关于高三数学复习抽象函数问题的若干求解意识

1、关于高中三年级数学复习抽象函数问题的若干求解理解抽象函数问题是指没有以显性形式给出函数解析式，只给出函数记号及其满足的相关条件(如函数的定义域、经过某些特殊的点、部分图像特征、某些运算性质等)的函数问题。它是高中数学函数部分的难点，也是高等数学的衔接点，、更是高考中的一个热点与难点。很多学生对这类问题颇感困惑，不知从何下手。为了让学生更加好地掌握抽象函数问题，形成良好的思维解题理解，以期使学生的思维具有较好的方向性和目的性，从而提升解题水平。本篇文章从研究抽象函数的若干性质出发，然后总结高考抽象函数较常出现的几种类型。我们知道有一些抽象函数是由特殊的、详细的函数抽象而得到的，它们能够在日常的学

2、习生活中找到其原型，所以学生在学习过程中遇到一些抽象函数满足的条件，能够直接套用相关详细函数。总结如下表：抽象函数满足条件代表函数1f(x+y)=f(x)+f(y)f(x)=kx(kh0)f(x+y)=f(x)-f(y)2f(x-y)=f(x)/f(y)f(x)=a(a>0,a式1)f(xy)=f(x)+f(y)f(x)=logaX3f(x/y)=f(x)-f(y)(a>0,a式1)4f(xy)=f(x)f(y)f(x)=xa5f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)f(x)=cosx6f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)y=tanx7,x+yf(x)+f(y)

3、=f()1+xy1+xf(x)=loga,1-x1f(x)-f(x)f(x)=logax或81f(x)=x_x抽象函数的若干性质(1)若f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)1，且对任意x,y有f(xy)=f(x)f(y)，则f(x)是R上的增函数;(2)若f(xyf(x)f(y)对任意实数x,y都成立，则f(x)是奇函数;勺+b(3) 若f(ax)-一f(b_x)对任意实数x都成立，则f(x)的图像以点(仝上,0)为2中心对称；若f(xa)二f(bx)对任意实数x都成立，则f(x)的图像以x=ab为对2称轴；1(4) 若f(xT)，则2T是f(x)的一个周期；f(x)(5) 若f(xT)=

4、-f(x)，则2T是f(x)的一个周期。一特殊化理解认真观察与分析抽象函数问题中的已知和抽象未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的思维理解。1、赋特殊值例1设函数y=f(x)(xRx=0)，对任意实数x,x2满足f(xjf(x2)=f(x,x2)。(1)求证：f(l)=f(_l)=o；(2)求证：函数y=f(x)为偶函数。证明：(1)令Xi=X2=1,得f(1)f(1)=f(1)，故：f(1)=0；令为=X2=-1，得f(-1)f(-1)=f(-1)，故：f(-1)=0；所以有f(1)=f(-1)=0；22(2)令X1=X2=X，得f

5、(x)f(x)二f(x)，故:2f(x)=f(x)；令为=x2二-x，得f(-X)f(-x)二f(x2)，故：2f(-x)二f(x2)；所以有f(x)=f(-x)，即：函数y=f(x)为偶函数。2赋特殊函数例2(2011年广州市第一次调研文科第13题)已知函数f(X)满足f(1)=2，对任意f(x)n10x,rR都有f(x-y)，记丨丨q二印占2111-an，则丨【f(6-i)的值f(y)imim为。分析：观察题意，对照上表可知，该抽象函数为y=2X，故易得改答案为：32评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可迅速得到准确答案。二递推理解根据题目中所给出的或推出的函数方程

6、，使用递推的思想，逐步递推，达到目的。说到递推思想，数学史上的几个故事可谓经典之至：河内塔问题，裴波那契数列，李政道博士的猴子分桃等等。例3已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对于任意xR都有f(x5)_f(x)5,f(x1)<f(x)1。若g(x)二f(x)1-X，则g(2011)二解：由g(x)=f(x)1x，知f(xg(x)x-1，从而由题设有g(x5)(x5)-1_g(x)x-15二g(x5)g(x);；g(x1)(x1)-1g(x)x-11二g(x1)_g(x)故g(x)乞g(x5)<g(x4)<g(x3)乞g(x2)<g(x1)<g(x)，即

7、g(x)=g(x1)，所以g(x)是以1为周期的周期函数。又g(1)=f(1)1一1=1，故g(2011)=1三换元理解根据题目结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换成所需要的量(注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相对应的替换)得到一个或几个方程,然后设法求解。例4若函数y=f(x)的定义域为0,1，求函数F(x)二f(xk)-f(x-k)的定义域。解:由°沁Z1得-0乞xk空1k乞x乞1k11(1当-kn1+k或k>1-k即kv-丄或kn1时，函数定义域为申221(2)当-k<k<k0<k<1时，定义域为k,-k1当k1k即k乞0时，

8、定义域为-k,k四、化归理解有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系紧密，求解这类问题应充分理解题意，综合使用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。例5设函数f(x)定义在R上,对于任意实数mn，恒有恼5)=fn()，且当x0时，0f(x)：1。(1) 求证：f(0)=1,且当x:0时，f(x)1；(2) 求证：f(x)在R上单调递减；(3) 设集合AJ(x,y)|(fxf)(y2)f(1*，B='(x,y)|f(ax-y2)-1，aR，若AAB=-，求a的取值范围。解:(1)令m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0)又当x.0时，0：f(x):1，所以f(0)

9、=1设x：0,则-x.0,且令m=x,n=_x时，贝Uf(0)=f(x)f(-x)1所以f(x)f(_x)=1,又0:：f(x)：1，所以f(x)1f(-X)(2) 设x1、x2R，且x1:x2，则X2-x10所以0：fx2-xj：1从而f(x2)(二fx2x2)(二fx2xjf(x1)又由已知条件及(1)的结论知f(x)>0恒成立所以ILQ=f(x2一治)所以0：:：1f(X1)f(X1)所以f(X2)：f(xj，故f(x)在R上是单调递减的。(3) 由f(x2)f(y2)f(1)得：因为f(X)在R上单调递减所以x2y2:1，即A表示圆x2y2=1的内部由f(ax-y2)=1二f(0)得：ax-y2=0所以B表示直线ax-y*2=0所以AHB=必，所以直线与圆相切或相离，即t-工1，解得：一灯3兰a兰J31a2五、对称理解对称问题是中学数学中最常见的一类数学问题，是近几年高考考查的热点问题之一。例6若定义在R上的以3为周期的奇函数y二f(x)，且满足f(2)=0，贝yf(x)=0在B、3C、4分析：因为y二f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数y二f(x)关