第四节 连续型随机变量的概率分布

1、第四节第四节 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度二、三种常用的二、三种常用的连续连续型随机变量型随机变量及其及其分布分布 若对于随机变量若对于随机变量X X的分布函数的分布函数F(x)F(x)，存在非负函，存在非负函数数f (x),f (x), 使得对于任意实数使得对于任意实数x x, ,有：有：()( )xF xf t dt 则称则称X X为连续型随机变量，其中被积函数为连续型随机变量，其中被积函数f(x)f(x)称为称为X X的概率密度函数（简称概率密度）的概率密度函数（简称概率密度）f (x)x0 xF(x)f (

2、x)x0阴影部分的面积为阴影部分的面积为1 1( )0,(,)f xx (1)非负性非负性1f ( x )dx (2)规范性规范性(由定义由定义)由由和和 可得可得性质性质2.( )( )xF xf t dt ()1F 如果一个函数具有上述两个性质，则它可如果一个函数具有上述两个性质，则它可以作为某个随机变量以作为某个随机变量X X 的概率密度，也就的概率密度，也就是说，性质是说，性质(1),(2)(1),(2)是鉴别一个函数是否可是鉴别一个函数是否可以是某随机变量的概率密度的充分必要条以是某随机变量的概率密度的充分必要条件。件。21F( x )F( x )2112xxP xXx f ( x

3、)dx. 2xf ( x )dx 1xf ( x )dx 121xxxf ( x )dxf ( x )dx 1xf ( x )dx 1212,() xxxx(3)对于任意实数对于任意实数12P xXx 21xxf ( x )dx. f (x)x01x2x12P xXx 等于阴影部分的面积等于阴影部分的面积( )( ).F xf x (4) 若若f (x)f (x)在点在点 x x 处连续处连续，则则1.连续型随机变量连续型随机变量X X的分布函数的分布函数F(xF(x) )是连续函数是连续函数. .积分上限函数连续积分上限函数连续, ,所以所以F(xF(x) )连续连续2.连续型随机变量连续型

4、随机变量 X X 取任一常数取任一常数 a a 的概率为的概率为0 0，即，即0P Xa 设设X的分布函数为的分布函数为F(x)，则对任意的，则对任意的 ，有，有0 x XaaxXa 0P XaP axXa ( )()P axXaF aF ax 而而0( )()P XaF aF ax 从从 而而 得得在上述不等式中令在上述不等式中令 ，由，由F(x)的连续性的连续性, ,便可得便可得0 x 0P Xa 概率为概率为0 的事件未必不发生，的事件未必不发生，概率为概率为1 的事件未必发生的事件未必发生. .强调：强调：()P aXb ()P aXb ()P aXb ()P aXb ( )( )F

5、bF a ( )dbaf xx , ,a b3. 设设X是是连续型随机变量连续型随机变量，对于任意实数对于任意实数有有(),ab 例例1.下列函数能否作为随机变量的概率密度？下列函数能否作为随机变量的概率密度？1200(1)( )101xfxxx 2()0(2)( )x axafxexa 一个函数具有性质一个函数具有性质(1),(2)(1),(2)就就可以作为可以作为某个随机变量某个随机变量X X 的概的概率密度率密度. .（1）显然）显然1( )0fx 1f ( x )dx 020101dxdxx 0arctan x | 2 1 所以所以 不能作为随机变量的概率密度。不能作为随机变量的概率密

6、度。1( )fx（2）显然）显然2( )0fx 2f ( x )dx 0a( x a )adxedx( x a )e|a 1 所以所以 可以作为随机变量的概率密度。可以作为随机变量的概率密度。2( )fx例例2. 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的分布函数为的分布函数为求：求：(1)系数系数A , B ; (2)X落在区间落在区间(1 , 2)内的概率。内的概率。 (3)X的概率密度。的概率密度。220()00 xABexFxx 22()lim()xxFABe 220(00)lim()xxFABe 0(00)lim 0 xF 由由F(x)在在 x=0 连续连续, , A=1,B=-1.

7、A=1,B=-1.A 1 解：解：AB0 0AB221000 xexx 即即：F(x)=F(x)=所以所以（1）利用分布函数利用分布函数 性质性质 和连续型随机变量的分布函数在和连续型随机变量的分布函数在x=0 x=0点的连续性点的连续性计算计算A A，B.B.() 1F 12PX()()fxFX (2)(1)FF122(1)(1)ee 0.4712 (2)22000 xxexx (3)例例3. 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的分布函数为的分布函数为求：求：(1)(1)系数系数a a，b b，c c，d ;d ; (2)(2)X X落在区间落在区间(2 , 3)(2 , 3)内的概率。

8、内的概率。 (3)(3)X X的概率密度。的概率密度。1( )ln1axF xbxxcxdxedxe ()F 1lim,xaa 1lim( )xF x 1, 解：解：（1）利用分布函数利用分布函数 性质性质 和和以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算() 1F ()0F limxdd ()F limxaa 0 1lim(ln)xbxxcxd ,cd,acd11lim( )lim( )xxF xF x 1lim( )xF x lim,xedd lim(ln)xebxxcxd lim( )lim( )xexeF xF x beceddlim( )xeF x

9、 lim( )xeF x 由此得：由此得：1d 0,a 1,b 1,c 01( )ln111xF xxxxxexe beced23PX()()fxFX (3)(2)FF22ln2(2)ln10 xxe 其其它它(3)1211Ax dxdx211( )10 xf xx 其其它它解：解：（1）1-1-1=Aarcsinx=Aarcsinx = A= A=1=11A 所以所以例例4. 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为：的概率密度为： (3) X的分布函数。的分布函数。21( )10Axf xx 其其它它求求: :（1）系数系数A A ; ;(2)X落在区间落在区间 内的概率内的概率

