹角1. 已知Ia1=8,1b1=3,a-b=12，求a与b的夹角.2. 已知a=(3,1),b=(一2、，32)，求a与b的夹角.3. 已知A(1,O),B(0,1),C(2,5)，求cosABAC.题型11求向量的模1. 已知Iai=3,1bi=4，且a与b的夹角为60，求(1)I

11、a+bI,12a3b1.2. 已知a=(2,6),b=(8,10)，求(1)IaI,IbI，(5)Ia+bI，(6)IabI.23. 已知IaI=1,IbI=2，I3a2bI=3，求I3a+bI.a题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：e=】IaI1. 与a=(12,5)平行的单位向量是.2. 与m=(1,|)平行的单位向量.题型13.向量的平行与垂直1. 已知a=(6,2)，b=(3,m)，当m为何值时，(1)a/b?(2)a丄b？2. 已知a=(1,2)，b=(3,2)，(1)k为何值时，向量ka+b与a3b垂直？(2)k为何值时，向量ka+b与a3b平行？3. 已知a是非零向量，a-

12、b=a-c，且b主c，求证：a丄(bc).题型14.三点共线问题1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线.2.设AB=(a+5b),BC=2a+8b,CD=3(ab)，求证：A、B、D三点共线.23. 已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a2b，则一定共线的三点是4.已知A(l,3),B(8,1)，若点C(2a-1,a+2)在直线AB上，求a的值.5.已知四个点的坐标0(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使OA+tOB=0C成立？题型15.判断多边形的形状1.若AB=3e，CD=5e，且1AD|=|BC1,则四边形

13、的形状是2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形.3. 已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：AABC是直角三角形.4. 在平面直角坐标系内，0A=(1,8),0B=(4,1),0C=(1,3),求证：AABC是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用-1. 已知a=(1,0)，b=(2,1)，当k为何值时，向量kab与a+3b平行？2. 已矢口a=(、325)，且a丄b，Ib1=2，求b的坐标.A-*3. 已知a与b同向，b=(1,2)，则a-b=10，求a的坐标.3.已知a=(1,2)，b=(3,1)，c=(5,4)，则c=

14、a+b.4. 已知a=(5,10),b=(一3,-4),c=(5,0)，请将用向量a,b表示向量c.5. 已知a=(m,3),b二(2,-1),(1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.6. 已知a=(6,2)，b=(-3,m)，当m为何值时，(1)a与b的夹角为钝角？(2)a与b的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(-1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB/DC，AB-2CD，求点C的坐标.8. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，求第四个顶点D的坐标.9. 一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.10. 已知AABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若AB-AC=0，求c的值；(2)若c=5，求sinA的值.【备用】1.已知Ia1=3,1b1=4,1a+b1=5，求Ia-bI和向量a,b的夹角.2已知x=a+b，亍=2a+b，且IaI=IbI=1，a丄b，求x,y的夹角的余弦.1.已知a=(1,3),b=(-2,-1)，则(3a+2b)-(2a5b)=.*-*-*，-*-4.已知两向量a=(3,4),b=(2,-1)，求当a+xb与a-b垂直时