极值点偏移问题专题精选

1、极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移）2例1已知函数fx2lnxxx,右正实数xi,X2满足fXi+fX2=4,求证：x1x22。证明：注意到f1=2,fk+fx2=2f1fx1+fx2=2f1r2fx=-+2x10x.2fx=2,f1=0,则（1,2）是乂图像的拐点，右拐点（1,2）也是fx想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”对称中心，则有x1x2=2，证明x1x22则说明拐点发生了偏移，作图如下,类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0x11x2,要证x1x22x22x11fx2f2x14fxif2%4fxif2x1fxf2x,x0,1,则

2、f2x2x1222x12x得Fx在0,1上单增，有FxF1214,得证。2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移（f%0）fx1fx2x22xx1xx22x0二次函数fx1fx2xix22x02、拐点偏移fx00fx1fx22fx0x1x22x0fx,fx22fx0x22x0%x1x22x0极值点偏移问题专题（1）对称化构造（常规套路）例1（2010天津）已知函数fxxxe（1）求函数fx的单调区间和极值;（2）已知函数gx的图像与fx的图像关于直线x1对称，证明：当x1时,(3)如果XiX2,且fXifX2,证明:x1x22.解:(1)/(词/(在上/，在(L)上,/)有极大值f(1

3、)=1r无极小值：e(2)g(x)的圉像与，(才的图像关于直线工工1对祢,贝!I区的解析式为J二2一工)，构造辅助国数5(尤)=”第)一式K)=/(4一/(2一工)Kr(i)=Jf(x)+f(2-x)e-r(-x)+er-1(x-lI=工一Y”)当工;1时，工10.-e_10r5BF(x)0.得F(x)在(L+w)上单SJ.目F()F(1)=O,即f(x)Ag(H).(3)由甬)=冯)r结合/(句的单调性可设/ulexi将三代入(2)中不等式得/(三)J(2与),又看)=(电),故，看)/(2一9),又看2一巧r弱+叼2.来源：微信公众昌中学数学研讨部落点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整

4、展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化构造的全过程，直观展示如下：X例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数fxxe,已知fXfx2,xx2,证明XiX22.再次审视解题过程，发现以下三个关键点：(1)Xi,X2的范围0X11x2；(2)不等式fxf2xx1;（3）将X2代入（2）中不等式，结合fX的单调性获证结论.把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题.例2（2016新课标I卷）已知函数fX2ex2有两个零点.（1）求a的取值范围;(2)设Xi,X2是fx的两个零点，证明:XiX22.解：（1）0,(2)由(1),1上，在1,X1可设x11x2.构造辅助函数1ex2a2xe2

5、a1时，x10,ex,1，又F10,将X1代入上述不等式中得fX1fX22x1，又x2X11,f1,上Z,故X12x1x22.通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是X1X22x0,也可以是x1x22X，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程.求证:已知函数fxxlnx的图像与直线ym交于不同的两点AX1,y1x1x2.e证明:1Inx1,得fx在0,一e上，在工e0；f10;当X1时，fX0；当X0时，fX0（洛必达法则）；1,当x时，fx，于是fx的图像如下，得0X1x21.e（ii）构造函数F用=刈一/,则1+ln-J；exj二（1+比工），一击iifiA当0父,-时，l+lnjf0r得Fx|在0-；上，.有尸仪。,即力“5y（。旧）.（1%（血）将冏代人。）中不等式得/（福）-r-.工）在；-.-HD|上/r故再S=七茵/ft七eeJe再再.来溟：微信公众号中学数学研讨部落e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:stepl:求导，获彳导fx的单调性，极值情况，作出fx的图像，由fx1fx2得不，*2的取值范围（数形结合）step2:构造辅助函数（对结论x1x22x0,构造Fxfxf2x0x；对结2论x1x2片，构造Fxfxf区