10、; ;)1 11 1(- (- ，2 22 2由由 得：得： f f( (x x) )d dx x= =1 11122PX（2）1212211dxx 12121arcsin x 13 0 211xdtx -1-11arcsin |1xt 11arcsin2x （3）由由 ，得，得( )( )xF xf t - - dt dtxF( x )f (t ) - - dt dt( )( )xF xf t - - dt dtx - - 0dt 0dt11x若若1x 若若x 1 0 1x -1-10dt0dtx -1-1- -=0 dt=0 dt1211t -1-1dtdtx 1 10 dt0 dt1 1

11、x 若若xF( x )f (t ) - - dt dt所以所以011arcsin21xxxx -1-1F(x)=-11F(x)=-111 1x 1 0 1x解：解：（1）1c 所以所以例例5. 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为：的概率密度为：(2) X X的分布函数的分布函数; ;10( )010cxxf xcxx 其其它它求求(1)(1)系数系数 c c ; ;(3)X落落在区间在区间 内的概率内的概率. .)1 11 1( (- -，2 22 2由由 得：得： f (x)dx=1f (x)dx=10110()()cx dxcx dx ,=1=121c110( )1010

12、xxf xxx 其其它它0 -1-1- -=0dt=0dt)xt -1-1(1dt(1dt2(1)2x （2）由由 ，得，得( )( )xF xf t - - dt dtxF( x )f (t ) - - dt dt( )( )xF xf t - - dt dtx - - 0dt 0dt10 x若若1x 若若x 1 0 1xx01x若若( )( )xF xf t - - dt dtx -1-1- -=0dt=0dt0) t -1-1(1dt(1dt0)xt (1- dt(1- dt2122xx -1-1- -=0 dt=0 dt0(1) t -1-1dtdtx 1 10 dt0 dt1 1x

13、若若xF( x )f (t ) - - dt dt所以所以220(1)2122xxxF xxxxx -1-1-10-10( )( )01011111x 1 0 1x0(1) t 1 1dtdt1122PX（3）11( )()22FF0.75 例例6. 设顾客在某指定银行的窗口等待的时间设顾客在某指定银行的窗口等待的时间X（以分钟计）是一个随机变量，其概率密度：（以分钟计）是一个随机变量，其概率密度：某顾客在窗口等待服务时间若超过某顾客在窗口等待服务时间若超过1010分钟，他就分钟，他就离开，此人一个月要到银行离开，此人一个月要到银行5 5次，求他至少有一次，求他至少有一次未得到服务而离开的概率

14、。次未得到服务而离开的概率。510( )500 xexf xx 10pP X1P Y 至少有一次未得到服务而离开的概率为：至少有一次未得到服务而离开的概率为：51015xedx 510 xe 2e 10P Y 05022511Cee0.5167 25Y B( ,e). 即：即：解：解：5Y B( , p).设设Y：5 5次中未得到服务的次数。次中未得到服务的次数。则则1.1.均匀分布均匀分布则称则称 X 在区间在区间( (a,b）上服从均匀分布）上服从均匀分布. .记为记为)b,a(UX设连续型随机变量设连续型随机变量X在有限区间在有限区间(a,b)内内取值，且其概率密度为取值，且其概率密度为

15、 其它其它01bxaab)x(fX 的分布函数为的分布函数为 xt) t ( f)x(Fdbx,bxa,ax 10,abax,x - -0dt0dtxa axaba - -1 10dtdt0dtdtaxbababba - -1 10dtdt0dt0dtdt0dtxb 01xaxaF( x ),axbbaxb 即即（1）对任意实数对任意实数c, d (ac 0) )为常数为常数 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态分布（或高斯分布）正态分布（或高斯分布）, ,记为记为XN( , 2).22212( x )f ( x )e,x 3.3.正态分布正态分布设连续型随机变量设连续型随机变量

16、X的概率密度为的概率密度为分布函数为分布函数为22212( t )xF( x )edt 1）概率概率密度曲线关于直线密度曲线关于直线 x= 对称对称；在在 x= 处取得处取得最大值最大值 ；在；在 x= 处有拐点；以处有拐点；以 ox 轴轴为渐近线。为渐近线。 1f ( )2 P hXP Xh 2） xf (x)h h 3 3）常数）常数 对概率密度的影响。对概率密度的影响。和和固定固定 ，改变，改变 的值，则的值，则f (x)的图形沿的图形沿ox轴平移改变位置，但形状不变。轴平移改变位置，但形状不变。 1f (x)x 2固定固定 ，改变，改变 的值，对称轴位置不变的值，对称轴位置不变 的值越

17、小，曲线的值越小，曲线 f (x) 越尖越陡峭越尖越陡峭 的值越大，曲线的值越大，曲线 f (x) 越扁越平坦。越扁越平坦。f (x)x2 1 0 7. 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。标准正态的概率密度标准正态的概率密度: :标准正态的分布函数：标准正态的分布函数：2212x( x )ex 2212tx( x )edt 书后附表书后附表1 1给出了给出了 函数表。函数表。(x) (x)x-xx显然显然()1( )xx500.)( 作变量代换作变量代换， ts对一般的正态分布对一般的正态分布XN( , 2)，其分布函数其分布

18、函数 xttexFd21)(222)( x xssed2122 2d212xsse所以所以 xxXP)x(F则则)(xF x由此得：若由此得：若XN( , 2)，则，则)a(F)b(F)bXa(P )a(F)aX(P 1 ab 1a正态分布是概率论中最重要的分布，这是因为正态分布是概率论中最重要的分布，这是因为1正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用